2000考研数一真题及解析

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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 1

02xxdx

(2) 曲面222

2321xyz

在点

1, -2, 2

的法线方程为

(3) 微分方程"3'0xyy

的通解为

(4) 已知方程组1

31211

2323

120x

ax









无解，则a

(5) 设两个相互独立的事件A

和B都不发生的概率为1

9 ,

发生B

不发生的概率与B

发

生A

不发生的概率相等，则()PA =

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设(),()fxgx

是恒大于零的可导函数，且'()()()'()0,fxgxfxgx

则当axb

时，有 ( )

(A)()()()()fxgbfbgx

(B) ()()()()fxgafagx

(C)()()()()fxgxfbgb

(D) ()()()()fxgxfaga

(2) 设2222

1:(0),SxyzazS

为S

在第一卦限中的部分，则有 ( )

(A)

SSxdSxdS

(B)

SSydSxdS

(C)

SSzdSxdS

(D)

SSxyzdSxyzdS

(3) 设级数

nu



收敛，则必收敛的级数为 ( )

(A)

11.n

n



(B)2

nu



(C)

212

1().

nuu





(D)

1().

nuu





(4) 设n

维列向量组

1,,()

mmn

线性无关，则n

维列向量组

1,,

m

线性无关的充分

必要条件为 ( )

(A) 向量组

1,,

m

可由向量组

1,,

m

线性表示.

(B) 向量组

1,,

m

可由向量组

1,,

m

线性表示.

1,,

m

与向量组

1,,

m

等价.

(D) 矩阵

1,,

mA

与矩阵

1,,

mB

等价.

(5) 设二维随机变量

,XY

服从二维正态分布，则随机变量XY

与XY

不相

关的充分必要条件为 ( )

(A) ()().EXEY

(B) 22

()()()().EXEXEYEY

()().EXEY

(D) 22

()()()().EXEXEYEY

三、(本题满分5分) 求1

02sin

lim.

xex

e













四、(本题满分6分) 设,,xx

zfxyg

yy





其中f

具有二阶连续偏导数，g

具有二阶连续导数，求2

xy



五、(本题满分6分) 计算曲线积分

Lxdyydx

xy





其中L

是以点

1,0

为中心， R

为半径的圆周

R >1

，

取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间0x

内任意的光滑有向封闭曲面S,

都有

()()0,x

Sxfxdydzxyfxdzdxezdxdy

其中函数()fx

在(0, +)

内具有连续的一阶导数，且

0lim()1,

xfx



=

求()fx

七、(本题满分6分)

求幂级数

3(2)n

n



的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R

的球体，

是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点

到

距离的平方成正比(比例常数0k

)，求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数()fx

在

0,

上连续，且

00()0,()cos0,fxdxfxxdx



试证：在(0,)

内

至少存在两个不同的点

12,,

使

12()()0.ff

十、(本题满分6 分)

设矩阵A

的伴随矩阵*1000

0100

1010

0308A









且11

3,ABABAE



其中E

为4 阶单

位矩阵，求矩阵B.

十一、(本题满分8分)

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1

6熟练工支援其

他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2

5成为熟练工.设第n

年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为,

记成向

量n

y



. (1) 求1

y





与n

y



的关系式并写成矩阵形式：1

1;nn

nnxx

yy









(2) 验证

1241

11





是A

的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

(3) 当

y













时，求1

1.n

y







十二、(本题满分8分)

某流水生产线上每个产品不合格的概率为

01pp

,各产品合格与否相互独立，当

出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X ,

求

的数学期望

和方差

十三、(本题满分8分)

设某种元件的使用寿命X

的概率密度为2()

(;)

0, x

x













其中0

为未知参数，又设

12,,,

nxxx

是X

的一组样本观测值，求参数

的最大似然估

计值.

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】

4

【详解】11

0021(1)Ixxdxxdx

解法1：用换元积分法：设1sinxt

，当0x

时，sin1t

，所以下限取

2



；当1x

时，sin0t

，所以上限取0

所以

1sin

2cosxt

Icosttdt





由于在区间[,0]

2



，函数cost

非负，则 0

2coscos

4Itdtt





解法2

：由于曲线22

21(1)yxxx

是以点(1,0)

为圆心，以1为半径的上半圆

周，它与直线1x

和0y所围图形的面积为圆面积的1

4，故答案是

4

(2)【答案】122

146xyz





【详解】曲面方程(,,)0Fxyz在点),,(

000zyx

的法矢量为：

000000000{(,,),(,,),(,,)}

xyznFxyzFxyzFxyz



令222

(,,)2321,Fxyzxyz

则有



1, -2, 2

1, -2, 2

1, -2, 2'1, -2, 22|2,

'1, -2, 24|8,

'1, -2, 26|12.x

zFx

Fz





所以曲面在点(1,2,2)处的法线方程为：122

2812xyz



 即 122

146xyz





(3)【答案】1

22C

x

【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于"(,')yfxy

型的微分方程.

【详解】令'py，有"dp

dx

.原方程化为：30dp

dx，30dpp

dxx

2009考研数一真题及解析

第1页共16页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.

