向心加速度公式的推导方法

圆周运动向心加速度公式推导（向心加速度公式的推导方法
ppt）
1、我没法画图，口述一下，你可以自己画了看看：在圆周上，取一小段圆弧AB，圆心为O，假设在A点速度为v1，在B 点速度为v2，那么v1,v2分别垂直于OA，OB,|v1|=|v2|=v。

2、把v2平移到跟v1起点相同的地方比较，可以发现v1跟
v2，以及v1,v2的差构成一个等腰三角形，顶角＝角AOB，那么不难看出，当角AOB很小的时候，底边无限接近垂直于
v1，所以加速度也垂直于v1。

3、至于加速度大小,还是从这个等腰三角形中看，底边大小＝2*v*sin(1/2角AOB)，角AOB无限小就成了2*v*1/2*角
AOB=v*角AOB，从A到B时间为r*角AOB/v,所以加速度为速度的改变乘以时间＝v1-v2/t=v^2/r。

4、推导中用到了正弦函数一个性质: x很小的时候，sin(x)越等于x。

5、在x越接近于0的时候，sin(x)/x越接近1。

这篇文章已经分享到这里了，希望对大家有帮助。

（于凤刚 推导整理） 向心加速度公式的推导两法
方法一：
加速度公式的推导关键注意：课本P 21“做一做”③如图5.5-4当角θ用弧度表示时，弧长QP 可以表示为。

当θ很小很小时（物理上定义为5o ），弧长与弦长没什么区别，所以此式也可以表示弦长。

这个关系也可以来计算矢量△v 的长度。

根据上述知识结合右图
设A B ==v v v
得： θ∆=v v （与QP=r θ同理） 根据a t ∆=∆v 及t
θω∆=∆ 得：
a t
θω∆=
=∆v v 又因为r ω=v 所以2a r ω=
方法二：
根据数学知识：当θ很小很小时（物理上定义为5o
），sin θθ≈（θ以弧度为单位的数值）。

在上图A B ∆、、v v v 矢量组成的三角形是等腰三角形，根据几何知识有， 2sin 2
θ∆∆=v v （设A B ==v v v ） 因为△θ很小很小，所以
sin
22
θθ∆∆= 故， θ∆=∆v v
根据a t ∆=∆v 及t
θω∆=∆ 得：
a t
θω∆=
=∆v v 又因为r ω=v 所以
2
a r ω=。

向心加速度公式的几种推导向心加速度公式的几种推导向心加速度是物体在做匀速圆周运动时所受到的加速度，它与物体的速度和半径有关。

向心加速度的公式可以通过不同的推导方法得出。

本文将介绍几种常见的推导方法，解释向心加速度的概念和公式。

第一种推导方法是通过定义力的方向来推导。

在物体做匀速圆周运动时，它受到一个向心力的作用，该力的方向指向圆心。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比。

