高考数学一轮复习：第8章 解析几何 第5讲

第5讲 椭 圆）1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1，F 2M 点的 轨迹为 椭圆 F 1、F 2为椭圆的焦点 ｜MF 1|＋|MF 2|＝2a|F 1F 2｜为椭圆的焦距 2a ＞|F 1F 2|2。

椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0） 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）图形性质 范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：x 轴、y 轴 对称中心:(0，0） 顶点 A 1(－a ，0),A 2（a ，0) B 1(0，－b ），B 2(0，A 1（0,－a ），A 2(0，a )B 1(－b ，0），B 2（b ，b）0）轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!，e∈（0,1）a,b，c的关系c2＝a 2－b21．辨明两个易误点（1）椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2｜这一条件，当2a＝|F1F2｜时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时,不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法（1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B ＞0,A≠B）．1.错误!椭圆C：错误!＋错误!＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为（）A．12 B．16C．20 D．24C △F1AB的周长为|F1A｜＋|F1B|＋｜AB|＝|F1A｜＋｜F2A|＋|F1B|＋｜F2B|＝2a＋2a＝4a。

[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数： (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. 4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B [由题意可知a 2＝25，b 2＝16，∴c 2＝25－16＝9，∴c ＝±3， 又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±3)．]3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 2＝1 B ．y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D ．x 29＋y 25＝1D [由题意有6＞2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．]4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A.5－12 B ．1＋52C.－1＋52D ．－1±52C [由题意有b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，则a 2－c 2＝ac ，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c a ，则e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.因为0＜e ＜1，所以e ＝－1＋52.故选C.]5．(教材改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．20 [由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ＝4×5＝20.]第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D ．x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74 C.72D ．752(1)D (2)C [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8.∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72.](1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.(1)A (2)3 [(1)由题意可知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |＞|FO |，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆，故选A. (2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1 [(1)由|AC |＋|BC |＝18－8＝10＞8知，顶点C 的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴－52a 2＋32b 2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.]直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B ．x 22＋y 2＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．y 24＋x 22＝1(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1 [(1)△AF 1B 的周长是4a ＝43，所以a ＝3，e ＝c a ＝33， 所以c ＝1， 那么b 2＝a 2－c 2＝2，所以方程是x 23＋y 22＝1.故选A.(2)由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1，故选C.(3)不妨设点A 在第一象限，如图所示．∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)． 又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1得25c 29＋b49b2＝1.又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B ．13 C.12D ．33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A [(1)法一：如图，在R t △PF 2F 1中， ∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c3，|PF 2|＝2c ·ta n 30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 法二：(特殊值法)在R t △PF 2F 1中 ，令|PF 2|＝1， ∵∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D ．(2)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大． ①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时，a ＝3，b ＝m ，ta n α＝3m≥ta n 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2 ②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，ta n α＝m3≥ta n 60°＝3，∴m ≥9.综上，m ∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.] ►考法2 与椭圆的几何性质有关的最值问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D ．3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(1)D (2)C [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a＝23＋1＝3－1.故选D ．(2)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.]1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B ．12 C.13D ．14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D ．] 2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34B [如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.]。

