2000考研数一真题及解析

2000

1 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 1202xxdx

(2) 曲面2222321xyz在点1, -2, 2的法线方程为

(3) 微分方程"3'0xyy的通解为

(4) 已知方程组12312112323120xaxax无解，则a

(5) 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19 , A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则()PA =

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设(),()fxgx是恒大于零的可导函数，且'()()()'()0,fxgxfxgx则当axb

时，有 ( )

(A)()()()()fxgbfbgx (B) ()()()()fxgafagx

(C)()()()()fxgxfbgb (D) ()()()()fxgxfaga

(2) 设22221:(0),SxyzazS为S在第一卦限中的部分，则有 ( )

(A)14SSxdSxdS (B)14SSydSxdS

(C)14SSzdSxdS (D)14SSxyzdSxyzdS

(3) 设级数1nnu收敛，则必收敛的级数为 ( )

(A)11.nnnun (B)21.nnu (C)2121().nnnuu (D)11().nnnuu

(4) 设n维列向量组1,,()mmn线性无关，则n维列向量组1,,m线性无关的充分必要条件为 ( )

(A) 向量组1,,m可由向量组1,,m线性表示. 2000

2 (B) 向量组1,,m可由向量组1,,m线性表示.

(C) 向量组1,,m与向量组1,,m等价.

(D) 矩阵1,,mA与矩阵1,,mB等价.

(5) 设二维随机变量 ,XY服从二维正态分布，则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件为 ( )

(A) ()().EXEY (B) 2222()()()().EXEXEYEY

(C) 22()().EXEY (D) 2222()()()().EXEXEYEY

三、(本题满分5分)

求1402sinlim.1xxxexxe

四、(本题满分6分)

设,,xxzfxygyy其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求2.zxy

五、(本题满分6分)

计算曲线积分22,4LxdyydxIxyÑ其中L是以点1,0为中心， R为半径的圆周R >1，取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间0x内任意的光滑有向封闭曲面S, 都有2()()0,xSxfxdydzxyfxdzdxezdxdyÒ

其中函数()fx在(0, +)内具有连续的一阶导数，且0lim()1,xfx= 求()fx.

七、(本题满分6分)

求幂级数113(2)nnnnxn的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数0k)，求球体的重心位置.

九、(本题满分6分) 2000

3 设函数()fx在0,上连续，且00()0,()cos0,fxdxfxxdx试证：在(0,)内至少存在两个不同的点12,,使12()()0.ff

十、(本题满分6 分)

设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A且113,ABABAE其中E为4 阶单位矩阵，求矩阵B.

十一、(本题满分8分)

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为,nxny记成向量nnxy. (1) 求11nnxy与nnxy的关系式并写成矩阵形式：11;nnnnxxAyy

(2) 验证1241,11是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

(3) 当111212xy时，求11.nnxy

十二、(本题满分8分)

某流水生产线上每个产品不合格的概率为01pp,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X , 求X的数学期望XE和方差XD.

十三、(本题满分8分)

设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2,(;)0, xexfxx

其中0为未知参数，又设12,,,nxxx是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.

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4 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】4

【详解】11220021(1)Ixxdxxdx

解法1：用换元积分法：设1sinxt，当0x时，sin1t，所以下限取2；当1x时，sin0t，所以上限取0.

所以 1sin02cosxtIcosttdt

由于在区间[,0]2，函数cost非负，则

022202coscos4Itdtt

解法2：由于曲线2221(1)yxxx是以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线1x和0y所围图形的面积为圆面积的14，故答案是4

(2)【答案】122.146xyz

【详解】曲面方程(,,)0Fxyz在点),,(000zyx的法矢量为：

000000000{(,,),(,,),(,,)}xyznFxyzFxyzFxyzr

令222(,,)2321,Fxyzxyz 则有

1, -2, 21, -2, 21, -2, 2'1, -2, 22|2,'1, -2, 24|8,'1, -2, 26|12.xyzFxFyFz

所以曲面在点(1,2,2)处的法线方程为：122.2812xyz 即 122.146xyz

(3)【答案】122CyCx

【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于"(,')yfxy型的微分方程.

【详解】令'py，有"dpydx.原方程化为：30dpxpdx，30dppdxx 2000

5 分离变量： 3dpdxpx

两端积分： 13ln3lndpdxpxCpx

从而 111133ln3ln31xCxCCCpeeeexex

因120CCe记是大于零的任意常数，上式可写成 23Cpx；

记32CC，33Cpx，便得方程的通解33pCx，

即 3333dyCxdyCxdxdx，其中3C是任意常数

对上式再积分，得：

3235334452,22CCCyCxdxxCCCx

所以原方程的通解为：

122CyCx

(4)【答案】1.

【详解】化增广矩阵为阶梯形，有

1211121123230111200231aaaaMMMMMM

121101100(3)(1)3aaaaMMM

当a = −1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.

当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.

(5)【答案】23(由,AB独立的定义：()()()PABPAPB)

【详解】由题设，有1(),()()9PABPABPAB

因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立. 2000

6 于是由 ()(),PABPAB 有()()()()PAPBPAPB

即有 ()1()1()()PAPBPAPB,

可得 ()()PAPB，()()PAPB

从而 221()()()()1(),9PABPAPBPAPA

解得 2().3PA

二、选择题

(1)【答案】A

【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,fxgxfxgx 想到设函数为相除的形式()()fxgx.

【详解】

设()()()fxFxgx，则2'()()()'()()0,()fxgxfxgxFxgx

则()Fx在axb时单调递减，所以对axb，()()()FaFxFb，即

()()()()()()fafxfbgagxgb

得 ()()()(),fxgbfbgxaxb，()A为正确选项.

(2)【答案】C

【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：

性质1：设(,,)fxyz在分块光滑曲面S上连续，S关于yoz平面对称，则

10(,,)(,,)2(,,)(,,)SSfxyzxfxyzdSfxyzdSfxyzx若关于为奇函数若关于为偶函数

其中1{0}SSx.

性质2：设(,,)fxyz在分块光滑曲面S上连续，S关于xoz平面对称，则

10(,,)(,,)2(,,)(,,)SSfxyzyfxyzdSfxyzdSfxyzy若关于为奇函数若关于为偶函数

其中1{0}SSy.