线性变换的定义

小测验（七）

一、填空题

1．设123,,是线性空间V的一组基，V的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ijAaxxxV则σ在基321,,下的矩阵

B＝ ，而可逆矩阵T＝ 满足1,BTAT

在基123,,下的坐标为 .

2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换σ： (),nAP

则1(0)＝ ，1dim(0)＝ ，dim()nP＝ .

3．复矩阵()ijnnAa的全体特征值的和等于 ，而全体特征值的积等于 .

4．设σ是n维线性空间V的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则

为

变换 .

5．数域P上n 维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为

维线性空间，它与

同构.

6．设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,n，()fx为任一多项式，则()fA的全体特征值为

.

二、判断题

1．设σ是线性空间V的一个线性变换，12,,,sV线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （ ）

2．设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则由 σ的秩＋σ的零度＝n，有1()(0).VV （ ）

3．在线性空间R2中定义变换σ：(,)(1,)xyxy，则σ是R2的一个线性变换. （ ）

4．若σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若()W是V的一个子空间，则W必为V的子空间. （ ）

三、计算与证明

1．判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.

浅谈线性空问中基变换与线性变换的关系　何志凯　（西北民族大学数学与计算机科学学院　甘肃　兰州　７３００００）　教育时空　●Ｉ　［摘　要］本文主要研究线性空问中的线性变换和基变换之间的关系。通过对两种变换的相应运算公式以及性质对他们进行比较研究，从而得出他们之　间的区别和联系。　［关键词］线性空间　线性变换基变换　中图分类号：ＴＰ３９　文献标识码：Ａ　文寨编号：１００９—９ｌ３Ｘ（２０１０）１４—０２１５—０ｌ　１定义　定义１变换，线性空间ｖ到自身的映射称为Ｖ的一个变换　定义２。。向量空间Ｖ的一个变换仃称为线性变换，如果对于Ｖ中任意的　（善＋　＝　（　＋　（功　元素　和数域　中任意数　，都有仃　∞：　仃　）　２线性变换在给定基下的矩阵　设Ｔ是线性空闻　中的线性变换ｔ在　中取定一个基　。　…．，　，如果这个基　在变换Ｔ下的象（用这个基线性袭示）为　ｒ　）＝ｑＩａｌ＋￡　ｃ　＋…＋　Ｉ　ｒ（如）＝嘎２　＋ｄ　ｃ　＋…＋　２％　ｒ（　）：ａｉ　＋　＋…＋　记　ｑ，　…．，　）：　）’　）一．。ｒ（％）），上式可表示为ｒ（　，　一．。　）＝　（ｑ，　，…，ｃ　）Ａ，　ｑｔｑ２…　日　其中舻ｌ　－　…　一　喁１　…ｄ　那么　就称为线性变授ｔ在给定基　，　…．，瓯下的矩阵。　那么Ａ就称为线性变换Ｔ在给定基　，０　…．，　下的矩阵。　在ｙ　中取定一个基后，由线性变换Ｔ可以唯一地确定一个矩阵Ａ，由　一个矩阵Ａ也可以唯一地确定一个线性变换Ｔ。　在给定一个基的条件下，线性变换与矩阵式一一对应的　同一线性变换在不用的基下的矩阵式相似的，反之，相似矩阵也可以　看成是同一个线性变换在不同的基下的矩阵。　３线性变换在计算中的公式　设线性燮换Ａ在基ｑ，　２，…，。　下的矩阵是Ａ，向量善∈　在基　，。２一．，ｓ　下的　坐标是（ｘｌ，ｘ２一．，ｘ　），则Ａ毒在基ｑ，　…．，ｃ　下的坐标（ｙｌ，ｙ：一　，Ｙ　）可以　］　按公式Ｉ　Ｉ　ｊ，｝３】　我们知道（ｙｌ，ｙ２…．，ｙ　）为Ａ　在基ｑ，。２…．　。　下的坐标，即向璧在经过线　性变换后的坐标，则公式（１）我们可称为线性变换下的坐标变换公式　４基变换与坐标变换　定义３设ｑ。　…。，　是绒性空闻　的一个基·对于任一元素　Ｅ　ｔ总有　且仅有一缀有序数　，　一．。　．·使　：　啦＋　，　＋…十　％ｔ有序数组　，南…．，　称为元素盘在　，　…．。瓯这个基下的坐标，并记作Ｉ　＝　定义４基变换公式　设　，　，…，　及　，弓…．，《是线性空阐　的两组基，且有　＝ｑｌ　＋　Ｉ　＋…十口ｍ　《＝ｑｊ巨＋　２毛＋…＋　２　＝嘎　毛＋ａ２　＋…＋　＾　：　●　＿　（　。　，…，　）＝（ｅｌ，。　一．，。　）　其中　：　称此公式为基变掇公式　矩阵　称为由基　，。２…．，ｅ　到　，《，…　《的过渡矩阵，且过ｉ虔短阵　是可逆的　设由基　，。２…．，。。到　，《…　，　的过渡矩障为４向量　在这掰组基下　的坐标分荆为＆　，ｘ，…．，ｘ　）和（Ｊ　；…．，《），则　睦　目　（２）　目　称以上公式为坐标受撰公式　命题１线性空间Ｖ中的一个由基　８。…．　ｓ　到墓　，‘…．，《的墓变换，　一定能看作是Ｖ音勺莱个线性变换Ａ在基ｓ１，ｓ２…．，　上的作用；且＾在基　６ｌ，￡：…．，　下的矩阵Ａ　ｊ梵是过渡矩阵。　命题２设ｑ，　：…．，。　是线性空间Ｖ的一组基，Ａ是Ｖ的一个线性变换·如　果Ａｑ，Ａ　…．，Ａｓ　线性无关，那么Ａ在基　，　ｔ…．，ｓ　上的作用，就是一个由　基岛，ｓ２…．，ｓ　到基Ａ　，Ａｓ２…　，Ａｓ　的基变换，且过渡矩阵就是Ａ在基　，　２…．，ｓ　下的矩阵　·　通过对线性空间中的线性变换下的坐标变换共识和基变换下的坐标变换　的公式比较，以及对相应例题进行分析，初步得出以下结论：　１．在有限维线性空间中，基变换与可逆线性变换是可以相互转化的；　２．线性变换的坐标变换公式和基变换下的坐标变换公式可以互相推导；　３．线性变换和基变换反映在几何图形上，前者改变了图形的位置和形　状，而后者只是改变了参考坐标系；　参考文献　［１］李正良《矩阵理论和代数基础》，成都：电子科技大学出版社，１９８９，　ｌ２．　［２］卢刚《线性代数》，第二版，北京：高等教育出版社，２００４．３．　［３］张禾瑞《高等代数》，第四版，北京：高等教育出版社，１９９９．５．　［４］丘维声《高等代数》，下册，北京：高等教育出版社，１９９６．１２。　科技博览Ｉ　２１５　、　●●●●●　Ａ　§　、，　●●　、　●●，●，　‰％～　～　一～　～　～　，　～　、●　一　一　§　