第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。

第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[试一试]1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0直线的倾斜角与斜率1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0 B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0 C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25.直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.角度二 直线方程与平面向量的综合2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. 答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0两直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0知m ＜14或m ＞1.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)，B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A (－4,0)，B (0,3)， 设P (x ，y )为圆上任一点，则P A ⊥PB.∴k P A ·k PB ＝－1得y x ＋4·y －3x ＝－1(x ≠－4，x ≠0)，即x (x ＋4)＋y (y －3)＝0. 化简得(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.3. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝0解析：选A 设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k (2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎡⎦⎤y ＋12(k －4)2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＞0，得5k 2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＝125k 2－16k ＋16.显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k 2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3.(如图)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图)又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[典例] xOy 中，已知圆为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0, 则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k 2＝1, 解得k ＝±24，根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －241．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝ x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选C 圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1， ∴直线方程为y ＝±x .2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－68解析：选B ∵弦长为8，圆的半径为5， ∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)， ∴|5×1－12×(－2)＋c |13＝3，∴c ＝10或c ＝－68.直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，则直线与圆O 相交．2．(2014·江南十校联考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜1解析：选C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径． ∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d ＝|1－0＋m |2＜2，∴|m ＋1|＜2，∴－3＜m ＜1，由题意知m 的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线、弦长问题[典例] ＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.[答案] A(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. [答案] 2 2 [类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． [针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB 的值是( ) A ．－12B.12 C ．－34D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝ 3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ·OB ＝1×1×cos 120°＝－12.圆与圆的位置关系[典例] 12：(x ＋m )2＋∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[解析] 由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4. [答案] 4在本例条件下求AB 所在的直线方程.解：由本例可知m ＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.第五节椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．[练一练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：选D 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1椭圆的定义及标准方程1.(2014·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 49＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析：选C ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] 3－1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，⎝⎛⎭⎫ca2＜12，0＜ca＜22，故e∈⎝⎛⎭⎫0，22.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21 D.1925或21解析：选C若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13] B．[13，12]C．(13，1) D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0＜e＜1，∴13≤e＜1.直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.[类题通法]1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].[针对训练](2013·全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.。

