2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()x xnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：全微分存在的充分条件 如果函数(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分. 在本题中，若2200(,)limx y f x y x y →→+记()A ∃，则00lim (,)0x y f x y →→= 又(,)f x y 在(0,0)连续(0,0)0f ⇒=.于是2222000(,)(,)(0,0)limlim x x y y f x y f x y f A x y x y →→→→-==++ 由极限与无穷小的关系220(,)(0,0)(1)0x f x y f A o y x y →⎛⎫-⇒=+ ⎪→+⎝⎭，其中(1)o 为无穷小.2222(,)(0,0)()()(1)f x y f A x y x y o ⇒-=+++00()(0)x y o ρρ=⋅+⋅+→，其中0ρ=→.因此(,)f x y 在(0,0)可微.故选（B ）.（A ）不正确，如(,)f x y x y =+满足条件，但(,)f x y 在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C ）不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但0limx y xx y→→+不存在.（D ）也不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但2200limx y xx y →→+不存在.(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I ，则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x et dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e exdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C)32 (D) 45 【答案】A【考点】常见随机变量的分布 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若随机变量X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩则称X 服从参数为λ(0)λ>的指数分布. 在本题中，依题设知X ，Y 的概率密度分别为,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 44,0,()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩又X 与Y 相互独立，从而X 与Y 的联合概率密度为(4)4,0,0,(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>=⋅=⎨⎩其他于是{}(4)(4)01(,)445x y x y x Dx yP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy +∞+∞-+-+<<====⎰⎰⎰⎰⎰⎰故选A.(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1- 【答案】D【考点】相关系数的性质 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若X aY b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.在本题中，设其中一段木棒长度为X ，另一段木棒长度为Y ，显然1X Y +=，即1X Y =-，Y 与X 之间有明显的线性关系，从而1XY ρ=-.故选D.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=，则()f x = 【答案】xe【考点】二阶常系数齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r xr xy C e C e =+. 在本题中，因()f x 满足()()2()0f x f x f x '''+-= ①()()2x f x f x e ''+= ②由①、②，得()3()2xf x f x e '-=-，两边乘以3xe -得32[()]2xx ef x e --'=-积分得32()xx ef x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+代入②式得3392xxxxx e Ce e Cee +++=0C ⇒=，于是()xf x e =代入①式自然成立.因此求得()xf x e =.(10)2x =⎰【答案】2π 【考点】定积分的换元积分法 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 第一类换元法[()]()()baf t t d t f x d xβαϕϕ'=⎰⎰在本题中，22111(x =x t x t -==-+⎰⎰⎰111022ππ--=+=+=⎰⎰，其中1-⎰是半单位圆的面积.(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=【答案】{}1,1,1【考点】梯度 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：(,,)(,,)f f f gradf x y z x y z∂∂∂=∂∂∂ 在本题中，记zu xy y=+，则 u y x ∂=∂，2u z x y y ∂=-∂，1u z y∂=∂ (2,1,1)(2,1,1)|(,,)|(1,1,1)f f fgradu x y z∂∂∂⇒==∂∂∂ 因此(2,1,1)()|(1,1,1)zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：曲面积分公式：(,,)[,,(,xyD f x y z ds f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰在本题中，投影到xy 平面上.∑在xy 平面上的投影区域为{}(,)01,01xy D x y x y x =≤≤≤≤-由∑的方程1z x y =--1z x ∂⇒=-∂，1zy∂=-∂ 现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.1122200xyxyx D D y ds yy dxdy dx y dy -∑===⎰⎰⎰⎰⎰1134001(1)[(1)]33412x dx x =-=⋅--=⎰ (13)设α为3维单位列向量，E 为3阶单位矩阵，则矩阵TE αα-的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）若()1r A =，则11nnn ii i E A a λλλ-=-=-∑；（ii ）实对称矩阵必可对角化.在本题中，设123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有2221231T a a a αα=++=，又211121322123212232331323(,,)T a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 易见秩()1r A =.那么3222232123()E A a a a λλλλλ-=-++=-，所以矩阵A 的特征值为1，0，0，从而E A -的特征值为0，1，1.又因E A -为对称矩阵，从而011E A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()2T r E αα-=. (14)设A ,B ,C 是随机事件，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 【答案】34【考点】条件概率 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 条件概率公式()()(()0)()P AB P B A P A P A => 在本题中，由于A 与C 互不相容，所以AC =∅，ABC =∅，从而()0P ABC =.