(1)当0x

时,

sinfxxax

与2ln1gxxbx

是等价无穷小,则()(A)1

6ab

.(B)1

6ab

.(C)1

6ab

.(D)1

6ab

(2)如图,正方形

,1,1xyxy

被其对角线划分

为四个区域

1,2,3,4

kDk

,cos

DIyxdxdy



则

14max



()

(A)

.(B)

(C)

.(D)

(3)设函数

yfx

在区间

1,3上的图形为

则函数

Fxftdt



的图形为()

(A)

(B)-1

-111

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第2页共16页

(C)

(D)

(4)设有两个数列

nnab

,若lim0



,则()

(A)当

nb



收敛时,

1nn

nab



收敛.(B)当

nb



发散时,

1nn

nab



发散.

(C)

当

nb



收敛时,22

1nn

nab



收敛.(D)

当

nb



发散时,22

1nn

nab



发散.

(5)设

123,,

是3维向量空间3R的一组基,则由基

12311

23

到基

122331,,

的过渡矩阵为()

(A)101

220

033



.(B)120

023

103



.(C)111

246

111

246

111

246













.(D)111

2018考研数一真题解析

2018考研数学一参考答案

一、选择题

1.D 2.B3.B 4. C 5.A6.A7.A8.D

二、填空题

9.-210.22ln211. ki 12.0 13.-1 14.41三、解答题 15.解：xxxxdeedxee221arctan211arctan



CeeeeCeeeeed

eeeede

eedx

eee

xxxxxxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxx

















)1(

1arctan

2112)1(

1arctan

21)1(

1arctan

21111

1arctan

21141

1arctan

21)1(112

1arctan

223

2222

222

16.解：设圆的周长为x，正三角周长为y，正方形的周长为z，由题设2zyx，则

目标函数：

16363

4()

222z

yxzyx

S

）（，故拉格朗日函数为

)2(

16363

4,,,2

zyxz

zyxL

）（则：

2

x

x梦想不会辜负每一个努力的人

第 1 页，共 6 页03632yLy0162zLz02

zyxL



解得

4331

4338

43336

4332













zyx，.

此时面积和有最小值

4331



S.

17.解：构造平面





0133

:'22

xzy

，取后侧，设'和所围区域为；

记;,,33zRzyQxP借助高斯公式，有：



4514)31(

)31(

3)31()31(231

3)31()231(31

3)31()31(31)

(2)31(31)331(331)331()331(0-

225

2231

021

2232231

2016考研数一真题解析

2016全国研究生入学考试考研数学一解析

本试卷满分150，考试时间180分钟

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．指定位置上.

（1）若反常积分



adx

xx



收敛，则



1Aa

且1b



B1a

且1b



1Ca

且1ab



1Da

且1ab

【答案】：

【解析】：注意到1

x在0x

为瑕积分，在x

为无穷限反常积分，

1

x仅在x

为无穷

限反常积分，所以1,1aab

（2）已知函数

21,1

()

ln,1xx

xx







，则

一个原函数是（）



2

1,1

ln1,1xx

AFx

xxx











 

BFx()

=x-1()2

,x<1

xlnx+1()

-1,x³1ì

íï

îï



C

2

1,1

ln11,1xx

xxx











 

2

1,1

ln11,1xx

DFx

xxx













【答案】：

【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数

在1x

连续，而

、

中的函数在1x

处均不连续，故选

。

（3）若2

11yxx

，2

11yxx

是微分方程

ypxyqx

两个解，

则

qx

（）



31Axx



31Bxx



x 

x

 梦想不会辜负每一个努力的人

第 1 页，共 12 页

【答案】： A 【解析】：分别将

2

11yxx

，2

11yxx

带入微分方程

ypxyqx

，

两式做差，可得

x

. 两式做和，并且将

x

带入，可得

qx

31xx

（4）已知函数,0

()

111

1xx

1993考研数一真题解析

11993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)函数

()(2)(0)x

Fxdtx

t的单调减少区间为______________.

(2)由曲线223212,

0xy

z





绕y

轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为______________.

(3)设函数2()()fxxxx的傅里叶级数展开式为

1(cossin)

2nn

anxbnx



,则其中系数

3b的值为______________.

(4)

设数量场222ln,uxyz则(grad)divu______________.

(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1n,则线性方程组0Ax的通解为______________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设sin

0()sin()x

fxtdt

,34()gxxx则当0x时,()fx是()gx的()

(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小

(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小

(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为()

(A)4

02cos2d



(B)4

04cos2d



02cos2d



(D)2

(cos2)

2d



(3)设有直线

1158

121xyz

L



与

23xy

yz





,则

1L与

2L的夹角为()(A)

6(B)

4(C)

3(D)

2

(4)设曲线积分[()]sin()cosx

Lfxeydxfxydy

与路径无关,其中()fx具有一阶连续

公众号“考试狗的学习秘籍”提供关注免费领取更多资料2导数,且(0)0f,则()fx等于()(A)

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