第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.[2020湖北部分重点中学高三测试]如图8-5-1,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为( )图8-5-1A.30°B.60°C.120°D.150°2.[2020湖南长沙市长郡中学模拟]图8-5-2中的三个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G 作正方体的截面.下列各选项中,关于直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是( )图8-5-2∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②③1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有①1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有③13.[多选题]如图8-5-3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则以下说法正确的是( )图8-5-31D1所成的角等于π4B.点C到平面ABC1D1的距离为√221C和BC1所成的角为π41D1-BB1C1的外接球的半径为√324.[2019吉林长春质量监测][双空题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE 和该截面所成角的正弦值为.5.[2021广州市阶段模拟]如图8-5-4,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为菱形,BE⊥平面ABCD,G为AC与BD的交点.(1)证明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠BAD=60°,AE⊥EC,求直线EG与平面EDC所成角的正弦值.图8-5-46.[2021晋南高中联考]如图8-5-5,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD,PA⊥PD,∠PAD=60°,Q为PD的中点.(1)证明:CQ∥平面PAB.(2)求二面角P-AQ-C的余弦值.图8-5-57.[2021湖南六校联考]如图8-5-6,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=√2a,点E是SD 上的点,且DE=λa(0<λ≤2).(1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE.(2)设二面角C-AE-D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为φ,若sin φ=cos θ,求λ的值.图8-5-68.[2020福建五校联考]图8-5-7是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,⏜上的动点(不与B1,A1重合).且AC⊥BC,P为B1A1(1)证明:PA1⊥平面PBB1.,求二面角P-A1B1-C的余弦值.(2)若四边形ABB1A1为正方形,且AC=BC,∠PB1A1=π4图8-5-79.[2020全国卷Ⅱ,12分]如图8-5-8,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.图8-5-810.[2021黑龙江省六校联考]如图8-5-9,正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直,且边长都是1,M,N,G分别为线段AC,BF,AB上的动点,且CM=BN,AF∥平面MNG,记BG=a(0<a<1).(1)证明:MG⊥平面ABEF.(2)当MN的长度最小时,求二面角A-MN-B的余弦值.图8-5-911.[2021蓉城名校联考]如图8-5-10(1),AD是△BCD中BC边上的高,且AB=2AD=2AC,将△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如图8-5-10(2)所示.(1)求证:AB⊥CD.时,求直线AE与平面BCE (2)在图8-5-10(2)中,E是BD上一点,连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为12所成角的正弦值.图8-5-1012.[2020洛阳市联考]如图8-5-11,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=2√6,DE=3√6.(1)求证:平面ACE⊥平面BED.(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值.的值;若不存在,请说明理由. (3)在线段AF上是否存在点M,使得二面角M-BE-D的大小为60°?若存在,求出AMAF图8-5-1113.如图8-5-12,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,平面α经过棱PC的中点E,与棱PB,AC分别交于点F,D,且BC∥平面α,PA∥平面α.(1)证明:AB⊥平面α.(2)若AB=BC=PA=2,点M在直线EF上,求平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值.图8-5-1214.[2021安徽江淮十校第一次联考]如图8-5-13(1),已知圆O的直径AB的长为2,上半圆弧上有一点C,∠COB=60°,点P是弧AC上的动点,点D是下半圆弧的中点.现以AB为折痕,使下半圆所在的平面垂直于上半圆所在的平面,连接PO,PD,PC,CD,如图8-5-13(2)所示.(1)当AB∥平面PCD时,求PC的长;(2)当三棱锥P-COD体积最大时,求二面角D-PC-O的余弦值.图8-5-13答案第四讲直线、平面垂直的判定及性质1.B 如图D 8-5-8,取AC的中点D,连接DE,DF,因为D,E,F分别为AC,PA,BC的中点,所以DF∥AB,DF=12AB,DE∥PC,DE=12PC,所以∠EDF或其补角为异面直线PC与AB所成的角.因为PC=10,AB=6,所以在△DEF中,DE=5,DF=3,EF=7,由余弦定理得cos∠EDF=DE2+DF2-EF22DE×DF =25+9−492×5×3=-12,所以∠EDF=120°,所以异面直线PC与AB所成的角为60°.故选B.图D 8-5-82.A 对于题图①,连接BD,因为E,F,G均为所在棱的中点,所以BD∥GE,DD1∥EF,又BD⊄平面EFG,DD1⊄平面EFG,从而可得BD∥平面EFG,DD1∥平面EFG,又BD∩DD1=D,所以平面BDD1∥平面EFG,所以BD1∥平面EFG.对于题图②,连接DB,DA 1,设正方体的棱长为1,因为E,F,G 均为所在棱的中点,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1×√2×cos 45°-√2×√2×cos 60°)=0, 即BD 1⊥EG.连接DC 1,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1×√2×cos 45°-√2×√2×cos 60°)=0,即BD 1⊥EF. 又EG ∩EF=E,所以BD 1⊥平面EFG.对于题图③,设正方体的棱长为1,连接DB,DG,因为E,F,G 均为所在棱的中点,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DG ⃗⃗⃗⃗⃗ -DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12-√2×1×√22+12×√2×1×√22=0, 即BD 1⊥EG.连接AF,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-12×√2×1×√22-12×√2×1×√22=0, 即BD 1⊥EF.又EG ∩EF=E,所以BD 1⊥平面EFG.