第7章 线性变换

§1 线性变换的定义

线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义

定义7.1 设V为线性空间，若对于V中的任一向量，按照一定的对应规则T，总有V中的一个确定的向量与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为

)(T 或 )(,VT，

称为的象，称为的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T（V），即

T（V）=VT|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V中的变换T，若满足条件

（1） 对任意V,有

（2） )()()(TTT；

（3） 对任意V及数域P中任意数k有)()(kTkT， 则称变换T为V中的线性变换。

例7.1 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即

E)()(V

以及零变换ℴ，即

ℴ)(0)(V

都是线性变换.

例7.2 设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：

Vk,.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当1k时，便得恒等变换，当0k时，便得零变换.

例7.3 在线性空间][xP或者nxP][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即

D（)(xf）=)(xf.

例7.4 定义在闭区间ba,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(baC代表.在这个空间中变换

ℐ（)(xf）=xadttf)(

是一线性变换. 例7.5 在3R中，定义下列变换：对任意的321xxx3R，

1321321xxxxxxx，3321101xxxx，2332213212xxxxxxxx

第七章 线性变换

计划课时：24学时.( P 307—334)

§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）

教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质

教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质

本节内容可分为下面的两个问题讲授.

一. 线性变换的定义（P307）

注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质

定理7.1.1（P309）

定理7.1.2 （P309）

推论7.1.3 （P310）

注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七 P330 1，2，3.

§7.2 线性变换的运算（4学时）

教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件

教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件

本节内容分为下面四个问题讲授：

一. 加法运算

定义1 （P310）

注意：＋ 是V的线性变换.

二. 数乘运算

定义2 （P311）

显然k 也是V的一个线性变换.

定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.

三. 乘法运算

(1). 乘法运算

定义3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.

(2). 线性变换 的方幂

四. 可逆线性变换

定义4 （P313）

线性变换可逆的充要条件

例2 （P314）

线性变换的多项式的概念 (阅读内容).