21.3实际问题与一元二次方程 第2课时 一元二次方程与变化率问题 训练

第2课时 图形面积问题和利润问题

教学目标

1．会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题．

2．能够在复杂的销售活动过程中，找出等量关系并列一元二次方程求解．

教学重点

实际问题中等量关系的确定．

教学难点

通过分析图形面积之间的等量关系以及商品销售过程中的数量关系建立一元二次方程的数学模型．

教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： )

教学过程设计

一、创设情景 明确目标

要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

学生思考回答：

归纳导入：根据题意可列方程(27－2x)(21－2x)＝1,4×27×21；一元二次方程也可以解决几何图形的面积问题，本节我们将探究如何利用几何图形的面积公式构建一元二次方程分析解决实际问题．

二、自主学习 指向目标

1．自学教材第20至21页．

2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．

三、合作探究 达成目标

探究点一 与图形面积有关的问题

活动一：出示教材第20页探究3，相互交流思考下面的问题：

(1)题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根据什么列方程？

(2)为什么说上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是9∶7?

(3)对于方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21，如何求解较为简单？

(4)问题中隐含着怎样的不等关系？

【展示点评】中央的长方形所占面积是封面面积的四分之三为题中存在的等量关系；封面、中央长方形的长宽比均为9∶7，根据比例性质上、下边衬与左、右边衬的宽度之比也是9∶7；方程(27－18x)(21－14x)＝3,4×27×21用公式法解较为简单；问题中隐含不等关系x＜3.

【小组讨论】除了教材中的解法还有其他解法吗？

【反思小结】教材运用的是面积较好表达的中央长方形的面积占封面面积的3,4列方程求解的，体现了转化的思想，值得同学们注意．另外，直接由中央长方形的长宽比也为9∶7列方程求解，如果设中央长方形的长、宽分别为9x cm、7x cm，列方程显得更为简单．

导学案

执教： 主备人： 审 核：

21．3 实际问题与一元二次方程

第1课时 传播问题与一元二次方程

1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．

2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．

一、情境导入

某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？

二、合作探究

探究点：传播问题与一元二次方程

【类型一】疾病传染问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个

人，由题意，得1＋x＋x (1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．

(2)7×64＝448(人)．

答：又将有448人被传染．

方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．

【类型二】分裂增长问题

月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样导学案

执教： 主备人： 审 核：

数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？

21.3 实际问题与一元二次方程

第1课时 用一元二次方程解决传播问题

01 基础题

知识点1 倍数传播问题

1．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每只病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C)

A．10只 B．11只

C．12只 D．13只

2．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为1＋a＋a2．

3．(贺州中考)某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．

(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？

解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得

60(1＋x)2＝24 000.

解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．

答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．

(2)经过三轮培植后，得

60(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．

答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．

知识点2 握手问题

4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是(B)

A．x(x－1)＝15 B.x（x－1）2＝15

C．x(x＋1)＝15 D.x（x＋1）2＝15

5．(南宁中考)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有(C)

A．7队 B．6队

C．5队 D．4队

第1页 共7页 21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时）

导学探究

阅读教材P19-20，回答下列问题:

1.请根据你对“变化额”“变化率”的理解，填空:

(1)某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产______个，增长率是______;若三月份生产零件1140个，那么三月份比二月份减产____个，下降率是________.

(2)某厂今年一月份的总产量为100吨，设平均每月增长率是x，则二月份总产量为_____吨;三月份总产量为_________吨.(用含x的代数式表示).

(3)某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是_____元;第二次降价后的价格是______元.(用含x的代数式)

2.我市前年有汽车3万辆，据统计平均每年的增长率为x.

(1)去年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)

(2)今年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)

(3)若我市今年有汽车12万辆，根据题意，可列出方程___________________________.

3.请你总结:

(1) 增长率问题: 若原来的量为a，平均增长率是x，则第一次增长后的量为________;第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为A，则可列方程__________________.

(2)下降率问题:若原来的量为a，平均下降率是x，则第一次下降后的量为__________;第二次下降后的量为___________;若两次下降后的量为A，则可列方程_________________.

归纳梳理

1.本节课我们将讨论平均变化率问题，变化率有增长率和________率.

2.有关变化率的公式:

(1)增长后的量 = 原来的量+_________= 原来的量× (1+________);