复变函数总复习

《复变函数》模拟试卷

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《复变函数》模拟试卷

一、填空题

1. 方程13zei的解为 。

2. (1)ii的实部为 。

3. 积分0iizzedz 。

4. 函数1)(zzezf在0z处的Taylor展开式的平方项系数为 ，其收敛半径R= 。

5. 设2||2sin()()fzdz，则(1)f= 。

6. 把||1z映为||1w且满足条件(1/2)0,(1)ffi的分式线性映射为 ；此映射在1/2z处的旋转角为 。

7. izezf)(在iz处的旋转角为 ，)(zf在哪些点处的伸缩率为1 。

8. 若a为()fz的3级极点而为()gz的解析点，则Res()(),()fzgzafz 。

二、计算题

1.求,,,abcd的值使得函数2222()()fzxaxybyicxdxyy在复平面上解析，并求此时的'()fz。

《复变函数》模拟试卷

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2. 计算积分dzzc2)(Im，其中C为：

（1）从原点到i1的直线段；

（2）半圆：zzarg0,1||，起点为1。

3. 求函数111()zfzez的孤立奇点，判别其类型，并求函数在这些奇点处的留数。

4.求函数)2(1)(2zzzzf 在下列圆环内的Laurent展开式：

（1）||2z； （2）2|2|0z

《复变函数》模拟试卷

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5. 计算下列积分

（1）dzzzz1||21sin)1(

（2）22sin(1)(4)xxdxxx

远程教育适合每个人

02电子商务 张国俊

在当今社会，经济的全球化导致竞争全球化，终身学习教育是国家未来发展的前提，也是个人发展的前途关键，在发达的西方社会，终身学习、学习组织、学习社会的思想已经得到广泛的接受。江泽民同志指出"终身学习是当今社会发展的必然趋势"，强调"要以远程教育网络为依托，形成覆盖全国城乡的开放教育系统，为各类社会成员提供多层次、多样化的教育服务"。

用“迅猛”来形容远程教育的发展也许是再恰当不过了。从1999年我国4所大学招收第一批网络生至今，在不到3年的时间内，我国远程教育不仅招生学校由4所增加到45所，而且招生人数也在呈几何级数向上攀升，从最开始的一两百人增加到了几万人。面对如此高速发展的远程教育，人们在惊喜之余，也不禁产生了疑问：远程教育适合我吗？据一项公众调查显示，69％的人认为，网上人大的最大优点是方便。

上学必须先解决学习工具问题。在网络大学，学生无须在指定的时间到指定地点接受教师的授课，无须每天为了上一小时的课在路上奔波三小时，只需有一台电脑，学生可以自主决定学习的时间和地点参加远程教育。

远程教育的学习过程同样简单，“任何人、可以在任何时间、任何地点、从任何一个章节、开始学习任何一门课程。支撑网上大学为学生提供随时随地服务的关键一环是课件，就是网校的教材。课件既有网络版，又有光盘版。所以，如果你真的畏惧网络，同样可以通过光盘版的课件参加学习。课件既有文字又有图象、动画、解说等多种信号，非常生动。课件的制作十分复杂，包含了授课老师和专业技术人员的心血，而使用起来却十分的简单，上课时你只需的就是用鼠标点击就可以浏览课件，完成学习。为了方便不精通电脑的学生学习，网校在入学时还安排了专门的老师辅导学生，这就给了学生一个全面了解网络学习的过程。上课时，每一位学生都可以随时“走上讲台”发表自己的见解，其他同学可以进行评论，但这并不会影响他人的听课。由于互联网的出现，学生可以相互交流，与教员交流，无论他们在哪里。

第三章 习题课

一、内容提要

复变函数积分的定义，计算，性质。

柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

柯西不等式。

)(,1012重要的常用的积分Znnniazdznc

其中c为包含a在其内部的一条简单闭曲线

二、习题选解

例1、沿第一象限中线路2,1C，计算积分xydydxyxic222，起点和终点分别为（1，0）和（0，1）

1:12221yxcyxc：

解：（1）在tytxc,11上，

则10,,tdtdydtdx

11222211212)(1dttdttdxttxydydxyxc

（2）在)20(,sin,cos2yxc上，

20220222235cossin2sin)sin(cos2)(2ddxydydxyxc

例2，dzizc2)2(

其中c为从1到i2的简单曲线 （引理） 解：2)2(iz在复平面上解析（连续），且有原函数3)2(31)(izizF

)1(313)2()2(231)1()2()2(332iiiiiFiFdzizc

例3、计算积分dzzic)(，这里c为

（1）自0到i1的直线段

（2）自0到i1的抛物线2xy的弧段

解：（1）从0到i1的直线段的方程为tittitz)1(0)1(

10t，则

iidtitdtiittititidzzic211)12()1()1()1)(()(101010

（2）设弧段的方程为 10,2tittz

则dttiittidzzic)21()()(102

idtttt322)1()32(1023

复变函数与积分变换复习重点总结

一、复变函数基本概念

1.复数的定义与运算规则。复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。

2.复平面及相关概念。复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。

3.复变函数的定义与性质。复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。

二、整函数

1.整函数的定义与性质。整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。

2.全纯函数与调和函数。全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。

3.零点与奇点。零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。

4.极限定理与唯一性定理。解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。

三、留数定理

1.留数的概念与计算方法。留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。 2. 留数定理与积分公式。留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。

3.洛朗展开与留数计算。洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。

四、解析函数与幂级数展开

1.解析函数的定义与性质。解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。

2.幂级数展开与泰勒级数。将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。

3.余项估计与收敛半径。余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。

4.解析函数的四则运算与复合函数。解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。