故选A.3.ABD 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,对于A,直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1=π4,故A 正确;对于B,点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 长度的一半,即距离为√22,故B 正确;对于C,连接AC,因为BC 1∥AD 1,所以异面直线D 1C 和BC 1所成的角即直线D 1C 和AD 1所成的角,又△ACD 1是等边三角形,所以异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π3,故C 错误;对于D,三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1的外接球就是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球半径r=√12+12+122=√32,故D 正确.故选ABD.√2√1010如图D 8-5-9,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设CD,BC 的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.图D 8-5-9易知ME ∥NH,ME=NH,所以四边形MEHN 是平行四边形,所以MN ∥HE.因为MN ⊄平面EFHG,HE ⊂平面EFHG,所以MN ∥平面EFHG,所以过EF 且与MN 平行的平面为平面EFHG,易知平面EFHG 截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=√2,FH=2,所以截面EFHG 的面积为2×√2=2√2.连接AC,交HG 于点I,易知CI ⊥HG,平面EFHG ⊥平面ABCD,平面EFHG ∩平面ABCD=HG,所以CI ⊥平面EFHG,连接EI,因为EI ⊂平面EFHG,所以CI ⊥EI,所以∠CEI 为直线CE 和截面EFHG 所成的角.在Rt △CIE 中,易知CE=√1+22=√5,CI=14AC=2√24=√22,所以sin ∠CEI=CICE=√1010. 5.(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BE.又BE ∩BD=B,所以AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED.(2)解法一 设AB=1,在菱形ABCD 中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=√32,BG=GD=12.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中可得EG=AG=√32.由BE ⊥平面ABCD,得△EBG 为直角三角形,则EG 2=BE 2+BG 2,得BE=√22.如图D 8-5-10,过点G 作直线Gz ∥BE,因为BE ⊥平面ABCD, 所以Gz ⊥平面ABCD,又AC ⊥BD,所以建立空间直角坐标系 G-xyz.G(0,0,0),C(0,√32,0),D(-12,0,0),E(12,0,√22),图D 8-5-10所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,√22),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√22),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√32,√22). 设平面EDC 的法向量为n=(x,y,z),由{DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{x +√22z =0,12x -√32y +√22z =0,取x=1,则z=-√2,y=-√33,所以平面EDC 的一个法向量为n=(1,-√33,-√2).设直线EG 与平面EDC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<GE⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|12+0−1√14+12×√1+13+2|=|-12√32×√103|=√1010. 所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010. 解法二 设BG=1,则GD=1,AB=2,AG=√3.设点G 到平面EDC 的距离为h,EG 与平面EDC 所成角的大小为θ.因为AC ⊥平面EBD,EG ⊂平面EBD,所以AC ⊥EG.因为AE ⊥EC,所以△AEC 为等腰直角三角形.因为AC=2AG=2√3,所以AE=EC=√6,EG=AG=√3.因为AB=BD=2,所以Rt △EAB ≌Rt △EDB,所以EA=ED=√6.在△EDC 中,ED=EC=√6,DC=2,则S △EDC =√5.在Rt △EAB 中,BE=√EA 2-AB 2=√(√6)2-22=√2.V E-GDC =13BE ·12S △CBD =16×√2×S △ABD =16×√2×12×2×√3=√66.由V G-EDC =13h ·√5=V E-GDC =√66,得h=√62√5=√3010.所以sin θ=ℎEG =√1010.所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010.解法三 如图D 8-5-11,以点B 为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz.图D 8-5-11不妨设AB=2,在菱形ABCD 中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=√3,BG=GD=1.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中可得EG=AG=√3.由BE ⊥平面ABCD,得△EBG 为直角三角形,则EG 2=BE 2+BG 2,得BE=√2.则C(2,0,0),E(0,0,√2),D(1,√3,0),G(12,√32,0), 所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,-√2),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-√2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-√2). 设平面EDC 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +√3y -√2z =0,2x -√2z =0,令x=√3,则z=√6,y=1.所以平面EDC 的一个法向量为n=(√3,1,√6).设EG 与平面EDC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<EG⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|√32+√32-2√3|√1+2×√3+1+6=√1010. 所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010. 6.(1)如图D 8-5-12,取PA 的中点N,连接QN,BN.图D 8-5-12∵Q,N 分别是PD,PA 的中点,∴QN ∥AD,且QN=12AD. ∵PA ⊥PD,∠PAD=60°,∴PA=12AD, 又PA=BC,∴BC=12AD,∴QN=BC,又AD ∥BC,∴QN ∥BC,∴四边形BCQN 为平行四边形,∴BN ∥CQ.又BN ⊂平面PAB,CQ ⊄平面PAB,∴CQ ∥平面PAB.(2)在图D 8-5-12的基础上,取AD 的中点M,连接BM,PM,取AM 的中点O,连接BO,PO,如图D 8-5-13.图D 8-5-13设PA=2,由(1)得PA=AM=PM=2,∴△APM 为等边三角形,∴PO ⊥AM,同理BO ⊥AM.∵平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,PO ⊂平面PAD,∴PO ⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz, 则A(0,-1,0),C(√3,2,0),P(0,0,√3),Q(0,32,√32), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,52,√32), 设平面ACQ 的法向量为m=(x,y,z),则{m ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{√3x +3y =0,52y +√32z =0,取y=-√3,得m=(3,-√3,5)是平面ACQ 的一个法向量,又平面PAQ 的一个法向量为n=(1,0,0),∴cos<m,n>=m ·n|m|·|n|=3√3737, 由图得二面角P-AQ-C 的平面角为钝角,∴二面角P-AQ-C 的余弦值为-3√3737. 