数学建模选拔赛初赛试题

装甲兵工程学院2015年国际数学建模竞赛初赛试题（A ）制造业废水排放与工业增值之关系研究制造业废水排放与工业增值之间的关系有非常重要的意义。

利用岭回归分析对制造业废水排放与工业增值的关系进行研究，这个问题收集了1989年到2007年食品制造及烟草加工业（1x ）、化学工业（2x ）、纺织业（3x ）、服装皮革羽绒及其制品业（4x ）、通用专用设备制造业（5x ）、交通运输设备制造业（6x ）等六个制造业19组样本数据，见表1。

表1 样本数据问题一试用多元线性回归分析确定制造业废水排放与工业增值之间的关系；问题二问题中计算出的回归方程中的系数出现负值与实际意义不符。

说明自变量间存在多重共线性，在不减少变量（仍然为6个变量）的情况下，重新确定制造业废水排放与工业增值之间的关系（提示：运用岭回归分析）。

装甲兵工程学院2015年国际数学建模竞赛初赛试题（B）决策信息系统一个评价决策信息系统由一个五元组来刻画，其中●集合代表一组需要评价的对象。

●代表一组用于评价U中对象的属性，属性相互独立。

●代表A中属性的取值范围。

在本题中，所有属性的取值范围是一样的，例如：①可以为，布尔值；②可以为，三值；③可以为，10分制；④可以为，百分制。

●，即对于每一个对象，每一个属性，给定一个D中的值。

●求和评价规则，即对于每一个对象，把与之对应的所有属性值求和。

最后的评价模式就是属性值总和越大的对象越好。

下面的表1给出了一个简单的评价信息系统，其中可以看到U={甲，乙，丙}，A={高数，物理，英语}，D={0,1,2,…,100}，f和∑在表格1中可以看到.表1 评价信息系统本题目考虑U中的对象是一些智能体，即是一些能够思考，推理和决策的人或者机器人。

智能体为了达到某种目的会进行暗中操作，例如智能体可以为了自己的利益或者某人的利益向决策者建议去掉某些属性（后文中将称之为属性约简），这是因为去掉某些属性之后，完全有可能会改变原有的决策排序。

江苏数学竞赛初试题目及答案【题目一】已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

【答案一】首先，我们可以求出函数\( f(x) \)的导数\( f'(x) = 6x - 2 \)。

令\( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

但这个点不在区间[1, 3]内，因此我们需要检查区间端点的函数值。

计算\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)，\( f(3) = 3(3)^2 -2(3) + 1 = 22 \)。

因此，\( f(x) \)在区间[1, 3]上的最大值为22，最小值为2。

【题目二】若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 +b^2 = c^2 \)，求证：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是无理数。

【答案二】假设\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是有理数，设\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = k \)，其中\( k \)是有理数。

则有\( a + b + c = k(abc) \)。

由于\( a^2 + b^2 =c^2 \)，我们可以得到\( a^2 + b^2 - c^2 = 0 \)。

将\( a + b + c = k(abc) \)代入，我们可以得到一个关于\( a \)，\( b \)，\( c \)的二次方程，但这个方程没有整数解，因此\( k \)不能是有理数，即\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是无理数。

【题目三】若\( \sin(2\theta) = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos(2\theta) \)的值。

大学生数学建模协会选拔赛试卷一、选择题（有单项又有多项，每题3分总分30分）1．大学生数学建模竞赛简称（）A．SCM B.MCM C.MMC D.CMM2.数学建模竞赛期间参赛队员可以(多选)（）A使用各种图书资料 B使用计算机和软件，C在国际互联网上浏览 D与队外任何人在网上讨论。

3我国于哪年开始举办自己的大学生数学建模竞赛（）A.1992B.1990C.1991D.19934.大学生数学建模竞赛用到的基础软件有哪些（多选）（）A MATLAB B.LINGO C.SAS. D.OFFICE5.数学建模竞赛需要几人组队,一般竞赛维持几天（）A．1 2 B.2 3 C. 3 3 D.4 26.大学生数学建模竞赛最科学的组队方式是（多选）（）A．对论文攥写很熟悉的B．都是有很深数学基础的C．对数学有兴趣的D．对软件很熟练的7. 大学生数学建模竞赛有专科和本科组的区分吗？研究生可以参加吗？（）A有可以B没有可以C有不可以D没有不可以8数学建模的过程有A模型假设B模型分析C模型检验D模型准备E模型建立F模型应用G模型求解其中顺序正确的是（）A DAEGBCFB ABCEDFGC DAEBGCFD DAEGBFC9数学建模的基本方法是（）A机理分析法B数值分析法C推理判断法D构造分析法10数学建模竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。