因此，我们可以得到向心加速度的方向是指向圆心的。

根据定义，向心加速度的大小等于速度的平方除以半径，表示为a = v^2 / r，其中a是向心加速度，v是速度，r是半径。

第二种推导方法是利用速度的变化率来推导。

在匀速圆周运动中，物体的速度大小是恒定的，但其方向在不断变化。

为了描述速度的变化率，我们引入一个新的物理量，即角速度。

角速度表示单位时间内物体在圆周运动中所转过的角度。

根据等速圆周运动的性质，角速度与速度的大小之间存在一定的关系。

我们可以将速度的大小表示为v = ωr，其中v是速度，ω是角速度，r是半径。

由于角速度的单位是弧度/秒，所以速度的单位是米/秒。

然后，我们对速度对时间求导，得到加速度的大小。

根据导数的链式法则，加速度大小的推导公式为a = d(v)/dt = d(ωr)/dt = r(dω/dt)。

因为匀速圆周运动中角速度不变，所以dω/dt = 0，即加速度的大小为零。

但由于速度的方向在不断变化，所以加速度的方向是向心方向。

第三种推导方法是使用几何关系来推导。

考虑一个物体在半径为r的圆周上运动，它在1秒内沿圆周运动一周。

我们知道圆周的周长等于2πr，所以物体运动的距离为2πr。

另外，我们知道速度的定义为单位时间内所运动的距离。

所以，速度的大小等于运动的距离除以时间，即v = 2πr / 1 = 2πr。

根据速度的定义和向心加速度的定义，我们可以得到a = v^2 / r = (2πr)^2 / r = 4π^2r。

向心力向心加速度1. 引言在物理学中，向心力和向心加速度是描述物体在进行圆周运动时受到的力和加速度。

向心力是一个沿着半径方向的力，使物体向圆心靠拢；向心加速度则是物体在圆周运动中加速度的大小。

本文将从向心力和向心加速度的定义、计算公式以及示例应用等方面进行详细介绍。

2. 向心力向心力是指物体在做圆周运动时受到的沿着半径方向的力。

向心力的大小与物体的质量、圆周运动的角速度以及物体与圆心的距离有关。

根据牛顿第二定律，向心力与物体的质量乘以向心加速度之间存在以下关系：F_c = m * a_c其中 F_c 表示向心力，m 表示物体的质量，a_c 表示向心加速度。

3. 向心加速度向心加速度是物体在圆周运动中加速度的大小。

根据物体在圆周运动中的速度变化情况，可以推导出向心加速度的计算公式。

假设物体以恒定的角速度ω 绕圆心运动，其线速度的大小为 v，根据几何关系可得：v = ω * r其中 v 表示线速度，r 表示物体与圆心的距离。

假设物体的线速度发生了Δv 的变化，由于圆周运动的特性，线速度的变化会导致物体发生向心加速度 a_c，根据加速度的定义可得：a_c = Δv / Δt将Δv替换为ω * Δr，其中Δr 表示物体在Δt 时间内与圆心的距离变化，可得：a_c = (ω * Δr) / Δt当Δt 趋近于 0 时，上式变为微分形式：a_c = (dω * dr) / dt对上式进行进一步推导，可以得到向心加速度的计算公式：a_c = ω^2 * r4. 示例应用4.1 行星绕太阳的向心力和向心加速度行星绕太阳做椭圆轨道运动，其向心力和向心加速度的计算可以通过开普勒第二定律和牛顿定律得到。