7.(1)由题意SD ⊥平面ABCD,AD ⊥DC,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DS ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别作为x,y,z 轴的正方向建立如图D 8-5-14所示的空间直角坐标系,图D 8-5-14则D(0,0,0),A(√2a,0,0),B(√2a,√2a,0),C(0,√2a,0),E(0,0,λa), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,√2a,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,-√2a,λa), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2-2a 2+0×λa=0, 即AC ⊥BE.(2)解法一 由(1)得EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a,0,-λa),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a,-λa),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,-√2a,λa). 设平面ACE 的法向量为n=(x,y,z),则由n ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x -λz =0,√2y -λz =0,取z=√2,得n=(λ,λ,√2)为平面ACE 的一个法向量,易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为DS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2a)与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a,0), ∴sin φ=|DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DS⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√λ2+4,易知二面角C-AE-D 为锐二面角,∴cos θ=|DC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||DC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=√2λ2+2,由sin φ=cos θ得√λ2+4=√2λ2+2,解得λ2=2,又λ∈(0,2],∴λ=√2.解法二 如图D 8-5-15,连接BD,由SD ⊥平面ABCD 知,∠DBE=φ.图D 8-5-15由(1)易知CD ⊥平面SAD.过点D 作DF ⊥AE 于点F,连接CF,则∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角,即∠CFD=θ.在Rt △BDE 中,BD=2a,DE=λa,∴BE=√4a 2+λ2a 2,sin φ=DEBE =√λ2+4,在Rt △ADE 中,AD=√2a,DE=λa,∴AE=a √λ2+2,∴DF=AD ·DE AE=√2λa√λ2+2, 在Rt △CDF 中,CF=√DF 2+CD 2=2√λ2+1√λ2+2a,∴cos θ=DFCF =√2λ2+2,由sin φ=cos θ得√λ2+4=√2λ2+2,解得λ2=2,又λ∈(0,2],∴λ=√2.8.(1)在半圆柱中,BB 1⊥平面PA 1B 1,PA 1⊂平面PA 1B 1,所以BB 1⊥PA 1.因为A 1B 1是上底面对应圆的直径,所以PA 1⊥PB 1.因为PB 1∩BB 1=B 1,PB 1⊂平面PBB 1,BB 1⊂平面PBB 1,所以PA 1⊥平面PBB 1.(2)根据题意,以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz,如图D 8-5-16所示.图D 8-5-16设CB=1,则C(0,0,0),A 1(0,1,√2),B 1(1,0,√2), 所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√2).易知n 1=(0,0,1)为平面PA 1B 1的一个法向量. 设平面CA 1B 1的法向量为n 2=(x,y,z),则{n 2·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +√2z =0,x +√2z =0,令z=1,则x=-√2,y=-√2,所以n 2=(-√2,-√2,1)为平面CA 1B 1的一个法向量.所以cos<n 1,n 2>=1×√5=√55.由图可知二面角P-A 1B 1-C 为钝角,所以所求二面角的余弦值为-√55.9.(1)因为M,N 分别为BC,B 1C 1的中点,所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1,故AA 1∥MN.因为△A 1B 1C 1是正三角形,所以B 1C 1⊥A 11C 1⊥MN,故B 1C 1⊥平面A 1AMN.所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F.(2)由已知得AM ⊥BC.以M 为坐标原点,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长度,建立如图D 8-5-17所示的空间直角坐标系M-xyz,则AB=2,AM=√3.图D 8-5-17连接NP,则四边形AONP 为平行四边形,故PM=2√33,E(2√33,13,0).由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC.作NQ ⊥AM,垂足为Q,则NQ ⊥平面ABC.设Q(a,0,0),则NQ=(2√331(a,1,(2√33故B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33-a,-23,-√4−(2√33-a)2),|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103. 又n=(0,-1,0)是平面A 1AMN 的一个法向量,故 sin(π2- n,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=cos n,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ·B 1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|·|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1010.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为√1010. 10.(1)因为AF ∥平面MNG,且AF ⊂平面ABEF,平面ABEF ∩平面MNG=NG,所以AF ∥NG,所以CM=BN=√2a,所以AM=√2(1-a),所以AMCM =AGBG =1−a a,所以MG ∥BC,所以MG ⊥AB.又平面ABCD ⊥平面ABEF,且MG ⊂平面ABCD,平面ABCD ∩平面ABEF=AB,所以MG ⊥平面ABEF.(2)由(1)知,MG ⊥NG,MG=1-a,NG=a,所以MN=√a 2+(1−a)2=√2a 2-2a +1=√2(a -12)2+12≥√22,当且仅当a=12时等号成立,即当a=12时,MN 的长度最小.以B 为坐标原点,分别以BA,BE,BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图D 8-5-18所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0),M(12,0,12),N(12,12,0),图D 8-5-18设平面AMN 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-12), 所以{m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x12+z12=0,m ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12-z 12=0,取z 1=1,得m=(1,1,1)为平面AMN 的一个法向量.