第8课 锐角三角函数(教师版)

《锐角三角函数》教学设计一、教学目标：1.了解什么是锐角三角函数；2.掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；3.掌握锐角三角函数的性质和图像特点；4.能够应用锐角三角函数求解实际问题。

二、教学重点：1.正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2.锐角三角函数的性质和图像特点。

三、教学难点：1.锐角三角函数的性质和图像特点。

四、教学过程：1.导入新知识向学生提问：“你们知道什么是三角函数吗？”接着引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义和计算方法。

2.学习正弦、余弦、正切的定义和计算方法首先，给出锐角的定义：“锐角是指小于90°的角”。

然后，给出三角函数的定义：正弦（sin）：在锐角∠A中，它的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA。

余弦（cos）：在锐角∠A中，它的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA。

正切（tan）：在锐角∠A中，它的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA。

接着，通过例题进行讲解，让学生掌握如何计算正弦、余弦、正切。

3.学习锐角三角函数的性质和图像特点介绍锐角三角函数的性质：正弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。

余弦函数的性质：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。

正切函数的性质：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，在每个周期内都是振荡的。

然后，通过绘制锐角的基本函数图像，让学生观察锐角三角函数的图像特点。

4.练习运用锐角三角函数设计练习题，让学生运用锐角三角函数求解实际问题，如航空导弹的打击角度、建筑物的高度等。

五、教学总结对本节课的内容进行总结，强调重点。

六、板书设计锐角三角函数正弦：sinA = 对边/斜边余弦：cosA = 邻边/斜边正切：tanA = 对边/邻边锐角三角函数的性质：正弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递增。

余弦函数：定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间，单调递减。

正切函数：定义域是全体非零实数，值域是全体实数，振荡。

锐角三角函数教学设计一、教学目标：1.理解锐角三角函数的概念和定义。

2.掌握锐角三角函数的计算方法和相互之间的关系。

3.能够应用锐角三角函数解决相关的实际问题。

4.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

二、教学重点：1.锐角三角函数的定义和性质。

2.锐角三角函数之间的关系。

3.锐角三角函数的计算方法。

三、教学难点：1.锐角三角函数的定义和计算方法。

2.锐角三角函数的相互关系和应用。

四、教学内容和教学过程：1.导入（5分钟）引入锐角三角函数的概念，提出锐角三角函数与直角三角函数之间的关系，并通过几个生活中常见的三角形图片引起学生的兴趣。

板书：锐角三角函数的概念。

2.锐角的定义（10分钟）介绍锐角的定义和性质，引导学生理解什么是锐角，并进行举例说明。

板书：锐角定义及性质。

3.锐角三角函数的定义（10分钟）介绍正弦、余弦、正切的定义，并与三角形的边长、角度的关系进行对照说明。

板书：正弦、余弦、正切的定义。

4.锐角三角函数的计算方法（20分钟）a.通过具体的锐角三角函数的计算问题，进行步骤的详细讲解。

b.引导学生理解计算中的基本思路和注意事项。

c.讲解计算中的常用技巧和方法，如利用三角函数的周期性、对称性等进行计算简化。

板书：锐角三角函数的计算方法。

5.锐角三角函数的相互关系（25分钟）a.对正弦、余弦、正切三个函数的性质进行详细说明，引导学生理解它们之间的相互关系。

b.针对特殊角的计算进行实例讲解，引导学生理解锐角三角函数之间的关系。

板书：正弦、余弦、正切的相互关系。

6.锐角三角函数的应用（20分钟）a.通过实际问题的解决，让学生理解锐角三角函数的应用。

b.引导学生利用锐角三角函数去解决各类实际问题，如测量高楼的高度、距离等。

板书：锐角三角函数的应用。

7.拓展与归纳（10分钟）归纳总结锐角三角函数的概念、定义、性质、计算方法和应用，培养学生的逻辑思维能力，并鼓励学生发散性思维进行扩展，如讨论其他角度三角函数的概念和性质。

