2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
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2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
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二次函数与多边形存在性问题
最经常遇到的中考压轴题，通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质；作图是第一步，注意多种情况分类讨论。
解答题（共15小题）
1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；
（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形．
3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．
（1）求抛物线的解析式； 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
2 （2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（）三点，设该二次函数的顶点为G．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；
（2）求tan∠ACG的值；
（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积； 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
3 （3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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7．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
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10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）．
（1）求此函数的解析式和对称轴；
（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．
11．如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO=45°．
（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
6 （2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图：已知，直线l1⊥l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1．
（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；
（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使△PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
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13．已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；
（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形． 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
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华罗庚数学：中考第一讲 二次函数与多边形存在性问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点，
∴
解得
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x．
（2）根据题意得：
M1（3，1）、M2（﹣3，﹣1）、M3（5，﹣1）．
2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；
（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，
得到a=﹣1， 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
10 所以=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，D点坐标为（4，3）或（﹣4，3）或（﹣2，﹣3）．
3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣3）．
将C点坐标代入后可得：
a（0+2）×（0﹣3）=3，a=﹣．
因此抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣x2+x+3；
（2）如图；
存在这样的P点，且坐标为P（﹣1，2）
理由：∵OB=OC，∠COB=90°
∴∠CBO=∠OCB=45° 2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版
11 ∵OD⊥BC
∴∠COD=∠BOD=45°
因此E为直线y=x与抛物线的交点，
因此有：
解得：，
即E点的坐标为（2，2）．
若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=OB且EP∥OB，那么P点的坐标为（﹣1，2）．
当x=1时，抛物线的值为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣×1×（﹣4）=2
因此P点在抛物线上．
所以存在这样的P点，且坐标为（﹣1，2）．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（）三点，设该二次函数的顶点为G．
（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；
（2）求tan∠ACG的值；
（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