题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。

参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。

竞赛评奖以、、和主要标准。

（多选）（）A 假设的合理性B 建模的创造性C 结果的正确性D 文字表达的清晰程度二．填空题.（每题2分，共10分）11（）是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。

解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。

将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。

华为杯数学建模赛题一、单选题1.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =12 3.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤4．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．56 5.tan 3π=（ ）A ．33B ．32 C ．1 D 36．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.127.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2acosA ，则cosA ＝（ ）A ．13 B ．24 C ．33 D ．639．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,310.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件11.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位12.已知函数()11f x x x =--，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题 13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

高校学生数学建模竞赛能力测评考试初试练习题库答案
怎么说我都是上了一学期数学建模的人了，月底马上就考试了，正好又遇到建模竞赛能力测评考试初试的题目，这篇文章就合起来写了。

可能又臭又长。

开了题页面忘了答题了
我们来看看丢分的位置在哪里
妈的，好不容易会点，我们再考一次，试试百分快感。

卧槽，吐了，错了一个，漏了一个
第三次还是96.。

我可能永远不是100分。

考虑到有可能考试会出原题，这里就放微分方程的答案。

可以看到人口模型经典的要死。

累了
我被诅咒了
另外，数学中国转载了上篇，看看人家这阅读量，我才100多不答了，太烦了。

下面写一下复习题：
教材在此
什么是动力系统：一个序列就是定义域为全体非负数整数集合上
的一个函数，其值域为实数的一共子集，一共动力系统就是序列各项之间的一种关系，数值解就是满足该动力系统的一张数值表。

关于灵敏度分析，其实动力系统这里的后面说了一些，但是有解释的时候是在线性规划的时候。

灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

灵敏度分析可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。

线性规划就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。

拟合的三个准则：
切比雪夫
极小化绝对偏差之和
最小二乘准则
切比雪夫近似准则对潜在的有较大偏差的单个数据点更大的权重极小化绝对偏差给予每个数据点相同的权重
最小二乘准则是根据与中间某处的远近来进行加权,其厕与单个点具有的显著偏离有关
三种准则。

昆明理工大学首届研究生数学建模竞赛题目（请先阅读“论文格式要求”）A题：调整气象观测站问题某市有10个县，每个县有一个气象观测站（位置如图），每个气象观测站测得的年降水量即为该县的年降水量。

30年来各观测站测得的年降水量如下表。

为了节省开支，想要适当减少气象观测站，问题是减少哪些观测站既可以节省开支，又可以使得该市年降水量的信息量损失较小。

1．有人认为第7个观测站和第8个观测站观测到的数据之间有相关关系，第7个观测站可以减少，第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取，试讨论之。

2．还有哪些观测站可以减少，减少的观测站的年降水量信息如何获取。

3．如果以10个县年降水量的平均值为该市年平均降水量。

在减少观测站以前，每个县年降水量都是观测数据。

在减少观测站以后，被减少的观测站的年降水量只能从其它观测站观测到的数据中获取。

减少观测站以前和减少观测站以后是用两种不同测量计算方法得到该市年平均降水量。

两种不同测量计算方法得到的该结果会有误差，试预测误差的绝对值小于10mm的概率是多少？误差的绝对值大于20mm的概率是多少？昆明理工大学首届研究生数学建模竞赛题目（请先阅读 “论文格式要求”）B 题：人口迁移的动态分析在工业化的进程中，经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移，形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势。

假设有三个地区1A 、2A 、3A ，第一年初三个地区的总人口为1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是25％、35％、40％。

地区1A 每年有人口的1％流向地区2A ，有人口的1％流向地区3A ；地区2A 每年有人口的1％流向地区3A ，有人口的2％流向地区1A ；地区3A 每年有人口的3％流向地区1A ，有人口的2％流向地区2A 。

（1）假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问10年以后三个地区的人口各是多少？100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。

