复变函数-总复习

《复变函数》 复习资料1

一、判断题

1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）

2.

3.

4.

5.

6.

7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。 （ ）

8.

9.

10.

二、解答题

1.设

)1()(

2

zze

zfz



，求()fz

在1||0z的洛朗展式（只写出含1

z到2

z

各项）.

2.利用留数定理计算复积分I2

1a

z

zedz



1()()nn

zdz

zazb



(01,01ab

且,abn

为自

然数). 3.利用留数定理计算实积分





d

2

0cos452cos4

.

三、解答与证明题

1.

如果在1z

内，函数()fz解析，且1

()

1fz

z



，求()

(0)n

f

的最优估计值.

2．（1）函数

2

11

x当x为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式：



42

21

11

xx

x

却只当1x

时成立，试说明其原因；

（2）利用惟一性定理证明：21

0(1)

sin,

(21)!nn

nz

z

n







1z

.

3.设)(z

在:1Cz

内解析且连续到C

,在C

上

()1z

试证 在C

内部2

()3zzz



只有一个根

0z

.

4. 设D

为单连通区域，()fz

在D

内解析，C

在D

内一条周线，

0D

为C

的内部.若对于任意的

0zD

都有1()

Re1

2

Cf

d

iz













，则在D

内恒有()fz1ic

，其中c

为实常数. 答案

一、

1-5 FFTTF 6-10 TFFTF

二、解答题

1、设

)1()(

2

zze

zfz

，求()fz

在1||0z的洛朗展式（只写出含1

z到2

z

各项） 解：

)1()(

2

zze

zfz



21

1z

e

zz

 =2

1

(1)

2!3!zz

z

（242

1(1)nn

zzz

） =215

1

26z

z

z



（1||0z

）.

2、利用留数定理计算复积分I2

1a

z

zedz



1()()nn

zdz

复变函数期末复习多复变函数论

duofubian hanshulun

多复变函数论

theory of analytic functions of several variables

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分⽀学科，有时也称多复分析。它形成较晚，但发展迅速。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和⽅法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很⼤程度上由定义区域的⼏何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了⼀个由局部性质到整体性质的逐步的转移。它⼴泛地使⽤着微分⼏何学、代数⼏何、李群、拓扑学、微分⽅程等相邻学科中的概念和⽅法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。如果说各学科的相互渗透和影响⽇益⼴泛是近代数学的特征，那么对多复变函数论⽽⾔，这⼀特点尤为显著。

历史发展多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这⼀学科创⽴的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库⾟、F.M.哈托格斯等⼈的⼯作。他们的研究揭⽰了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库⾟提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的⼀个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析⾃同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要⼯作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这⼀时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯⾃同构的惟⼀性定理、有界域全纯⾃同构群的李群性质以及全纯域与全纯

凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，⽇本数学家对库⾟问题、列维问题、逼近问题等多复变的中⼼问题进⾏了长期、系统⽽富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。他的这⼀系列⼯作对以后年代的多复变的发展有着重⼤的影响。50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相⼀致，在多复变函数论中⽤拓扑⽅法和⼏何⽅法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念

《复变函数》模拟试卷

1

《复变函数》模拟试卷

一、填空题

1. 方程13zei的解为 。

2. (1)ii的实部为 。

3. 积分0iizzedz 。

4. 函数1)(zzezf在0z处的Taylor展开式的平方项系数为 ，其收敛半径R= 。

5. 设2||2sin()()fzdz，则(1)f= 。

6. 把||1z映为||1w且满足条件(1/2)0,(1)ffi的分式线性映射为 ；此映射在1/2z处的旋转角为 。

7. izezf)(在iz处的旋转角为 ，)(zf在哪些点处的伸缩率为1 。

8. 若a为()fz的3级极点而为()gz的解析点，则Res()(),()fzgzafz 。

二、计算题

1.求,,,abcd的值使得函数2222()()fzxaxybyicxdxyy在复平面上解析，并求此时的'()fz。

《复变函数》模拟试卷

2

2. 计算积分dzzc2)(Im，其中C为：

（1）从原点到i1的直线段；

（2）半圆：zzarg0,1||，起点为1。

3. 求函数111()zfzez的孤立奇点，判别其类型，并求函数在这些奇点处的留数。

4.求函数)2(1)(2zzzzf 在下列圆环内的Laurent展开式：

（1）||2z； （2）2|2|0z

《复变函数》模拟试卷

3

5. 计算下列积分

（1）dzzzz1||21sin)1(

（2）22sin(1)(4)xxdxxx

远程教育适合每个人

02电子商务 张国俊

在当今社会，经济的全球化导致竞争全球化，终身学习教育是国家未来发展的前提，也是个人发展的前途关键，在发达的西方社会，终身学习、学习组织、学习社会的思想已经得到广泛的接受。江泽民同志指出"终身学习是当今社会发展的必然趋势"，强调"要以远程教育网络为依托，形成覆盖全国城乡的开放教育系统，为各类社会成员提供多层次、多样化的教育服务"。

用“迅猛”来形容远程教育的发展也许是再恰当不过了。从1999年我国4所大学招收第一批网络生至今，在不到3年的时间内，我国远程教育不仅招生学校由4所增加到45所，而且招生人数也在呈几何级数向上攀升，从最开始的一两百人增加到了几万人。面对如此高速发展的远程教育，人们在惊喜之余，也不禁产生了疑问：远程教育适合我吗？据一项公众调查显示，69％的人认为，网上人大的最大优点是方便。

上学必须先解决学习工具问题。在网络大学，学生无须在指定的时间到指定地点接受教师的授课，无须每天为了上一小时的课在路上奔波三小时，只需有一台电脑，学生可以自主决定学习的时间和地点参加远程教育。

远程教育的学习过程同样简单，“任何人、可以在任何时间、任何地点、从任何一个章节、开始学习任何一门课程。支撑网上大学为学生提供随时随地服务的关键一环是课件，就是网校的教材。课件既有网络版，又有光盘版。所以，如果你真的畏惧网络，同样可以通过光盘版的课件参加学习。课件既有文字又有图象、动画、解说等多种信号，非常生动。课件的制作十分复杂，包含了授课老师和专业技术人员的心血，而使用起来却十分的简单，上课时你只需的就是用鼠标点击就可以浏览课件，完成学习。为了方便不精通电脑的学生学习，网校在入学时还安排了专门的老师辅导学生，这就给了学生一个全面了解网络学习的过程。上课时，每一位学生都可以随时“走上讲台”发表自己的见解，其他同学可以进行评论，但这并不会影响他人的听课。由于互联网的出现，学生可以相互交流，与教员交流，无论他们在哪里。