根据开普勒第二定律，行星在其椭圆轨道上的扫面面积相等。

根据牛顿定律，向心力使得行星保持在轨道上。

当行星靠近太阳时，向心力增大；当行星离开太阳越远，向心力减小。

根据向心力的定义和计算公式，可以计算出行星绕太阳的向心力和向心加速度。

向心加速度公式的推导方法首先，我们假设一个物体在平面上做匀速圆周运动，其质量为m，速度为v。

这个物体受到一个向心力Fc的作用，该力指向物体所绕的圆心。

根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于质量乘以加速度，即F = ma。

将合力拆分成两个分力：向心力Fc和切向力Ft。

1.向心力Fc：向心力Fc的方向指向物体所绕的圆心，大小为Fc = m•ac，其中ac为物体的向心加速度。

2.切向力Ft：切向力Ft的方向垂直于速度矢量v，大小为Ft = m•at，其中at为物体的切向加速度。

由于物体作匀速圆周运动，速度大小保持不变，所以at = 0。

根据向量加法，合力F等于向心力Fc和切向力Ft的矢量和。

由于切向力Ft为零，所以F=Fc。

现在我们来推导向心加速度公式。

根据牛顿第三定律，任何两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。

在这个圆周运动的例子中，物体对圆心施加向心力Fc，圆心对物体同样施加一个反向的力-Fc。

这个反向力-Fc实际上是质量为m的物体受到的合力F，即-Fc = F = ma。

根据向量的减法，力-Fc可以表示为-Fc = (-m•ac)。

再根据牛顿第二定律F = ma，我们有(-m•ac) = ma。

将方程两边除以-m，得到ac = a，即物体的向心加速度等于物体的加速度。

由于物体作匀速圆周运动，其速度方向始终垂直于加速度方向。

因此，速度v和加速度a的关系可以用速度的模长（大小）来表示，即v=，v，a=，a。

当物体作圆周运动时，其加速度a可以通过速度v的变化来计算。

由物体速度v的定义可知，v = ds/dt，其中ds表示质点在t时刻的位移矢量。

速度的变化可表示为dv = dv/dt。

将速度表示为位移的导数，我们有：dv/dt = d(ds/dt) / dt = d²s/dt²。

由于物体作匀速圆周运动，其速度大小，v，保持不变。

因此，dv/dt = 0，即加速度的时间变化率为零。

向心加速度公式的简明推导方法
丁天然
【期刊名称】《《物理教学探讨》》
【年(卷),期】2003(021)011
【摘要】现行高中物理教材在推导匀速圆周运动物体的向心加速度公式时采用的是分步骤推导法,即从△t时间内的平均合加速度出发,先定性分析加速度的方向,再定量计算得到向心加速度公式.推导中要涉及矢量加减法;速度矢量三角形与位置矢量三角形的相似以及△t趋近于零时,△v/△t和△s/△t的极限等知识,难度偏大.现行全日制普通高中教材(试验修订本·必修)将其作为阅读材料则困难更大.下面给出一种利用加速度分量式概念,直接计算向心加速度大小和方向的简明推导方法,供大家参考.【总页数】1页(P20)
【作者】丁天然
【作者单位】山东济宁师专物理系 272025
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.α粒子散射公式的一种简明的推导方法 [J], 俞先锋
2.匀速圆周运动向心加速度的简明推证 [J], 冯光佩;赵继雄
3.向心加速度的一种简单推导方法 [J], Wedem.,B
4.向心加速度公式的简明推导方法 [J], 丁天然
5.利用速度三角形和几何三角形相似推导向心加速度公式a=v^2/R——对人教版高中物理必修2第五章第5节“向心加速度”的教学研究 [J], 王金虎
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

加速度的三个公式在日常生活中，我们经常听到加速度这个概念，但是对于加速度的具体含义以及计算方法却并不是很清楚。

实际上，加速度是描述物体在单位时间内速度变化的量，是一个矢量，方向与速度变化的方向一致。

在物理学中，加速度有三种常见的计算方式，分别是匀变速度运动的加速度、自由落体运动的加速度以及圆周运动的加速度。

首先，我们来看匀变速度运动的加速度。

在匀变速度运动中，物体的速度随着时间呈等加速度变化。

加速度的计算公式为a=(v-u)/t，其中a为加速度，v为末速度，u为初速度，t为时间。

这个公式的推导过程比较简单，通过速度-时间图像的斜率可以得到加速度的数值。

在日常生活中，我们常常可以通过这个公式来计算汽车的加速度，或者是运动员的加速度等。

其次，自由落体运动是一个经常出现在物理学中的现象。

在自由落体运动中，物体受到重力的作用，加速度大小为9.8m/s²，方向向下。

自由落体运动的加速度可以通过简单的运动学公式来计算，即a=g，其中g为重力加速度的大小。

在地球表面的自由落体运动中，加速度是一个恒定的值。

这个公式的应用范围比较广泛，例如我们可以通过这个公式来计算自由落体运动物体的速度、高度等。

最后，圆周运动的加速度也是一个常见的物理概念。

在圆周运动中，物体不仅有速度的变化，还有速度的方向发生变化，因此物体会有向心加速度。

向心加速度的计算公式为a=v²/r，其中a为向心加速度，v为速度，r为半径。

在圆周运动中，向心加速度的大小和速度的平方成正比，与半径的倒数成反比。

通过向心加速度的计算，我们可以得到物体在圆周运动中所受到的合力大小。

这个公式的应用在航天领域、机械制造等领域都非常普遍。

综上所述，加速度是物理学中一个非常重要的概念，它可以描述物体在运动过程中速度的变化情况。

在不同的运动情况下，加速度的计算方法也有所不同。

通过掌握加速度的三个常见公式，我们可以更好地理解物体运动的规律，为解决实际问题提供便利。

圆周运动中的牛顿第二定律和向心加速度的关系牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在受到力的作用下发生加速度的现象。

而在圆周运动中，物体在维持其运动轨道时需要受到向心力的作用，这与牛顿第二定律密切相关。

本文将探讨圆周运动中牛顿第二定律与向心加速度之间的关系。

在介绍牛顿第二定律和向心加速度的关系之前，我们先来了解一下牛顿第二定律的具体内容。

牛顿第二定律可以用数学公式表示为：F = m * a其中，F代表物体所受的合力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。

