大学物理第9章习题解答

第9章 真空中的静电场 习题解答

9－1 精密的实验已表明，一个电子与一个质子的电量在实验误差为e2110－的范围内是相等的，而中子的电量在e2110－的范围内为零。考虑这些误差综合的最坏情况，问一个氧原子（含8个电子、8个质子、8个中子）所带的最大可能净电荷是多少？若将原子看成质点，试比较两个氧原子间的电力和万有引力的大小，其净力是引力还是斥力？

解：（1）一个氧原子所带的最大可能净电荷为 eq21max1024－

（2）两个氧原子间的电力和万有引力的大小之比为

6222711221921122222max0108.2)1067.116(1067.6)106.11024(1085.84141rrrmGrqffGe氧

其净力是引力。

9－2 如习题9－2图所示，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点电荷q2 = －4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强。

解：根据点电荷场强大小的公式

22014qqEkrr，

点电荷q1在C点产生的场强大小为

112014qEAC

994-1221.8109101.810(NC)(310)

方向向下。

点电荷q2在C点产生的场强大小为

2220||14qEBC

994-1224.8109102.710(NC)(410)，

方向向右。

C处的总场强大小为

2212EEE E2

E E1 q2 A

C q1

B

θ

44-10.913103.24510(NC)，

总场强与分场强E2的夹角为

12arctan33.69EE．

9－3 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电荷线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强。

解：在带正电的圆弧上取一弧元

ds = Rdθ，

电荷元为dq = λds，

在O点产生的场强大小为

220001d1ddd444qsERRR，

场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ。

对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为

2dsinyLEEE

/6/60000sind(cos)22RR

03(1)22R。

9－4 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求：

（1）棒的延长线上与棒的近端相距d1 = 8cm处的场强；

（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强。

解：（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1

= 0.18(m)。

在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，

根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为

1220ddd4()qlEkrxl

场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小

通过积分得

120d4()LLlExl Ex x

E θ R ds

Ey O

y

ds Ex x

E θ

R Ey O

y

o lx dl y

P1 r

-L L d1

014LLxl

011()4xLxL

220124LxL ①

将数值代入公式得P1点的场强为

8912220.13109100.180.1E

= 2.41×103(N·C-1)

方向沿着x轴正向。

（2）建立坐标系，y = d2。

在细棒上取一线元dl，所带的电量为

dq = λdl

在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为

2220ddd4qlEkrr

由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为

dEy = dE2sinθ。

由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ

所以 dl = -d2dθ/sin2θ

因此

02dsind4yEd

总场强大小为

02sind4LylLEd

02cos4LlLd

220224LlLlddl

22022124LddL ②

将数值代入公式得P2点的场强为 o

lx

dl r

-L L y

P2 dEy dE2

dEx

d2 θ θ

89221/220.13109100.08(0.080.1)yE

= 5.27×103(N·C-1)

方向沿着y轴正向

讨论：（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得

1011011144/1aEddadda

保持d1不变，当a→∞时，可得

1014Ed ③

这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小

（2）由②式得

220224(/2)yaEdda

2202214(/)(1/2)dda

当a→∞时，得

022yEd， ④

这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式。

如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1。

9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零。

解： 设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。

在圆弧上取一弧元 ds =R dφ

所带的电量为

dq = λds

在圆心处产生的场强的大小为

2200dddd44qsEkrRR

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dEx = -dEcosφ

总场强为 θ R

O

P b a

O x dx y 2/20/2cosd4xER

2/20/2sin4R

0sin22R

方向沿着x轴正向。

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为

`04ER

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为

``02coscos222xEER

方向沿着x轴负向

当O点合场强为零时，必有`xxEE，可得 tanθ/2 = 1

因此 θ/2 = π/4，

所以 θ = π/2

9－6 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求

平板所在平面内，离薄板边缘距离为a的P点处的场强。

解： 建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为

dλ = σd x

根据直线带电线的场强公式

02Er

得带电直线在P点产生的场强为

00ddd22(/2)xErbax

其方向沿x轴正向。 θ R

O x dφ

dE φ

θ O

E` E`` x R

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

/20/21d2/2bbExbax

/20/2ln(/2)2bbbax

0ln(1)2ba ①

场强方向沿x轴正向。

9－7 有一半径为r的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球心处的电场强度。

解: 如图所示，在球面上任取一面元ddsind2rS，其上带电量为ddsindd2rSq，电荷元qd在球心处产生的场强的大小为

22020ddsin41d41drrrqE

方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为

0202004 dcossin4dcosdEEEz

9－8（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

解：点电荷产生的电通量为

Φe = q/ε0．

（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为

Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．

（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为

Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．

9－9 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如习题9－9图所示。求通过此半球面的电通量。

解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电荷为

q = πR2σ

通过球面的电通量为

Φe = q/ε0

通过半球面的电通量为

Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0

9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2 > R1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强。

解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E = 0，（r < R1）

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl

穿过高斯面的电通量为

SSerlEEdSSdE2

根据高斯定理Φe = q/ε0，所以

02Er， (R1 < r < R2)

（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R2）

9－11 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强。

解：方法一：高斯定理法

（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E =

E`

在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

deSES

20dddSSSESESES1

`02ESESES

高斯面内的体积为 V = 2rS，

包含的电量为 q =ρV = 2ρrS

根据高斯定理 Φe = q/ε0 S2 S1

E` S1

S2 E E

d 2r S0

E` S0 R O