高考数学 三角函数及三角恒等变换
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高考数学 三角函数及三角恒等变换
第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像
（A）向左平移4个长度单位 （B）向右平移4个长度单位
（C）向左平移2个长度单位 （D）向右平移2个长度单位
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.
【解析】sin(2)6yx=sin2()12x，sin(2)3yx=sin2()6x，所以将sin(2)6yx的图像向右平移4个长度单位得到sin(2)3yx的图像，故选B.
2.（2010陕西文）3.函数f (x)=2sinxcosx是
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
【答案】C
解析：本题考查三角函数的性质
f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
3.（2010辽宁文）（6）设0,函数sin()23yx的图像向右平移43个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A）23 （B） 43 （C） 32 （D） 3
【答案】 C
解析：选C.由已知，周期243,.32T
4.（2010辽宁理）（5）设>0,函数y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后与原图像重合，则的最小值是 （A）23 (B)43 (C)32 (D)3
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。
【解析】将y=sin(x+3)+2的图像向右平移34个单位后为4sin[()]233yx4sin()233x，所以有43=2k,即32k，又因为0，所以k≥1,故32k≥32，所以选C
5.（2010重庆文）（6）下列函数中，周期为，且在[,]42上为减函数的是
（A）sin(2)2yx （B）cos(2)2yx
（C）sin()2yx （D）cos()2yx
【答案】 A
解析：C、D中函数周期为2，所以错误
当[,]42x时，32,22x，函数sin(2)2yx为减函数
而函数cos(2)2yx为增函数，所以选A
6.（2010重庆理）
（6）已知函数sin(0,)2yx的部分图象如题（6）图所示，则
A. =1 = 6 B. =1 =- 6 C. =2 = 6 D.
=2 = -6
解析：2T 由五点作图法知232，= -6
7.（2010山东文）（10）观察2'()2xx，4'3()4xx，'(cos)sinxx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数()fx满足()()fxfx，记()gx为()fx的导函数，则()gx=
（A）()fx (B)()fx (C) ()gx (D)()gx
【答案】D 8.（2010四川理）（6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A）sin(2)10yx （B）sin(2)5yx
（C）1sin()210yx （D）1sin()220yx
解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－10)
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yx.
【答案】C
9.（2010天津文）（8）
5yAsinxxR66右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将ysinxxR（）的图象上所有的点
(A)向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(B) 向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入（-6，0）可得的一个值为3，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3)，即y=sin2(x+ 6)，所以只需将y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变。
【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求。三角函数图像进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的1
10.（2010福建文）
11.（2010四川文）（7）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A）sin(2)10yx （B）ysin(2)5x
（C）y1sin()210x （D）1sin()220yx
【答案】C
解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解
析式为y＝sin(x－10) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yx.
12.（2010湖北文）2.函数f(x)= 3sin(),24xxR的最小正周期为
A. 2 B.x C.2 D.4
【答案】D
【解析】由T=|212|=4π，故D正确.
13.（2010福建理）1．cos13oo计算sin43cos43oo-sin13的值等于（ ）
A．12 B．33 C．22 D．32
【答案】A
【解析】原式=1sin(43-13)=sin30=2ooo，故选A。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
二、填空题
1.（2010浙江理）（11）函数2()sin(2)22sin4fxxx的最小正周期是__________________ . 解析：242sin22xxf故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题
2.（2010浙江文）（12）函数2()sin(2)4fxx的最小正周期是 。
答案 2
3.（2010福建文）16.观察下列等式：
① cos2a=22cosa-1;
② cos4a=84cosa- 82cosa+ 1;
③ cos6a=326cosa- 484cosa+ 182cosa- 1;
④ cos8a=1288cosa- 2566cosa+ 1604cosa- 322cosa+ 1;
⑤ cos10a= m10cosa- 12808cosa+ 11206cosa+ n4cosa+ p2cosa- 1．
可以推测，m – n + p = ．
【答案】962
【解析】因为122,382,5322,71282,所以92512m；观察可得400n，
50p，所以m – n + p =962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。
4.（2010山东理）
5.（2010福建理）14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,]2，则f(x)的取值范围是 。
【答案】3[-,3]2 【解析】由题意知，2，因为x[0,]2，所以52x-[-,]666，由三角函数图象知：
f(x)的最小值为33sin(-)=-62，最大值为3sin=32，所以f(x)的取值范围是3[-,3]2。
6.（2010江苏卷）10、定义在区间20,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为____________。
解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23。线段P1P2的长为23
三、解答题
1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分）
已知函数2()sin22sinfxxx
（I）求函数()fx的最小正周期。
(II) 求函数()fx的最大值及()fx取最大值时x的集合。
2.（2010浙江理）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=14，及0＜C＜π
所以sinC=104.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理acsinAsinC，得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=14，J及0＜C＜π得
