3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程-3.2。2平行关系

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

高三 数学 刘霞

学习目标：.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.

复习：1、两向量平行定义、向量与平面平行的定义。

2、共面向量基本定理。

3、线面平行判定定理及性质

4、面面平行判定定理

一、新课讲授：

探究（一）：用向量的方法证明线线平行

位置关系？与，则：若问题关系与重合，则与或：若问题，的方向向量分别为，设21212121212121//v2?v//1vllvvllllvll

结论：

探究（二）：用向量证明直线与平面平行

位置关系？与位置关系？则直线与，则与使：若存在唯一一对实数问题关系，与则的基线不是若关系，与的基线，则是：若问题的方向向量共面，直线与，设不共线向量lvvxvyxvvvlvvvlvlv21212121yv,,2?v,?v1v

结论：

推论：如果A,B,C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x,y使得

ACABxAMy

探究（三）：用向量证明平面与平面平行

位置关系？与位置关系？则平面的基线与则，：若问题位置关系与则：若问题位置关系与重合，则与：若问题共面，与设不共线向量分别为2121212121,v,////v3?,v//2?,v1,vvvvvv

结论：

二、例题讲解：

例1： 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，点M，N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点。

(1) 求证：MN//侧面ADD' A’

(2) 求证： MN//AD'且 MN=21AD’

(3) 求证：面A'C'B//面ACD'

练习1已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但它们不在同一个平面，点M、N分别在对角线BD、AE上，且BM= 31BD，AN=31AE,证明直线MN//面CDE

2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．求证：MN∥面ADD1A1．

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)

1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量

则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.

2．求两直线所成的角应注意的问题：

在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．

探究点一 两条直线垂直

问题 怎样利用向量证明两直线垂直？

例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．

求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.

跟踪1 在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.

例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．

跟踪2 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．

探究点三 探索性问题

例3 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．

(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；

(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由

跟踪3

如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.问当CDCC1的值等于多少时，A1C⊥BD且 A1C⊥BC1?

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

学习目标

知识与技能：用向量表示直线或点在直线上的位置，用向量方法求证直线与直线平行，直线与平面平行

过程与方法；通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法.

重难点

直线的方向向量，平行关系的论证。

引入复习检测

在平面向量的学习中，我们得知

① M、A、B三点共线___________________________

② A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.

动点P在l的充要条件是_______________________________

上述式子称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。

讲解新课

１．给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量

.APta ①

这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使.APta

向量方程①通常称作＿＿＿＿＿＿＿.向量a称为该＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

２．直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式

.OPOAta ②

如果在l上取,ABa 则②式可化为()OPOAtABOAtOBOA 即 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③

①或②或③都叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

高二数学B3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2

编号6 编制：孙国兴 滕雁霏 审核：李春焕 日期：2009-2-17

一．学习目标

掌握空间直线的向量参数方程，理解直线的方向向量，掌握运用向量方法证明线线、线面、面面垂直关系，用向量方法求两直线所成的角。

二．知识梳理

设两条直线所成角为（锐角），则直线方向向量的夹角与 ，设直线l1或l2的方向向量分别为21vv和，则l1⊥l2 ，cos= .

三．典例解析：

例 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。

求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C

四．课堂练习：

1、设l1的方向向量为a=（1，2，-2），l2的方向向量为b=（-2，3，m），若l1⊥l2,则m=( )

A.1 B.2 C.21 D.3

2、已知A、B、C三点坐标分别为A（4，1，3）B（2，-5，1）C（3，7，）若AB与AC垂直，则等于（ ）

A、=28 B、=-28 C、=14 D、=-14

二、填空题

3、已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA、BC的中点，则MN与OB所成的角为 。

4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，DD1=3，则AC与BD1所成角的余弦值为 。

三、解答题

5、在正方体OABC—O1A1B1C1中，P，Q分别是棱AB、B1C1的动点，且AP=B1Q，M，N，R分别是AB1，PQ，BC1的中点。 (1)求证： MR⊥OB1 (2)求证 ：点N恒在线段MR上

（3）当2APPB时，求11cos,PMAC的值

6、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，090,//,,BADADBCABBCa