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线性变换的几何意义

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本科生毕业论文

论文题目： 线性变换的几何背景

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学位论文写作声明

本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名： 日期： 年 月 日

论文作者签名： 导师签名：

日期： 年 月 日

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线性变换的几何背景

摘 要

线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。

关键词：线性变换；几何现象；矩阵

The geometry background of linear transformation

Abstract：Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena,

geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article

analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the

relationship of matrix and linear transformation on the basis of geometric meaning,

researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression

of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the

questions on the basis of connection between linear transformation and geometry,

and considers the linear transformation of projective geometry. In conclusion, the

thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many

geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze

the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the tools to study

the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation

related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of

linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems,

but different geometry research objects have various aspects.

Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix

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目 录

一、基本定义和结论.................................................. 1

二、几何现象中线性变换的影子........................................ 2

2.1旋转变换的几何形象 ........................................... 2

2.2反射变换的几何形象 ........................................... 3

2.3投影变换的几何现象 ........................................... 4

2.4伸压变换的几何形象 ........................................... 5

2.5其他线性变换的几何形象 ....................................... 5

三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系 ........................ 6

四、与线性变换有关的分支问题的几何意义 .............................. 9

4.1、几何解释线性变换是否存在交换律 ............................. 9

4.2、几何解释线性变换是否消去律 ................................. 9

4.3几何解释线性变换的逆 ........................................ 10

4.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子 ...................... 10

4.5线性变换对角化的几何意义 .................................... 11

4.6正交变换的几何意义 .......................................... 11

4.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义 ........................ 11

五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换 ............................. 11

六、具体问题中线性变换与几何的息息相关 ............................. 12

七、射影几何中的线性变换 ........................................... 13

7.1仿射几何中的平移变换 ........................................ 13

7.2仿射变换的优点 .............................................. 14

7.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义 ...................... 14

总结 ............................................................... 16

参考文献 ........................................................... 17

致谢 ............................................................... 18

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精选资料，欢迎下载 一、基本定义和结论

我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。

定义1：设,UV为数域K上的线性空间，:fUV为映射，且满足以下两个条件：

i）、()()(),(,)fffU；

ii）、()(),(,)fkkfUkK。

则称为（由U到V的）线性映射，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称它为线性变换。

而定义中的i）和ii）二条件也可用下述一条代替：

()()(),(,,,)klkkUklK

定义2：设12,,,n是数域K上线性空间U的一组基， 12,,,m是数域K上线性空间V的一组基,设f为由U到V的线性映射，U上基向量的像可由V上的基线性表出：

11112121212122221122(),(),().mmmmnnnmnmfaaafaaafaaa

于是

1112121222121212((),(),,())(,,,)nnnmmmmnaaaaaafffaaa

其中令

111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa

则称A为f在基12,,,n和12,,,m下的矩阵，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称A为f在基12,,,n下的矩阵。

定义3：设U和V是数域P上的两个线性空间，若满足：

i）、是U到V的一个双射；

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线性变换

线性变换

小测验（七）

一、填空题

1．设123,,是线性空间V的一组基，V的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ijAaxxxV则σ在基321,,下的矩阵

B＝ ，而可逆矩阵T＝ 满足1,BTAT

在基123,,下的坐标为 .

2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换σ： (),nAP

则1(0)＝ ，1dim(0)＝ ，dim()nP＝ .

3．复矩阵()ijnnAa的全体特征值的和等于 ，而全体特征值的积等于 .

4．设σ是n维线性空间V的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则

为

变换 .

5．数域P上n 维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为

维线性空间，它与

同构.

6．设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,n，()fx为任一多项式，则()fA的全体特征值为

.

二、判断题

1．设σ是线性空间V的一个线性变换，12,,,sV线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关. （ ）

2．设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则由 σ的秩＋σ的零度＝n，有1()(0).VV （ ）

3．在线性空间R2中定义变换σ：(,)(1,)xyxy，则σ是R2的一个线性变换. （ ）

4．若σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若()W是V的一个子空间，则W必为V的子空间. （ ）

三、计算与证明

1．判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形.

线性变换 2

线性变换 2

第七章 线性变换

计划课时：24学时.( P 307—334)

§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）

教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质

教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质

本节内容可分为下面的两个问题讲授.

一. 线性变换的定义（P307）

注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质

定理7.1.1（P309）

定理7.1.2 （P309）

推论7.1.3 （P310）

注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七 P330 1，2，3.

§7.2 线性变换的运算（4学时）

教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件

教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件

本节内容分为下面四个问题讲授：

一. 加法运算

定义1 （P310）

注意：＋ 是V的线性变换.

二. 数乘运算

定义2 （P311）

显然k 也是V的一个线性变换.

定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.

三. 乘法运算

(1). 乘法运算

定义3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.