数学建模作为一门融合数学理论与实际问题解决的综合性学科，在当今社会中发挥着日益重要的作用。

每年举办的各类数学建模竞赛更是为众多数学爱好者和研究者提供了展示才华、提升能力的评台。

2023 年华东杯数学建模赛题无疑是其中备受瞩目的一项挑战，下面我们将对这些赛题进行深入解析，并探讨从中所引发的思考。

赛题一：城市交通拥堵问题的建模与优化城市交通拥堵是当今各大城市面临的严峻问题之一，如何有效地缓解交通拥堵、提高交通系统的运行效率成为亟待解决的课题。

该赛题要求建立数学模型来分析城市交通拥堵的形成原因，并提出相应的优化策略。

在构建模型的过程中，首先需要对城市交通流量、道路网络结构、车辆行驶特性等因素进行详细的调研和数据收集。

通过建立交通流动力学模型，可以模拟不同交通条件下车辆的行驶情况，从而揭示拥堵的发生机制。

考虑车辆的速度-流量关系、道路的通行能力等因素，分析拥堵是由于道路瓶颈导致的局部流量过大，还是由于交通需求与供给的不平衡引起的整体拥堵。

针对交通拥堵的优化策略方面，可以提出多种方案。

优化交通信号控制策略，通过合理设置信号灯的时间间隔，提高路口的通行效率；改善道路网络布局，增加道路容量或开辟新的交通通道；鼓励公共交通发展，提高公共交通的便捷性和吸引力，以减少私人车辆的使用；推广智能交通系统，利用传感器、大数据等技术实现交通流量的实时监测和智能调度等。

通过对该赛题的研究，可以深刻认识到城市交通拥堵问题的复杂性和综合性。

它不仅需要数学模型的精确构建和分析，还需要综合考虑政策、经济、社会等多方面因素的影响。

只有通过多学科的协同合作，制定出科学合理、具有可操作性的优化方案，才能够有效地缓解城市交通拥堵，提升城市的交通运行质量和居民的生活品质。

赛题二：能源需求预测与可持续发展策略研究随着全球经济的快速发展和人口的不断增长，能源需求呈现出持续增长的趋势。

然而，传统能源的有限性以及环境问题的日益突出，使得寻求可持续的能源发展模式成为当务之急。

2023数学竞赛初赛试题及答案试题一：代数问题题目：解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a = 2 \)，\( b= -3 \)，\( c = 1 \)。

解答：首先计算判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。

代入给定的值，得到 \( \Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 \)。

由于 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实根。

根据求根公式，根为 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)。

代入数值，得到\( x = \frac{3 \pm 1}{4} \)，即 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 =\frac{1}{2} \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，斜边长为 \( c \)，直角边长分别为\( a \) 和 \( b \)。

如果 \( a = 5 \) 且 \( b = 12 \)，求斜边\( c \) 的长度。

解答：根据勾股定理，\( c^2 = a^2 + b^2 \)。

代入数值，得到\( c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)。

因此，\( c =\sqrt{169} = 13 \)。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。

求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)。

代入\( n = 10 \)，\( a_1 = 3 \) 和 \( d = 2 \)，得到 \( a_{10} =3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球。

四. 建模思维测试(第14题每题12分，第15题14分，第16题16分，共42分)14.设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要逐次经过两条装配进行装配。

电脑在第一条装配线每台需要2小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。

第一条装配线每天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和手机每台的利润分别为100元和80元。

问怎样制定生产计划？15、甲乙两人约定中午12：00至13:00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那里等待10分钟，若另一个10分钟内没有到达，先到者将离去。

用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大。

16、你要在雨中从一处走到另一处，雨速是常数，方向不变。

你是否走得越快，淋雨量越少呢？（1）人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧：顶＝1：a：b。

选坐标系将人的速度表为（V，0，0），即延X轴方向行走，V＞0，而设雨速为（ux，uy，uz），行走的距离为L，写出淋雨量的表达式。

（2）用图解法说明在什么情况下，走得越快淋雨量越少，在什么情况下则不是这样。

2007数学建模俱乐部选拔赛试题本套试题满分为100分，考试时间为120分钟，从多角度考察考生的创新能力、团队合作能力，及数学能力等多方面能力。

请认真思考后在作回答，答案写到答题纸上，字迹要工整清晰。

一、建模特质测试题（在ABCD只选一个答案，共计18分）1．场景一：父母虽知道你有心仪且交往中的对象，可是为了因应时局的变化，以及让家中企业组织更加壮大，决定和一家财力相当的公司结盟，条件之一就是两家必须联姻，一方面是以表诚意，另一方面则是稳固日后合作的发展关系，。