设平面BMN 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-12), 所以{n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x22+z22=0,n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 22-z 22=0,取z 2=1,得n=(-1,1,1)为平面BMN 的一个法向量.所以cos<m,n>=m ·n|m||n|=13, 又二面角A-MN-B 为钝二面角,所以二面角A-MN-B 的余弦值为-13.11.(1)由题图(1)知,在题图(2)中,AC ⊥AD,AB ⊥AD.∵平面ACD ⊥平面ABD,平面ACD ∩平面ABD=AD,AB ⊂平面ABD,∴AB ⊥平面ACD,又CD ⊂平面ACD,∴AB ⊥CD.(2)以A 为坐标原点,AC,AB,AD 所在的直线分别为x,y,z 轴建立如图D 8-5-19所示的空间直角坐标系,不妨设AC=1,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,0),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1).图D 8-5-19设E(x,y,z),由DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1),得(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ), 得E(0,2λ,1-λ),∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,1-λ),又平面ABC 的一个法向量为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AE 与底面ABC 所成角的正切值为12, 所以|tan AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,于是|cos AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5=√55, 即|√(2λ)2+(1−λ)2|=√55,解得λ=12,则E(0,1,12),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,12). 设平面BCE 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x -2y =0,-y +12z =0, 令y=1,得x=2,z=2,则n=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量,设直线AE 与平面BCE 所成的角是θ,则sin θ=|cos AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√52×3=4√515, 故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515.12.(1)因为平面ADEF ⊥平面ABCD,平面ADEF ∩平面ABCD=AD,DE ⊂平面ADEF,DE ⊥AD,所以DE ⊥平面ABCD.因为AC ⊂平面ABCD,所以DE ⊥AC.又四边形ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD.因为DE ∩BD=D,DE ⊂平面BED,BD ⊂平面BED,所以AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面ACE,所以平面ACE ⊥平面BED.(2)因为DA,DC,DE 两两垂直,所以以D 为坐标原点,建立如图D 8-5-20所示的空间直角坐标系D-xyz. 则A(3,0,0),F(3,0,2√6),E(0,0,3√6),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,3√6),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-√6).图D 8-5-20设平面BEF 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x -3y +3√6z =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x -√6z =0,取x=√6,得n=(√6,2√6,3)为平面BEF 的一个法向量.所以cos<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√63√2×√39=-√1313. 所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为√1313.(3)假设在线段AF 上存在符合条件的点M,由(2)可设M(3,0,t),0≤t ≤2√6,则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,t).设平面MBE 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1), 则{m ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3y 1+tz 1=0,m ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x 1-3y 1+3√6z 1=0,令y 1=t,得m=(3√6-t,t,3)为平面MBE 的一个法向量.由(1)知CA ⊥平面BED,所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BED 的一个法向量,|cos<m,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||m||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6-3√2×√(3√6-t)2+t 2+9=cos 60°=12,整理得2t 2-6√6t+15=0,解得t=√62,故在线段AF 上存在点M,使得二面角M-BE-D 的大小为60°,此时AMAF =14. 13.(1)因为BC ∥平面α,BC ⊂平面PBC,平面α∩平面PBC=EF,所以BC ∥EF,且F 为棱PB 的中点,因为BC ⊥AB,所以EF ⊥AB.因为PA ∥平面α,PA ⊂平面PAC,平面α∩平面PAC=DE,所以PA ∥DE.因为PA ⊥平面ABC,所以PA ⊥AB, 所以DE ⊥AB.又DE ∩EF=E,DE ⊂平面DEF,EF ⊂平面DEF,所以AB ⊥平面DEF,即AB ⊥平面α.(2)如图D 8-5-21,以点B 为坐标原点,分别以BA,BC 所在直线为x,y 轴,过点B 且与AP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(1,1,1),F(1,0,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0), BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2).图D 8-5-21设M(1,t,1),平面MAC 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t,1),则{m ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2y 1=0,m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+ty 1+z 1=0,令x 1=1,则y 1=1,z 1=1-t,所以m=(1,1,1-t)为平面MAC 的一个法向量.设平面PBC 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2=0,n ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2+2z 2=0,得y 2=0,令x 2=1,则z 2=-1,所以n=(1,0,-1)为平面PBC 的一个法向量.设平面MAC 与平面PBC 所成的锐二面角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=|m ·n||m|×|n|=√12+12+(1-t)2×√2=√t 2-2t+3×√2.