高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

1. 若，则

． 【答案】 【解析】 【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数 2. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为

．

【答案】2

【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2

【考点】三角函数图像变换与性质

3.

函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】由图可知 则 ，又，结合可知 ，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．

【考点】函数图象、图象的平移．

4. 在中，角所对的边分别为，满足，且．

（1）求角的大小；

（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．

【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．

【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．

试题解析：（1）由，

可得，

即，又，所以，

由正弦定理得，

因为，所以0，从而，即．

（2）由余弦定理，得，

又，所以，于是，--10

当时，取到最大值．

【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．

5. 下列各式中，值为的是 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A，B、，C、， D、，故选择C

【考点】三角恒等变换

6. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝ ． 【答案】 【解析】由余弦定理可得 【考点】余弦定理解三角形 7. 已知面积为，，则BC长为 ．

【答案】

【解析】由三角形面积公式可知

【考点】三角形面积公式

8. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．

（1）求角C；

（2）求边a的长

【答案】（1）；（2）5；

【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理． 试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点， ，则．

（2）由余弦定理，可知

则，即

所以或（舍）

因此边长为5．

【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；

9. △ABC中，，则△ABC一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．

【考点】正弦定理的应用．

10. 在中，，则边的长为（ ）

A． B．3 C． D．7

【答案】A

【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．

【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．

11. （2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 ． 【答案】15 【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，

则cos120°==﹣，

化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，

所以三角形的三边分别为：6，10，14

则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．

故答案为：15

【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．

12. （2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为 ．

【答案】

【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．

解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx

当x=时，

∵x=时，y=

∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为

即

故答案为：

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

13. 如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？

【答案】

【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度

试题解析：如图，

连接A1B2，由题意知，

A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10 （海里）

又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．

在△A1B2B1中，由余弦定理得

＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，

∴B1B2＝10 （海里）．

因此乙船的速度大小为×60＝30 （海里/小时）．

【考点】解三角形的实际应用；余弦定理

14. （2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）

①y=cosx（x∈R）是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y=cosx（x∈R）是周期函数．

A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①

【答案】B

【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．

解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知： ①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；

②三角函数是周期函数是“大前提”；

③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；

故“三段论”模式排列顺序为②①③

故选B

【考点】演绎推理的基本方法．

15. 在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（ ）

A．4037 B．4035 C．4033 D．4032

【答案】B

【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．

【考点】归纳推理．

16. 在锐角中，内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.

试题解析：（1）∵中，，

∴根据正弦定理，得

∵锐角中，，

∴等式两边约去，得

∵是锐角的内角，∴；

（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.

因此，的面积.

【考点】正弦定理、余弦定理.

17. 设函数，若为奇函数，则=

； 【答案】 【解析】 ，函数为奇函数，所以 【考点】三角函数性质 18. 已知的三内角所对的边分别为，且，则 ． 【答案】 【解析】由正弦定理及得，所以，所以． 【考点】正弦定理与余弦定理． 19. 函数的部分图像如图所示，则

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．

【考点】函数的图象．

20. 在锐角中，分别为角所对的边，且．

（1）确定角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．

试题解析：（1）由及正弦定理得，

，∵，∴．

∵是锐角三角形，∴．

（2）∵，由面积公式得，即．．．．①

由余弦定理得，即，

∴．．．．②，由①②得，故．

【考点】正弦定理与余弦定理．

21. 已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：

（Ⅰ）f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）f（x）的单调增区间；

（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．

【答案】见解析

【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1

=sin2x+cos2x+1

=2sin（2x+）+1