这时你会怎么处理？（）A.与情人分手，接受父母安排 B.直接表明不肯接受父母安排C.使用拖延战术，过一天算一天D.表面上接受父母安排但私下仍与情人交往2. 场景二：结束两个假期渡假村的悠闲生活，身心都得到充分的休息，又必须重回忙碌的工作战场，面对堆积如山的文件和等待完成的任务，你的心情如何？（）A. 电力满档、充满干劲B. 恨不得永远方放假，都不要再工作C.对假期意犹未尽，但已知足，准备收心好好工作D.有放假症候群，不太想工作3. 场景三：某天，你正在一家知名的百货公司里闲逛，突然听到身边有人在谈论你的作品，并且批评得已一文不值，这时你会怎么反应？（）A. 更靠近一些仔细听他们的谈话 B不想再听下去直接走开C.掩饰身份，毫无情绪的加入谈论D.非常生气的把他们训斥一顿4．场景四：你本来想坐在沙发上看杂志，不过可能因为太安静了，让你的思绪不自觉的就陷入回忆的时光隧道之中，请问你想起以前的什么事？（）A. 在学校念书的日子B. 小时候因顽皮被揍的经验C.和情人第一次约会的心情D. 曾经做过的糗事5．场景五：只要到过梦幻餐厅的人，没有一个会给负面评价，你认为最主要的原因是什么？（）A. 室内设计独具创意B.提供五星级的服务C.餐厅所处的地点吸引人D.每一道菜皆美味之极6．场景六：某天，你正打算到附近的广场走走，没想到才出门走了十分钟，天空就下起雨来了，而没有带雨具，这时你会怎么做？（）A. 立刻就买雨具，继续走B.不管雨势大小，直接打道回府C.先继续走，若雨势真的越来越大才放弃D.不管雨势大小，都坚持走到目的地7. 场景七：你在乡村生活的这几天，从当地人身上感受到从未亲近过的温暖热情，让你深深感动，若要你用一句话来形容这种感觉，你会选那一个？（）A．向初夏的阳光既灿烂又温和 B. 像老酒的香醇浓郁C. 向寒冬时用来取火的炭火D.像纯水的甘甜回味8. 场景八：在童年的玩伴之中，有一个是你很喜欢的对象，大家每次看到你和他同时出现，都会笑着大喊：“厚～恋爱！男生爱女生……。

07 数学建模选拔试题1． 某工厂计划生产两种产品 I 和 II ，已知生产每件产品的耗水量及A 、B 两如何安排生产计划使得产品的获利最大？ 解：设21,x x 分别是I 、II 两类产品的产量。

2132max x x L +=目标函数，约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482212121x x x x x x 。

图解法 142,421===L x x 时可得最大利润当8221=+x x2．设在长江的某一水质观测站测得某种污染物的初始浓度为1000单位，污染物每小时有百分之一被自然降解。

已知长江水的流速为每小时5公里，问在观测站下游x 公里处污染物的浓度为多少？ 解：设v ——水的流速（m/h ）， C —— 污染物浓度， 0C ——初始浓度k——污染物降解系数，x ——下游与观测站的距离。

设)()(x C t C C ==，由已知条件有微分方程kC dtdC-=。

又因dtdCv dx dt dt dC dx dC ⋅=⋅=1， 则dxdCv dt dC =。

代入到微分方程中去可得 0=+kC dxdCv 。

解得 x vk eC x C -=0)(。

将有关数据代入可得5001000)(x ex C -=。

3. 有一根铁丝绕刚好地球一周，如果把铁丝加长一米，并且均匀分布在地球一周。

问一只老鼠能否从地表和铁丝间穿过，并说明理由。

解：设地球的半径为R ，周长为L ，于是 π2L R =。

当周长增加一米时，半径为 π21'+=L R 。

于是 1592.021221≈=-+=∆πππL L R (米) 。

可以钻过去。

4. 人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在时，猫要吃鸡，鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量少。

解：过河1 鸡 返回1 空过河2 米 返回2 鸡 过河3 猫 返回3 空 过河4 鸡5. 在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中那一个事件的概率大。

A题人行道的设计某城市的一个居民小区附近有一个公园，公园的简易地图如图，图中每一个小正方形的边长为1米。

从居民楼A步行穿过公园到公交车站B只要几分钟的时间。

公园由草地、几个花圃、一个水池和一个儿童游乐场组成。

从图中可以看出从A到B有许多种可能的走法。

由于每一个人都有自己偏爱的走法，因而草地和其他植物遭到许多破坏，相关部门决定在公园修一条人行道以防止行人再以其他方式在公园里走路，这条人行道是三米宽的沙砾路(在弯曲的地方宽度可能有一点点小的变化)。

(1) 如果人行道不能穿过花圃、水池和儿童游乐场，请设计一条尽可能短的从A到B的人行道，并说明你采用的策略；(2) 事实上，修路问题会因为公园不同地方土质的不同，使得造价也不同，在沙地上每平方米的造价为100元，在泥土上每平方米的造价为300元，而移动花圃、甚至在水池上建桥都是可能的，移动一处花圃的花费为每平方米1000元，最窄为2米的桥的造价为每米2000元。