第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数（2）一、知识点1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.B 1B 2AC 1C 2它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_ _____.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA 越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，，求BC和cosB.BA C通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 .设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA= ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻..八、 随堂小测1、下图中∠ACB=90° ，CD ⊥AB 指出∠A2、1题中如果CD=5，AC=10，则sin ∠ACD= sin ∠DCB=3、如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.BCABCsin a A c=cos b A c =sin b B c=cos a B c=bABCa┌csinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90。

锐角三角函数一．知识框架二、知识概念1、正弦，余弦，正切的概念ac 如图，在Rt ABC中，（1）sinA＝，bc （2）cosA＝，ab （3）tanA＝。

2、a sina cosa tana30°12323345°2222160°3212 32. 坡度（坡比）的概念及表示形式如图所示，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示．斜坡的坡度i 阳坡角的正切值有如下关系：hi tan ，即坡度是坡角的正切值．l1．正切与梯子的倾斜程度的关系：tan A 的值越大，梯子越陡．注意：梯子的倾斜程度与梯子和地面的夹角的大小有关，夹角越大说明梯子越倾斜．2．正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系：sin A 的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．3.解直角三角形：锐角A的正弦，余弦和正切都是∠A的三角函数，直角三角形中，除直角外，共 5 个元素：3 条边和 2 个角．除直角外只要知道其中 2 个元素（至少有 1 个是边），就可利用以上关系求出另外 3 个元素．4.仰角，俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角，如图所示，为仰角，俯角：当从高处观测低处的目标时，仰角：视线与水平线所成的锐角，如图所示，为俯角，例题：题型一：三角函数的定义例1、（2015?崇左）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13 ，BC=12 ，则下列三角函数表示正确的是（ A ）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=2=0，则∠C 的大例2、（2015?庆阳）在△ABC 中，若角 A ，B 满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）小是（ D ）A．45°B．60°C．75°D．105°例3、（2015?牡丹江）在△ABC 中，AB=12 ，AC=13 ，cos∠B= ，则BC 边长为（ D ）A．7 B．8 C．8 或17 D．7 或17【解答】解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°，当△ABC 为钝角三角形时，如图1，∵AB=12 ，∠B=45°，∴AD=BD=12 ，∵AC=13 ，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD ﹣CD=12 ﹣5=7；当△ABC 为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17 ，故选D．题型分析：（1）对于利用三角函数求线段长度的问题，一般要把这条线段放在一个直角三角形中来解决，因此必须先构造出以该条线段为边的直角三角形。

新人教版九年级数学锐角三角函数教案新人教版九年级数学锐角三角函数教案1一、复习巩固：1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：AC：AB = 。

2、在△ABC中，∠C=90°。

(1)已知∠A=30°，BC=8cm， (2)已知∠A=60°，AC= cm，求：AB与AC的长; 求：AB与BC的长。

二、例题学习：问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。

小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?拓展延伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m?2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?思考与探索1：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东60°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

概念：仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

问题2：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°。

若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢?思考与探索(2)：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。

一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。

如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗?三、板演练习1、如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB'的位置时，∠BAB'=30°。

问这时摆球B'较最低点B升高了多少?2、飞机在一定高度上飞行，先测得正前方某小岛的俯角为30°，飞行10km后，测得该小岛的俯角为60°，求飞机的高度。

锐角三角函数教案设计作为一位杰出的老师，就有可能用到教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。

那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺整理的锐角三角函数教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

锐角三角函数教案设计篇1知识目标：1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义。

2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值。

能力、情感目标：1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。

2.体会数形结合的数学思想方法。

3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。

重点、难点：1.直角三角形锐角三角函数的意义。

2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。

教学过程：一、创设情境前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。

但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。

同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？学生讨论、回答各种方法。

教师加以评论。

总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC 了，但实际上要测量AC是很难的。

因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。

（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的学习热情。

由此导入新课）二、新课讲述在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A 的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 （学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）（）若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么问题1：从以上的探索问题的过程，你发现了什么？（学生讨论）结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