该公式表明，物体的加速度与作用于其上的力成正比，与物体的质量成反比。

在圆周运动中，物体维持其运动轨道需要受到向心力的作用。

向心力是指指向圆心的力，其大小与物体质量、速度和运动轨道半径有关。

根据牛顿第二定律，我们可以推导得出向心加速度的表示公式。

假设物体在半径为r的圆周运动中，其线速度为v，向心加速度为a。

根据牛顿第二定律，我们可以得到如下等式：F = m * a其中，F表示向心力。

由于向心力与物体质量无关，我们可以将等式改写为：F = m * a = m * (v^2 / r)根据圆周运动特性，向心力可以等于物体的质量乘以向心加速度：F = m * a = m * (v^2 / r) = m * a_c其中，a_c表示向心加速度。

通过比较上述等式，我们可以得到向心加速度的表示公式：a_c = v^2 / r这个公式表明，在圆周运动中，物体的向心加速度与其线速度的平方成正比，与运动半径成反比。

向心加速度越大，物体受到的向心力就越大，因此才能维持其在曲线轨道上的运动。

需要注意的是，向心加速度的方向永远指向圆心，而不是物体运动的方向。

这是因为向心加速度是为了使物体维持曲线轨道运动而产生的加速度，而非线速度方向上的加速度。

综上所述，牛顿第二定律和向心加速度在圆周运动中有着密切的关系。

牛顿第二定律描述了物体在圆周运动中受到的合力与其向心加速度的关系，而向心加速度的大小又与物体的线速度平方和运动半径有关。

图
三 、利用开普勒第三定律 、万有 引力定 律和牛顿第二定律推导 向心加速度
质量 为 。的人造地球 卫星 以速 率 在 半
径 为 厂的近 圆轨道 上绕地球 运 行 , 运 行 周 期
为 乙 地球质量为 从
根据开普勒第三定律 尹 尸
为常
量
根据万有 引力 定律 户 改姚才广
对于 圆周运动 的物体有 介 二
湖南中学物理
”
年第 期
匀速 圆周运 动 向心加速度公式推导方法
张智 庄浪县紫荆 中学 , 甘肃 平凉
质 点做匀速 圆周运动 , 受力方 向与运动 方 向垂直 , 有 向心加速度 。为 了加深对 向心 加速度 概念 的理解 , 掌握 向心加速度 的大小 与质点运 动速度大小和运动半径 的关系 , 现 用三种方法推 导 向心加速度 的计算 公式
根据 牛顿第 二 定律
二
由以上各式可知 酬光丫 二’·沪 厂
即 二萨厂 。
设在很短 的时间 内 , 小球沿 圆周从 到 可分解为沿切线 方 向的匀速直线运 动和沿 方 向初速度 为零 的匀加速直线运 动 如图 一
故有 『尹 模型
设在很短 的时间 内 , 小球沿 圆周从 运动到 可分解 为沿 切线 方 向的匀速直 线运动和沿 方 向的初速 度 为零 的匀加速 直线运动 如 图
,·
张 智 匀速 圆周运动向心加速度公 式推导方法
一 厂 山个
声 挤生。、
由于 时 间 “ 良短 , 即 趋近 于
, 所以
由 △ 。 △ 可知
△阵
当 趋近于零时 , 由匀速 圆周运 动 定义和加速度 定义可 知
工了、趋近于 。。
故有 沪
二屁
△刁
故有 萨 尸

向心加速度公式的推导发表时间：2011-12-08T11:10:23.120Z 来源：《学习方法报·理化教研周刊》2011年第14期供稿作者：张朝贵[导读] 高中物理教学中关于匀速圆周运动的向心加速度是新课标高中物理教材必修2教学的重点和难点，教师难教，学生理解困难。