(2). 线性变换 的方幂

四. 可逆线性变换

定义4 （P313）

线性变换可逆的充要条件

例2 （P314）

线性变换的多项式的概念 (阅读内容).

(a,b)什么意思线性代数

(a,b)什么意思线性代数

(a,b)什么意思线性代数

目录

1.1 “代数”的意义1.2 “线性”的意义1.3 线性变换的几何意义1.4 线性代数的故事1.5 线性代数有什么用？

1.1 “代数”的意义

把线性代数这四个字分开为“线性”和“代数”.

首先什么是代数?

简单的说，代数就是用字母代替数进行运算，这里字母是抽象的对象，可以是变量、向量、复数、矩阵、群、环、域、算子等等.

比如字母表达式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

• 当字母指数字时， 那么(1+2)^2=1^2+2(1\times2)+2^2 ,

(3+4)^2=3^2+2(3\times 4)+4^2 , 结果是数值；

• 当字母指向量时, 那么(\bm{a}+\bm{b})^2=\bm{a}^2+2\bm{ab}+\bm{b}^2

=|\bm{a}|^2+2|\bm{a}||\bm{b}|\cos<\bm{a},\bm{b}>+|\bm{b}|^2,结果是余弦定理.

• 若是常数与变量混合的字母时，那么有 ax+b=0,

a^2+bx+c=0, ... 结果是方程.

1.2 "线性"的意义

线性都是指什么呢. 在中学里，“一次方程”、“一次函数” ， 就是“线性方程”、“线性函数”.

在大学里，线性可有：“线性代数”、“线性变换”、“线性常微分方程”、“线性偏微分方程”、“线性规划”等等.

就线性函数而言，它的代数意义是：可加性、比例性（k为数值时，叫数乘性）

可加性： f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2)

比例性： f(kx) = k f(x) .

这里的 x, y, k 都应理解为是对象，只要这些对象能写成

\bm{y}=\bm{kx} ,那么它就是线性函数. 它是过原点的. 例如：

• 当 k 是数值， x, y 均为变量，显然 y= kx 就是一条过原点的直线.

• 其实多元线性方程组

\begin{cases} y_1 = k_{11}x_1+k_{12}x_2+ \dots

正交变换的几何意义及其应用

正交变换的几何意义及其应用

第３Ｏ卷　第３期　哈尔滨师范大学自然科学学报　ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＡＲＢＩＮ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　

正交变换的几何意义及其应用　

杜美华，孙建英　

（青岛理工大学）　

【摘要】阐述正交变换与二次型的关系，以形象的分析给出正交变换的几何　意义，并说明此几何意义在判断二次齐次方程型曲面类型中的应用，并将此类应用　

推广到一般的二次曲面表达式．　【关键词】二次型；正交变换；二次曲面　

０　引言　

在线性代数中，由二次型知道，对于任何一　个二次齐次多项式，通过配方法、合同变换法或　

正交变换法，将二次齐次多项式化为只含有平方　项的标准型，其中最常用的正交变换法，具有很　

好的几何意义，在解决二次曲线及二次曲面的图　形中，起到了非常重要的作用，将枯燥的代数式，　通过矩阵这个工具，与形象的几何图形联系起　来．　

１　正交变换与二次型　

在三维欧式空间中，向量的内积为（Ｘ，ｙ）＝　

ｙ，其中Ｘ＝（　，ｙ，ｚ）　，Ｙ＝（　。，Ｙ。，ｚ。）　，相应　

地，向量的长度为Ｉ　Ｉ＝￣／，（　，Ｘ），设有正交变　换　＝ＴＹ，则由正交变换定义有　（ＴＹ。，　ｙ２）＝（ｙ。，ｙ２），　

ｌ　ｌ＝　（ＴＹ，Ｔｒ）＝￣／（Ｙ，ｙ）＝ｌ　ｌ，ｌ　正交变换保持了向量的内积和长度不变，也就保　

持了向量的夹角不变，而向量与点是等价的，所　以正交变换保持了点的位置关系不变，从而也就　

保持了图形的不变性．　设有三元二次型　

厂（　，），，　）＝ａｌｌ　＋ａ２２ｙ　＋ａ３３Ｚ　＋２口ｌ２　ｙ＋　

２ａ１３船＋２０２３　（１）　

收稿日期：２０１４—０３—０５　［兰兰篓篓］，　：　）由实对称矩阵的性质，　

存在正交矩阵Ｔ，使得Ｔ　ＡＴ：｝０　Ａ　０　Ｉ，这　

２　正交变换的几何意义　

定理１　设有空间直角坐标系Ｏｘｙｚ，则此坐　标系下做正交变换Ｘ＝ＴＹ（１　ｌ：１）的充要条　件是对坐标系Ｏｘｙｚ绕原点进行一定角度的旋　

转．　证明　充分性．设有空间直角坐标系Ｏｘｙｚ，