于是1()()()()32()11()1()4()13P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -=====---.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.证明：令()21ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.()111111lnsin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫'=++--=+--- ⎪-+---+⎝⎭， 221111()cos 111(1)(1)f x x x x x x ''=+++--+--+， 22331122()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x '''=-++-+>∈+--+，其中2211(1)(1)x x ->-+，33112[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''⇒在[0,1)，()(0)20f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ⇒在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ⇒>∈-≠，(0)0f =.即原不等式成立.(16)求函数222(,)x y f x y xe+-=的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yy f x y C ''=，则（1）当20A C B->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值；（2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；（3）当20AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点.()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y f x y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩解得驻点为(1,0)-，(1,0)又()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y A xe e x x x f x y B e x y x yf x y C xe y y++--+-+-⎧∂==-+--⎪∂⎪⎪∂⎪==--⎨∂∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得122A e-=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）求幂级数nn n a x∞=∑收敛域的步骤：（1）求收敛半径：设1limn n na l a +→∞=，则1/,0,0,,,0l l R l l <<+∞⎧⎪==+∞⎨⎪+∞=⎩（2）讨论端点的敛散性：如果0R <<+∞，则需进一步讨论nn n a x∞=∑在x R =±处的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域. （ii ）和函数的性质：（1）和函数()S x 在(,)R R -内可导，并且有逐项求导公式：10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即10()1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n ∞∞+====+∑∑⎰⎰.本题中，直接用求收敛半径的公式，先求2124(1)4(1)3212(1)1lim lim lim 4432(1)121n n n n nn n a n n l n n a n n +→∞→∞→∞+++++++===+++++ 2222221111324(1)4()4(1)4(1)3lim 134344324n n n n n n n n n n n n n→∞+++++++++⋅=⋅=+++++ 于是收敛半径1R =当1x =时，原级数=2044321n n n n ∞=+++∑，第n 项的极限即2443lim 021n n n n →∞++=∞≠+，所以当1x =时，原级数发散；同理可证，1x =-时，原级数也是发散的. 因此，原级数的收敛域为(1,1)-.和函数22222000044322()[(21)](21)212121n n nn n n n n n n S x x n x n x x n n n ∞∞∞∞====++==++=+++++∑∑∑∑(1)x <令210()(21)nn S x n x ∞==+∑，2202()21nn S x x n ∞==+∑， 因为22112()(21)1xxnn n n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰(1)x <， 所以212221()()1(1)x x S x x x +'==--(1)x <. 因为21202()21n n xS x x n ∞+==+∑，所以2222002[()]221nn n n xS x x x x ∞∞=='===-∑∑(1)x < 所以2220002111()[()]()ln 1111xxx xxS x tS t dt dt dt t t t x +'===+=-+--⎰⎰⎰(1)x <当0x ≠时，211()ln1xS x x x+=-； 当0x =时，1(0)1S =，2(0)2S =.所以212223,0,()()()111ln ,1,0(1)1x S x S x S x x xx x x x x =⎧⎪=+=++⎨+<≠⎪--⎩(18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且(0)0f =，()0f t '>(0)2t π<<.若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求以曲线L 及x 轴和y 轴为边界的区域的面积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（ii ）由曲线()y f x =(()0)f x ≥及直线x a =，()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形的面积A 是定积分()baA f x dx =⎰.（Ⅰ）求()f t . 当02t π≤<时，曲线L 在切点((),cos )A f t t 处的切线斜率为/sin /()dy dy dt tdx dx dt f t -=='， 切线方程为sin cos [()]()ty t x f t f t =--' 令0y =得切线与x 轴的交点B 的x 坐标为cos ()()sin tf t x f t t'=+于是B 点坐标为cos ()((),0)sin tf t f t t'+，切点A 的坐标为((),cos )f t t依题设，A 与B1=， 化简得2sin ()cos tf t t'=，积分得22200sin sin 11()(0)sin cos 1sin tt xx f t f dx d x x x-+=+=-⎰⎰0111sin ()sin 21sin 1sin t t d x x x=-+++-⎰2211sin 1(1sin )sin ln sin ln 21sin 2cos t t t t t t++=-+=-+- sin ln sec tan t t t =-++（Ⅱ）求无界区域的面积S曲线(),:(0)cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩可表为()(0)y g x x =≤<+∞，当02t π→-时x →+∞当()x f t =时()cos g x t =，于是20()()cos ()S g x dxx f t tdf t π+∞==⎰⎰2222200sin cos ()cos sin cos 4t t f t dt t dt tdt t ππππ'=⋅=⋅==⎰⎰⎰(19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d LJ x y x x x y y =++-⎰【考点】格林公式【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 格林公式：()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰在本题中，记LJ Pdx Qdy =+⎰1）22(31)31Q P x x x y∂∂-=+-=∂∂； 2）曲线L 不封闭，添加辅助线1:L 沿y 轴由点(0,2)B 到点(0,0)O .122(0,)224LL Pdx Qdy Q y dy ydy ydy +==-==⎰⎰⎰⎰；3）在1L 与L 围成的区域D 上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：1()1L L DDQ PPdx Qdy d d x y σσ+∂∂+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰221121422πππ=⋅-⋅=，因此42LJ Pdx Qdy π=+=-⎰(20)设10010101,00100010a a A a aβ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（I ）计算行列式A ；（II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=，或1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.（ii ）设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ⇔=< （I ）按第一列展开，即得4141000101(1)10100101a a A a a a a a+=⋅+-=-（II ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =- 当1a =时，11001110010110101101()00110001101001000002A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时，11001100100110101011()00110001101001000000A β⎡-⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）.(21)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2（I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.（I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2Tr A A = 因为()()Tr A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有1011010110111000101000A a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 所以1a =-.（II ）当1a =-时，202022224TA A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由202022(2)(6)224T E A A λλλλλλλ---=--=-----，可知矩阵T A A 的特征值为0，2，6.对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系T），（1-,11， 对2λ=，由(2)0TE A A x -=得基础解系T），（0,11-， 对6λ=，由(6)0TE A A x -=得基础解系(1,1,2)T. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.T ），（1-,11311=γ，T ），（0,11212-=γ，.T），（2,11613=γ 于是得到正交矩阵62-031-612131612131=Q 在正交变换y xQ =下，二次型的标准形为232262y y f +=.（22）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）22()DX EX EX =-；（ii ）(,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅,(,)Cov X X DX =,1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.（Ⅰ）由随机变量(,)X Y 的概率分布可知，{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）由条件知12111236X⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012111333Y ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，01471112312XY ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而11120122363EX =⋅+⋅+⋅=， 1110121333EY =⋅+⋅+⋅=，222211150123333EY =⋅+⋅+⋅=，7112()014123123E XY =⋅+⋅+⋅=又2252()133DY EY EY =-=-=，于是(,)(,)(,)()Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y E XY EX EY DY -=-=-⋅-222213333=-⋅-=-. (23)设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>.设.Z X Y =-（Ⅰ）求Z 的概率密度2(,);f z σ （Ⅱ）设12,,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ（Ⅲ）证明2σ为2σ的无偏估计量【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）正态分布202()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞（ii ）似然函数 121()(,,,;)(;)nn i i L L x x x p x θθθ===∏，对数似然方程l n ()0dL d θθ= （iii ）若估计量12ˆˆ(,,,)n X X X θθ=的数学期望ˆ()E θ存在，且对于任意θ∈Θ有ˆ()E θθ=，则称ˆθ是未知参数θ的无偏估计量. （Ⅰ）由条件知Z 服从正态分布，且()0EZ E X Y EX EY =-=-=，2()3DZ D X Y DX DY σ=-=+=，即2(0,3)ZN σ，从而Z 的概率密度为2222(0)2236(;)z z f z σσσ---⋅==，z -∞<<+∞.（Ⅱ）由条件知似然函数为22122226611()(;)ni i i z z nni i i L f z σσσσ=--==∑===∏，i z -∞<<+∞，1,2,,i n =，222211ln ()ln 6ln 226nii n n L zσπσσ==---∑，令222241ln()110()26nii d n z d σσσσ==-⋅+=∑，解得22113n i i z n σ==∑.21 于是2σ的最大似然估计量为2211ˆ3n i i Z n σ==∑. （Ⅲ）由于222211111ˆ()()333n n i i i i E E Z E Z nEZ n n n σ=====⋅∑∑ 22211[()](30)33DZ EZ σσ=+=+=， 从而可知，2ˆσ为2σ的无偏估计量.。