云南省永胜县第四中学张朝贵高中物理教学中关于匀速圆周运动的向心加速度是新课标高中物理教材必修2教学的重点和难点，教师难教，学生理解困难。

而向心加速度公式的推导则可以更好地帮助学生理解和记忆向心加速度的公式。

目前教材大多不进行理论推导，只通过定性实验得到结论，或者让学生自行探究，初学者还是觉得难以理解。

笔者在这里利用三角形相似法推导向心加速度公示，来加深学生对向心加速度的认识和理解。

研究加速度要依据加速度的概念，加速度是速度的改变量跟发生这一改变量所用时间的比值。

所以要从确定速度的变化量△v来着手。

如图甲，我们可以先把有关速度矢量vA和vB画成如图乙所示，速度的改变量为：△v＝vB－vA在求出△v的基础上，就得出当△t→0时，△v的方向就是沿半径指向圆心的，所以加速度的方向也是时刻沿半径指向圆心的。

这里要特别注意，向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

从图中可以看出，图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是相似三角形。

图甲图乙如果用v表示vA和vB的大小，则匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。

上述加速度是在匀速圆周运动情况下推导的，仍然适用于一般圆周运动，但公式中的v必须用瞬时值。

在推导向心加速度公式时，要明确只有当△t→0时，弦AB的长度△s才等于弧AB的长度，才表示线速度的大小，从而得出。

利用速度三角形和几何三角形相似推导向心加速度公式a=u2/R作者：王金虎来源：《新课程·下旬》2019年第10期摘要：在新课标背景下准确把握教材知识并对教材内容进行恰当挖掘与拓展，利用速度三角形与几何三角形的相似之处，采取数学极限思想推导出向心加速度公式a=■，从而对教材内容做出适当补充，符合高中学生的思维发展。

关键词：速度三角形;几何三角形;相似;向心加速度在解决物体的“动态平衡”问题时，在力三角形不是直角三角形的情况下，我们利用力三角形与几何三角形的相似性判断力的变化情况，即力三角形中三个力的比等于对应几何三角形中三个边的比。

本篇在此基础上介绍利用速度三角形与几何三角形相似的方法推导向心加速度。

一、速度三角形中速度变化的表示v0为初速度，vt为末速度，Δt为速度的变化量。

Δv为第一个矢量终点指向第二个矢量终点或减数指向被减数，即Δv=vt-v0。

如图1所示。

■图1二、利用速度三角形与几何三角形相似性推导向心加速度公式在图2中，v0、vt是时间间隔Δt前后的初速度和末速度。

为了求二者之差Δv=vt-v0，移动v0，画出Δv形成速度三角形（图3）。

由于只有在Δt很小的时候，曲线近似为直线或弧长近似等于弦长。

只有把曲线运动看成直线运动，我们才能用■表示物体的加速度，所以实际上A、B两点相距很近，AB弧长等于AB弦长，把AOB可看成三角形（图4）。

找出速度三角形中速度大小与几何三角形中边长的对应关系就能求得Δv。

■公式的推导过程可以从以下四个方面处理：1.由于是匀速圆周运动，所以v0和v1大小是一样的，可以用同一个字母表示。

2.v0和v1的大小实际上就是上图中v0和v1的长度。

解决几个物理量的关系，实际是找速度大小与几何三角形的边对应的比例关系。

3.角θ用弧度表示时，弧长S可以表示为S=rθ。

当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，即L=S，也就是图4中AB弧长等于AB弦长，AOB可看成三角形，所以S=rθ也表示弦長。

向心加速度公式的几种推导一、运用速度增量法推导如图，表示速度（率）v 作匀速圆周运动的物体，在时间Δt 内由A 点运动到B 点。

在这运动过程中，由于Δt 非常小，可以看成是过A 点切线方向速度为v 的匀速直线运动和在AO 方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动。

物体过A 点沿切线方向的速度为v ，在AO 方向上的初速度v 0=0，当经过很短时间Δt 内，物体由A 点运动到B 点，线速度大小仍是v ，但方向改变了，由于方向的改变，使物体在AO 方向获得了分速度vt=vsin θ。

这时物体在AO 方向速度的增量应是：ΔV =V t-v0=vsin θ。

在这段时间内，物体沿切线方向匀速运动走过的距离可看成是由E 到B ，即EB=V ·Δt由此得到：v v θRsin EB t ==∆又根据加速度的定义式可得：Rv vv v2/Rsin sin ta ===∆∆θθ二、运用位移合成法推导1、如图（1）表示以速率v 作匀速圆周运动的物体经过很短时间Δt ，由A 点运动到B 点，于是有错误!未指定书签。

