2001考研数一真题及解析

2001

1 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 设12(sincos)xyecxcx(12,cc为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为

(2) 设222,rxyz则(1,2,2)()|divgradr

(3) 交换二次积分的积分次序：0112(,)ydyfxydx

(4) 设矩阵A满足2A40AE,其中E 为单位矩阵，则1AE＝

(5) 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计()2PXEX

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数()fx在定义域内可导，()yfx的图形如右图所示，

则导函数()yfx 的图形为 ( )

(2) 设函数(,)fxy在点(0,0)附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1,xyff则 ( )

(A)(0,0)|3.dzdxdy

(B)曲面(,)zfxy在点(0,0,(0,0))f的法向量为{3,1,1}.

(C)曲线(,)0zfxyy在点(0,0,(0,0))f的切向量为{1, 0,3}.

(D)曲线(,)0zfxyy在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.

(3) 设(0)0f，则()fx在点0x可导的充要条件为 ( ) 2001

2 (A)201lim(1cosh)hfh存在. (B)h01lim(1)hfeh存在.

(C)201lim(sinh)hfhh存在. (D)01lim(2)()hfhfhh存在.

(4) 设1111400011110000,,1111000011110000AB则 ( )

(A)合同且相似 . (B)合同但不相似.

(C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.

(5) 将一枚硬币重复掷n 次，以XY和分别表示正面向上和反面向上的次数，则XY和的相关系数等于 ( )

(A)-1 (B)0 (C)12 (D)1

三、(本题满分6分)

求2arctanxxedxe

四、(本题满分6分)

设函数(,)zfxy在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).ffxfxfxxx

求31()xdxdx.

五、(本题满分8分)

设21arctan,0(), 1, 0xxxfxxx试将()fx 展开成x的幂级数，并求级数21(1)14nnn的和.

六、(本题满分7分)

计算222222()(2)(3),LIyzdxzxdyxydz其中L 是平面2xyz

与柱面1xy的交线，从z 轴正向看去，L为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设()yfx 在(1,1) 内具有二阶连续导数且"()0,fx试证：

(1) 对于(−1,1)内的任意0x, 存在唯一的()x∈(0,1) ，使()(0)'()fxfxfxx成立；

(2) 01lim().2xx 2001

3 八、(本题满分8分)

设有一高度为()ht (t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()xyzhtht(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？

九、(本题满分6分)

设12,,,s为线性方程组0Ax 的一个基础解系，

1112221223121,,,,sstttttt其中12,tt为实常数.试问12,tt满足什么关系时，12,,,s也为0Ax的一个基础解系.

十、(本题满分8分)

已知3 阶矩阵A与三维向量x, 使得向量组2,,xAxAx线性无关，且满足

3232AxAxAx

(1) 记2,,,PxAxAx求2 阶矩阵B, 使1;APBP

(2) 计算行列式.AE

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X 服从参数(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)PP，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：

(1)在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；

(2)二维随机变量(,)XY的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设总体X服从证态分布2(,)(0),N从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)nXXXn，其样本均值为211,2niiXXn求统计量212niniiYXXX的数学期望()EY.

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 2001

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一、填空题

(1)【答案】220yyy.

【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0ypyqy的通解为12(sincos)xyecxcx时，则特征方程20rprq对应的两个根为一对共轭复根：1,2i，所以根据题设12(sincos)xyecxcx(12,cc为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1，特征根为1,2i1,i 从而对应的特征方程为：2(1)(1)220,ii 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220yyy.

(2)【答案】2.3

【分析】若,,rxyz具有连续的一阶偏导数，梯度gradr在直角坐标中的计算公式为：

rrrgradrijkxyz

设,,,,,,,,AxyzPxyziQxyzjRxyzk，其中,,PQR具有一阶连续偏导数，散度divA在直角坐标中的计算公式为：

PQRdivAxyz

若,,rxyz具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：

222222()rrrdivgradrxyz

【详解】本题实际上是计算222222rrrxyz

rx222xyzx22222xxyz222xxyzxr 2001

5 22rxxxr2rrxxr2xrxrxrxrr223rxr

类似可得 ryyr，22ry223ryr；rzzr，22rz223rzr

根据定义有 ()divgradr222222rrrxyz222222333rxryrzrrr

222233rxyzr2233rrr232rr2r2222xyz

于是 (1,2,2)()|divgradr2221,2,22xyz2222231(2)2

(3)【答案】2110(,).xdxfxydy

【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，

如图阴影部分. 但在10y内，21y，

题设的二次积分并不是(,)fxy在某区域上的二重积分，

因此，应先将题设给的二次积分变形为：

01021211(,)(,),yydyfxydxdyfxydx

其中(,)10,12,Dxyyyx 再由图所示，又可将D改写为

(,)12,10,Dxyxxy

于是 0112(,)ydyfxydx0211(,)ydyfxydx2011(,)xdxfxydy

2110(,).xdxfxydy

(4)【答案】 1(2).2AE

【详解】要求()AE的逆，应努力把题中所给条件化成()AEBE的形式.

由题设240AAE222AAEE22AEAEE O x y

x+y=1 x=2

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6 即 12,2AEAEE

故 1122AEAE.

(5)【答案】12

【分析】切比雪夫不等式：2()()DXPXEX

【详解】根据切比雪夫不等式有

22()21()2222DXPXEX

二、选择题

(1) 【答案】(D)

【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线()yfx是

严格单调增加的，因此当0x时，一定有'()0fx，对应

()yfx图形必在x轴的上方，由此可排除(A)，(C)；

又()yfx的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0fx，对应()yfx图形必在x轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).

(2)【答案】(C)

【详解】题目仅设函数(,)fxy在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,xyff未设(,)fxy在点(0,0)可微，也没设(,)zfxy，所以谈不上dz，因此可立即排除(A)；

令(,,)(,)Fxyzzfxy，则有''''',,1xxyyzFfFfF. 因此过点(0,0,(0,0))f的法向量为''',,xyzFFF'',,1xyff±{−3,−1,1} ，可排除(B)； 2001

7 曲线(,)0zfxyy可表示为参数形式：0,(,0)xxyzfx点(0,0,(0,0))f的切向量为

'1,0,(0,0)1,0,3xf. 故正确选项为(C).

(3)【答案】(B)

【详解】方法1：因为

0001()()lim(1)1limlimln(1)ln(1)hhhxxfxfxxfeexhxxx

0()ln(1)limxfxxxxxx00()0()lim0lim0xxfxffxfxx0f

可见，若()fx在点0x可导，则极限01lim(1)hhfeh一定存在；反过来也成立.

方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.

比如，()fxx, 在0x 处不可导，但

2220001cos11coslim(1cos)limlimhhhhhfhhhh22012sin2limhhh

2201112sinlim22hhhhh12，故排除(A)