教学设计：§28.1 锐角三角函数授课人：和金平编号： 48号§28.1 锐角三角函数（一）一、教学目标：1、理解直角三角形中锐角正弦函数的意义，并会求锐角的正弦值；2、掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形其他边长的方法；3、经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力。

教学重点：理解正弦（sinA ）概念，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值． 教学难点：在直角三角形中当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

二、教学过程：1、创设情景，提出问题:（PPT 演示）在唐僧师徒取经的路上，遇到了一座山，这座山有多高呢？这可难住了唐僧。

大徒弟孙悟空目测山的顶部，视线与水平线的夹角为30度，然后从地面飞到山顶，路程是1000米。

你能帮孙悟空计算出山的高度吗？1000米B AC 情境探究:分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ＝30°，AB ＝1000m ，求BC 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得BC ＝ AB ＝500m ，也就是说，这座山的高度是500m思考1：在上面的问题中，如果孙悟空从山底部飞到山顶1500米，那么山的高度是多少？可得B ’C ＝ AB ’ ＝750m 仍有 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角''1,'2A B C AB ∠ ==的对边斜边12B B 的对边与斜边的比值都等于思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，假设BC=，由勾股定理得: A 因此 C B即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90°当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是个固定值； 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值． 2、【探究】当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A’B’C ，使得∠C ＝∠C ’＝90°,∠A ＝∠A’＝ ， 那么与 有什么关系．你能解释一下吗？ 由于∠C ＝∠C ’＝90°， ∠A ＝∠A ’＝所以Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’【为了更直观地验证这一结论，教师几何画板演示：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比不变；当锐角A 的度数增大时，不管三∠A 的对边与斜边的比值变大。

锐角三角函数教案教学目标:1. 理解锐角三角函数的定义及其在三角恒等式中的应用。

2. 学会根据给定角度的数值计算其相对应的锐角三角函数值。

3. 掌握使用锐角三角函数求解三角方程和解三角形问题的方法。

教学重点:1. 锐角三角函数的定义及其性质。

2. 使用锐角三角函数求解三角方程和解三角形问题。

教学难点:1. 理解锐角三角函数与三角恒等式之间的关系，能够在解题中正确应用锐角三角函数的性质。

2. 学会使用锐角三角函数解决实际问题。

教学过程:Step 1: 导入新知识引入锐角三角函数的概念，并与直角三角函数进行对比，引出锐角三角函数的定义。

Step 2: 锐角三角函数的定义及其性质1. 引导学生理解正弦、余弦和正切函数的定义。

2. 解释锐角三角函数的定义域和值域。

3. 介绍锐角三角函数的基本性质，例如正弦函数的周期性和对称性等。

Step 3: 锐角三角函数的计算1. 给出一个角度的数值，让学生计算其相对应的锐角三角函数值。

2. 引导学生根据定义和性质解决一些简单的计算问题。

Step 4: 三角恒等式1. 介绍三角恒等式的概念。

2. 使用锐角三角函数的定义和性质推导一些常见的三角恒等式，例如正弦函数、余弦函数和正切函数的平方和差恒等式等。

3. 引导学生通过三角恒等式简化复杂的三角表达式。

Step 5: 解三角方程1. 介绍三角方程的概念。

2. 引导学生通过应用锐角三角函数的定义和性质解决一些简单的三角方程。

3. 给出一些较复杂的三角方程，让学生尝试解决。

Step 6: 解三角形问题1. 引导学生理解解三角形问题的思路和方法。

2. 通过实例引导学生解决一些简单的解三角形问题。

Step 7: 拓展应用1. 引导学生通过锐角三角函数解决一些实际问题，例如测量不可到达的高度和距离等。

2. 让学生自主寻找和锐角三角函数相关的应用实例，并进行讨论。

Step 8: 总结归纳总结锐角三角函数的定义、性质和使用方法，并强调锐角三角函数在解决实际问题中的重要性。