AB=V Δt当Δt 小到某种程度，即AB 弦与AB 弧几乎重合，则有：AB 弦=AB 弧=v Δt如果物体位于A 点时，力的作用消失，则物体将沿切线方向作匀速运动，在Δt 时间内经过位移v Δt 。

但实际上物体在Δt 时间内沿圆周运动到了B 点，这是由于物体还受到向心力的作用，加速离开了切线，其位移为AF ，它和过A 点切线方向的位移v Δt 合成起来，使物体由A 移动到B 。

由于时间Δt 很短，向心力可近似看成在过A 点的半径方向，从图中可以看出：由于： ΔABC ∽ΔABF所以 AC AB ABAF=于是ACAB AF 2=将式代入此式并注意AC=2R所以222t AF RV∆= 上式中v 、R 都是常量，此时表明位移AF 与时间Δt 的平方成正比，符合匀加速直线运动的规律。

与初速度为零的匀加速直线运动的位移公式221at S =相比较，可得出匀速圆周运动的向心加速度公式为：R v a 2=2、图（2）表示物体以速率v 作匀速圆周运动的情形，在很短时间Δt 内由A 点运动到B 点，与上题思考方法不同的是，现在把该运动过程看成是同时参与两个分运动的合运动。

向心加速度公式的推导向心加速度公式6个公式向心加速度公式的推导：向心加速度公式：a向=v^2/r=ω^2r=(4π^2r)/(T^2)=4π^2f^2r=vω=F向/m。

由牛顿第二定律，力的作用会使物体产生一个加速度。

合外力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。

定义质点作曲线运动时，指向瞬时曲率中心的加速度就是向心加速度。

向心加速度是反映圆周运动速度变化方向的物理量。

向心加速度只是改变了速度的方向，而不是速度的大小。

根据牛顿第二定律，力的作用会使物体产生加速度。

合力提供向心力，向心力产生的加速度就是向心加速度。

可能是实际加速度，也可能是物体实际加速度的分数加速度。

向心加速度是反映圆周运动速度变化方向的物理量。

向心加速度只是改变了速度的方向，而不是速度的大小。

物理意义首先，向心加速度就是加速度;其次，加速度描述的是速度变化的快慢，这里的速度包括大小和方向。

在直线运动中，速度方向是不变的，因此我们着重讨论速度大小变化的快慢;在曲线运动中，速度的大小和方向同时变化，则加速度的概念在此得到充分体现;在匀速圆周运动中，速度(即线速度)是恒定的，所以只需要讨论速度方向的变化。

所以向心加速度(在非匀速圆周运动中，向心加速度是加速度沿指向圆心方向的分量)描述的是线速度方向的变化，因为速度是恒定的。

另外，在匀速圆周运动中，角速度是恒定的。

向心加速度公式6个公式：向心加速度的公式：an=Fn/m=4π²R/T²=4π²f²R=v²/R=ω²R=vω。

向心加速度公式an=Fn/m=4π²R/T²=4π²f²R=v²/R=ω²R=vω上式中，an表示向心加速度，Fn表示向心力，m表示物体质量，v表示物体圆周运动的线速度(切向速度)，ω表示物体圆周运动的角速度，T表示物体圆周运动的周期，f表示物体圆周运动的频率，R表示物体圆周运动的半径。

向心加速度公式推导集萃向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故△v≠0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。

因此在教学中必须说清楚△v的方向。

教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。

关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考。

1 矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b 点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。

由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v 的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，。

. .2 运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v 匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α.3 位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4 类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。

【字体：A 】向心加速度公式推导向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有变化，故△v≠0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。

因此在教学中必须说清楚△v的方向。

教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。

关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有别于课本的推导方法，供大家参考。

1 矢量合成法如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为v a=v b=v，则其速度的增量△v=v b-v a=v b+（-v a），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。

由余弦定理可得可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和v b垂直，由于v b方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，。

. .2 运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α.3 位移合成法如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，4 类比法设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。