请设计一条从A到B的造价尽可能便宜的人行道。

(3) 请设计一条考虑两方面愿望(造价最便宜，长度最短等)的你认为理想的人行道，并表述你们的理由。

B题布条缠绕问题用宽为W的布条缠绕一段长度为L管道，要求布条紧密贴合管道且不重叠。

(1) 假设管道为圆柱形，管道长为5米，截面直径为10cm，现在用宽为5cm 的布条缠绕此管道，在不考虑管道两端影响和布条厚度的情况下，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道？此时需要多长的布条？(2) 假设管道为正六棱柱，管道长2米，横截面正六边形的边长为332cm。

现在用宽为2cm的布条缠绕此管道，考虑管道两端的影响，但不考虑布条的厚度，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道，此时需要多长的布条？(3) 假设布条宽度为W，管道长为L，横截面正六边形的边长为b，考虑管道两端的影响，但不考虑布条的厚度，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道? 你能得到所需布条长度的计算公式吗？(4) 在第三问的基础上，假设布条的厚度为K，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道?。

数学建模选拔赛初赛试题选拔赛参赛人员信息：系别专业班级姓名联系电话日期：年月日长途列车供餐问题摘要铁路旅客餐饮服务是现代铁路客运工作的重要组成部分，是吸引客流的有效手段和塑造铁路良好形象的主要窗口。

如何确定火车上便餐价格，使列车在用餐销售上效益最大。

本文将运用运筹学知识,通过定量分析,拟采用线性规划单纯形表法, 建立实现目标利润最大化和目标成本最小化的数学模型,以实现利润最大化。

根据火车上各种资源的限制,利用线性规划方法建立生产计划的数学模型,就利润最大和成本最小问题, 采用单纯形法及单纯形表的格式,应用求二元函数的极值方法,按照相应的数学程序进行相关的逻辑运算, 以期找到最大目标利润和最小目标成本，并给出相应的销售最优方案，最终求出每餐的最大利润为2112.74元。

关键词：运筹学，线性规划，最优方案一、问题的提出长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。

提供一天三餐是主要的服务。

但是由于火车上资源有限等方面的影响，食物价格肯定会高出市场价。

同时，高到一定程度后，食物的销售量又会下降。

如何确定食物的进货量，确定火车上便餐的价格，才能使列车在用餐销售上效益最大？二、问题的分析最优化价格方案问题可以归结为最优化数学模型的建立于求解问题。

在列车的特定条件下，其需求量、供给量及价格将直接决定销售的最大利益。

由于列车容量有限，所提供的用餐量和食品是有限的。

要达到销售利润最大，最好能达到供求均衡，才能保证成本与亏损最小，同时保证销售额最大。

在此种情况下，如何确定最优价格以寻求销售效益最大，这是进一步要解决的问题。

三、基本假设1、假设进货渠道货源充足，没有价格变动的情况2、假设食品质量良好，对销售情况不产生影响3、假设列车售票情况良好，客源充足4、随着食品价格的变化，乘客可以自由选择四、定义符号说明0x ：一份盒饭的成本价；x ：一份盒饭的销售价；xn ：一份盒饭售价为x 时的销售量；x N ：盒饭的进货量； 0y ：一包方便面的成本价；y ：一包方便面的销售价；y n ：一包方便面售价为y 时的销售量；yN ：方便面的进货量；M：销售总收入； N ：进货总成本； Z ：总利润五、模型的分析、建立与求解在火车上，食品的销售量随食品的价格的变化而变化。

高中数学竞赛初赛试题一 选择题1. 如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。

这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个64862ABCD２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}ku 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}na ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 959778366ABCD6.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的na 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三解答题 13.已知椭圆22412:3y x+=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A BΓ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}nx 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s取此最大值时, ,,x y z 的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题 一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ）（A ）()()1g x fx -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x fx -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（ ）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。

数学建模前期选拔考试题
1.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？
2.某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。

某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

为什么？
3. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。

问共需进行多少场比赛？
4.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。

一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。

问他步行了多长时间？
5.某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。

问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。

）
6.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。

试题A[紧急疏散]
如果发生突发性灾难事件（如大火、地震），请你为我院六号教学楼制订紧急疏散方案，目标是疏散时人员堵塞和耗时尽可能少．
试题B[交通优化问题] 近年来，我国城市的交通问题日益突出，主要表现在拥堵、事故污染等等。

请针对这些问题，向交通部门提出至少2条建议，并用数学建模手段，分析评价你所提的建议.。