线性变换

小测验（七）

一、填空题

1．设123,,是线性空间V的一组基，V的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ijAaxxxV则σ在基321,,下的矩阵

B＝ ，而可逆矩阵T＝ 满足1,BTAT

在基123,,下的坐标为 .

2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换σ： (),nAP

则1(0)＝ ，1dim(0)＝ ，dim()nP＝ .

3．复矩阵()ijnnAa的全体特征值的和等于 ，而全体特征值的积等于 .

4．设σ是n维线性空间V的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则

为

变换 .

5．数域P上n 维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为

维线性空间，它与

同构.

6．设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,n，()fx为任一多项式，则()fA的全体特征值为

.

二、判断题

1．设σ是线性空间V的一个线性变换，12,,,sV线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （ ）

2．设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则由 σ的秩＋σ的零度＝n，有1()(0).VV （ ）

3．在线性空间R2中定义变换σ：(,)(1,)xyxy，则σ是R2的一个线性变换. （ ）

4．若σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若()W是V的一个子空间，则W必为V的子空间. （ ）

三、计算与证明

1．判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.

第7章 线性变换

§1 线性变换的定义

线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义

定义7.1 设V为线性空间，若对于V中的任一向量，按照一定的对应规则T，总有V中的一个确定的向量与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为

)(T 或 )(,VT，

称为的象，称为的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T（V），即

T（V）=VT|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V中的变换T，若满足条件

（1） 对任意V,有

（2） )()()(TTT；

（3） 对任意V及数域P中任意数k有)()(kTkT， 则称变换T为V中的线性变换。

例7.1 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，即

E)()(V

以及零变换ℴ，即

ℴ)(0)(V

都是线性变换.

例7.2 设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：

Vk,.

这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用K表示.显然当1k时，便得恒等变换，当0k时，便得零变换.

例7.3 在线性空间][xP或者nxP][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即

D（)(xf）=)(xf.

例7.4 定义在闭区间ba,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(baC代表.在这个空间中变换

ℐ（)(xf）=xadttf)(

是一线性变换. 例7.5 在3R中，定义下列变换：对任意的321xxx3R，

1321321xxxxxxx，3321101xxxx，2332213212xxxxxxxx

第 7章 线性变换

知识点归纳与要点解析

一．线性变换的概念与判别

1.线性变换的定义

数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换,如果对V中任意的元素,和数域P中的任意数k,都有：,kk;

注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换;

2.线性变换的判别

设为数域P上线性空间V的一个变换,那么：

为V的线性变换klkl,,V,k,lP

3.线性变换的性质

设V是数域P上的线性空间,为V的线性变换,12s,,,,V;

性质1. 00,;

性质2. 若12s,,,线性相关,那么12s,,,也线性相关;

性质3. 设线性变换为单射,如果12s,,,线性无关,那么12s,,,

也线性无关;

注：设V是数域P上的线性空间,12,,,m,12,,,s是V中的两个向量组,

如果：

11111221221122221122ssssmmmmssccccccccc

记：

1121112222121212,,,,,,mmmsssmsccccccccc

于是,若dimVn,12,,,n是V的一组基,是V的线性变换, 12,,,m是V中任意一组向量,如果： 11111221221122221122nnnnmmmmnnbbbbbbbbb

记：

1212,,,,mm

那么：

1121112222121212,,,,,,mmmnnnmnbbcbbcbbc

线性变换

linear transformation

线性变换的定义

线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。

同时具有以下定义：

线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A(α+β)=A（α）+A（β）

A (kα)=kA(α)

线性代数研究的一个对象，向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似σk：aka是V的线性变换，平移则不是V的线性变换，若a1，…，an是V的基，σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1，2，…，n），则称为σ关于基｛a：｝的矩阵。对线性变换的讨论可藉助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ＝｛a｜a∈V，且σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉＝〈a，σ（β）〉。

关于线性变换和特征值的理解

首先我们来看这样一个事实。一个二维的直角坐标系XOY，然后逆时针方向旋转了ө角变为X’OY’后，那么我们考察一下后会发现，在XOY和 X’OY’的坐标系之间存在这样的转化关系。 这里我们进一步来理解这个等式的含义。就是说某一个点在XOY坐标系下的坐标为向量a,在X’OY’坐标系下的坐标变为向量a’。那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标。就是来考察在XOY坐标系下的基（1，0）和 （0，1）用新坐标系X’OY’下的基来表示是怎样的。根据这样的基变换结果，我们就说这个坐标旋转变换的变换矩阵为

cos θ －sin θ

sin θ cos θ

注意，这里的矩阵的排列是前面两个基坐标系数方程的专职矩阵，之所以写为转置矩阵是因为我们习惯这样来写基坐标的线性变换A =( , ) 。我们可以