当t=0时,cos θ=0; 当t ≠0时, cos θ=√3t 2-2t+1×√2=√3(1t -13)+23×√2,当且仅当1t =13,即t=3时,3(1t -13)2+23取得最小值23,cos θ取得最大值,最大值为√23×√2=√32.所以平面MAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值的最大值为√32.14.(1)因为AB ∥平面PCD,AB ⊂平面OCP,平面OCP ∩平面PCD=PC,所以AB ∥PC.又∠COB=60°,所以∠OCP=60°.又OC=OP,所以△OCP 为正三角形,所以PC=1.(2)由题意知DO ⊥平面COP,而V P-COD =V D-COP ,S △COP =12·OC ·OP ·sin ∠COP, 所以当OC ⊥OP 时,三棱锥P-COD 的体积最大.解法一 易知OP,OD,OC 两两垂直,以O 为坐标原点,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图D 8-5-22所示的空间直角坐标系O-xyz,则P(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).图D 8-5-22设平面DPC 的法向量为n 1=(x,y,z),则{PC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{-x +z =0,x -y =0,取x=1,得平面DPC 的一个法向量为n 1=(1,1,1).易知平面PCO 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设二面角D-PC-O 的平面角为α,由题图知,二面角D-PC-O 的平面角为锐角,则cos α=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√33, 所以二面角D-PC-O 的余弦值为√33.解法二如图D 8-5-23所示,取PC的中点H,连接OH,DH.图D 8-5-23 因为OC=OP,DC=DP,所以OH,DH都与PC垂直,即∠OHD为所求二面角的平面角.在Rt△OPC中,可得OH=√22,在Rt△OHD中,DH=(√22=√62,所以cos∠OHD=√22√62=√33,所以二面角D-PC-O的余弦值为√33.。

解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、X 围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．热点题型1 圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·高考)抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程．(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解题思路 (1)根据抛物线C 过点(2，－1)，列方程求p ，得抛物线C 的方程，进而得出其准线方程．(2)设直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，用根与系数的关系推出关于M ，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n )，利用DA →·DB →＝0列方程式求n的值．规X 解答 (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得22＝－2p (－1)，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，那么DA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB→＝x 1x 2y 1y2＋(n ＋1)2 ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．典例2(2019·某某模拟)Q 为圆x 2＋y 2＝1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA→＝AP →，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．解题思路 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用Q 在圆上可得x ，y 的方程，即为所求．(2)设定点为H ，及直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，及HM →·HN→＝0，得出恒等式，求得定点的坐标． 规X 解答 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，那么x 20＋y 20＝1，由BA →＝AP →，得⎩⎨⎧x 0＝x2，y 0＝－y ，代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y 轴上，设定点为H (0，m )，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －35， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －35，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－245kx －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝24k 51＋4k 2，x 1x 2＝－64251＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－65＝－651＋4k2，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－35＝k 2x 1x 2－35k (x 1＋x 2)＋925＝9－100k 2251＋4k 2， ∵HM →＝(x 1，y 1－m )，HN →＝(x 2，y 2－m )， ∴HM →·HN →＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝100m 2－1k 2＋25m 2＋30m －55251＋4k2＝0，∵对任意的k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧100m 2－1＝0，25m 2＋30m －55＝0，解得m ＝1，即定点为H (0,1)，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过定点(0,1)． 综上，以MN 为直径的圆过定点(0,1)． 热点题型2 圆锥曲线中的定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段FP 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解题思路 (1)R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP →RQ 是线段PF 的垂直平分线→|PQ |＝|QF |→点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．(2)①求|TS |的依据：a ＝2r 2－d 2，其中a 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．②策略：设曲线C 上点M (x 0，y 0)，用相关公式求r ，d ；用x 0，y 0满足的等量关系消元．规X 解答 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点， 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |，又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20， 那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，∵点M 在曲线C 上， ∴x 0＝y 202，∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．典例2(2019·某某三模)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a2＋b2的圆为椭圆C的“准圆〞．假设椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆〞方程；(2)假设点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．