背心加速度公式推导完备版—李往辉整治之阳早格格创做背心加速度是匀速圆周疏通中的教教易面，那是由于教死果少久交受标量运算而爆收的思维定势，认为匀速圆周疏通中物体疏通速率没有变，故其果此咱们正在教教中必须强调二面，一的矢量性，速度的目标变更也表示速度有变更，故△v≠0，另一是速度变更的目标便是加速度的目标.果此正在教教中必须道领会△v的目标.课本中引进了速度三角形的要领，本量上已经思量到了上述二面.闭于背心加速度公式的推导要领甚多，底下提供几种有推导要领，供大家参照.要领一：（课原上的要领）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）：如图所示：设小球正在很短的时间t内从A疏通到B,正在时间t内速度变更为△v,果为△OAB∽△BDC（可自己证一下）,所以有：△v/v=AB/R当t→0时,AB=弧AB所以：v=弧AB/t,a=△v/t所以a=v²/R要领二：正在矢量合成法中应用三角函数推导：如图所示，物体自半径为r的圆周a匀速率疏通至b，所经时间为△t，若物体正在a、b面的速率为va=vb=v，则其速度的删量△v=vb-va=vb+（-va），由仄止四边形规则做出其矢量图如图.由余弦定理可得可睹当θ→0时，α=90°，即△v的目标战vb笔直，由于vb目标为圆周切线目标，故△v的目标指背圆心.果△v 的目标即为加速度的目标，可睹匀速圆周疏通中加速度的目标指背圆心，.要领三：利用疏通的合成取领会推导（简称疏通合成法）设正在很短的时间t内, 小球沿圆周从A到B,可领会为沿切线AC目标的匀速直线疏通战沿AD目标初速度为整的匀加速直线疏通.如图一：要领四：利用启普勒第三定律、万有引力定律战牛顿第二定律推导背心加速度设：品量为m的人制天球卫星以速率v正在半径为r 的近圆轨讲上绕天球运止, 运止周期为T,天球品量为M.根据启普勒第三定律：T²/r³=k（k为常量）根据万有引力定律：F=GMm/r²对付于圆周疏通的物体有：T=2πr/v根据牛顿第二定律：a=F/m联坐上述各式有：a=（GMk/4π²）×（v²/r）所以：a∝v²/r要领五：直率圆法要领六：类比法：设有一位子矢量r绕o面转动，其矢端由a至b时爆收的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则正在此段时间内的仄衡速率隐然那个速率形貌的是位子矢量矢端的疏通速率，当△t趋近于整时，那个仄衡速率便表示位子矢量的矢端正在某一时刻的坐即速率，如果转动是匀角速的，则其矢端的疏通也是匀速率的，易知其速率（1）式中t为转动周期.再如图5是一物体由a至b历程中，每转过1/8圆周，速度变更的情况.现将其速度仄移至图6中，简单瞅出图6战图5相类似，所分歧的是图5表示的是位子矢量的转动.，而图6则是速度矢量的转动，隐然加速度是速度的变更率，即由图6可知，那个速度变更率本来便是端的转动速率，其转动半径便是速率v的大小，故有比较图5图6不妨瞅出当△t→o时△v的目标战△s的目标相笔直.故加速度的目标战速度目标相笔直.。

向心加速度公式推导微积分
嘿，朋友！今天咱就来好好唠唠向心加速度公式推导微积分这事儿。

先说说线速度，就好比你骑单车时轮子边缘那一点的速度，这能理解吧！那向心加速度呢，就像是有一股力量拼命把你往圆心拉。

咱来看看这个关键公式：$a_n = \frac{v^2}{r}$，这就像一把钥匙，能打开向心加速度的秘密大门哟！比如说，你看那旋转木马，木马绕着中心转，它的速度和半径一结合，就能算出向心加速度啦，神奇吧！
那怎么用微积分来推导呢？想象一下，把圆周分成无数个超级小的小段，每一段趋近于零但又存在。

就好像拼拼图一样，一点一点把整个向心加速度给拼凑出来呀！
咱举个例子哈，你玩过陀螺不？陀螺转起来的时候，就是因为有向心加速度让它能稳稳地转。

如果没有这个，哎呀，那陀螺早不知道歪到哪去了！
通过微积分这种神奇的工具，就能更深入地理解向心加速度啦！是不是很有意思呀？别小瞧这些公式，它们可是能解释好多生活中的现象呢！。