解题思路(1)根据椭圆的几何性质求a，c，再用b2＝a2－c2求b，可得椭圆C 的方程，进而可依据定义写出其“准圆〞方程．(2)分以下两种情况讨论：①l1，l2中有一条斜率不存在；②l1，l2斜率存在．对于①，易知切点为椭圆的顶点；对于②，可设出过P与椭圆相切的直线，并与椭圆方程联立后消元，由Δ＝0推出关于椭圆切线斜率的方程，利用根与系数的关系进行证明．规X解答(1)∵椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.∴c＝2，a＝3，∴b＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为x23＋y2＝1，∴“准圆〞方程为x2＋y2＝4.(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，那么l1：x＝±3，当l1：x＝3时，l1与“准圆〞交于点(3，1)，(3，－1)，此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l 1：x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直． ②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为 y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由⎩⎨⎧y ＝t x －x 0＋y 0，x 23＋y 2＝1，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0，∵x 20＋y 20＝4，∴有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0.设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直． 综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆〞于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴线段MN 为“准圆〞x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4， ∴线段MN 的长为定值．热点题型3 圆锥曲线中的证明问题典例1抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状，求|FD |，|AB |.由△ABD 的面积为1，列方程求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理，结合根与系数的关系用k ，p 表示M ，N 的坐标．求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．规X 解答 (1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22px 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．典例2(2019·某某二模)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(1<a <5)上，该椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设线段MN 平行于y 轴，满足(ON →－2OM →)·MN →＝0，动点P 在直线x ＝23上，满足ON →·NP→＝2.证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 解题思路 (1)根据椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322，列关于a 的等量关系求解，得椭圆C 的方程．(2)设出M ，N ，P 的坐标(注意M 与N 的横坐标相同，P 的横坐标)．先用(ON →－2OM →)·MN →＝0和ON →·NP →＝2推出坐标之间的关系，再利用这些等量关系证明NF →·OP→＝0. 规X 解答 (1)设左顶点A 的坐标为(－a,0)， ∵|－a ＋5|2＝322，∴|a －5|＝3，解得a ＝2或a ＝8(舍去)， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意，设M (x 0，y 0)，N (x 0，y 1)，P (23，t )，且y 1≠y 0，由(ON →－2OM →)·MN →＝0，可得(x 0－2x 0，y 1－2y 0)·(0，y 1－y 0)＝0，整理可得y 1＝2y 0，由ON →·NP →＝2，可得(x 0,2y 0)·(23－x 0，t －2y 0)＝2，整理，得23x 0＋2y 0t ＝x 20＋4y 20＋2＝6，由(1)可得F (3，0)， ∴NF →＝(3－x 0，－2y 0)， ∴NF →·OP →＝(3－x 0，－2y 0)·(23，t )＝6－23x 0－2y 0t ＝0， ∴NF ⊥OP ，故过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 热点题型4 圆锥曲线中的最值与X 围问题典例1(2019·某某二模)设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，A 是C 上一点，F A 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB 的中点，且|FB |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于M ，N 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值．解题思路(1)由题意画出图形，结合条件列式求得p ，那么抛物线C 的方程可求．(2)由直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，求出|MN |，同理可求|DE |⎝ ⎛⎭⎪⎫实际上，在|MN |的表达式中用－1k 代替k 即可，可得四边形MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值．规X 解答 (1)如图，∵A 为FB 的中点，∴A 到y 轴的距离为p4， ∴|AF |＝p 4＋p 2＝3p 4＝|FB |2＝32，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由直线l 1的斜率存在且不为0， 设其方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2＋4k 2，那么|MN |＝x 1＋x 2＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2； 同理设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，∴x 3＋x 4＝2＋4k 2， 那么|DE |＝x 3＋x 4＋2＝4(1＋k 2)．∴四边形MDNE 的面积S ＝12|MN |·|DE |＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时，四边形MDNE 的面积取得最小值32.典例2 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2，0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，假设S △P AM ∶S △PBN ＝λ，某某数λ的取值X 围．解题思路 (1)求点B 的坐标→根据k AB ＝12列方程→由题意得a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解方程组求a ，b ，c ，写出椭圆C 的标准方程．(2)S △P AM ∶S △PBN ＝λ――→面积公式PM →与PN →的关系→点M ，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理→用根与系数的关系得出点M ，N 的坐标之间的关系式→推出λ与k 的关系，并根据k >12求X 围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值X 围．规X 解答 (1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a a ＋c＝12，a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为S △P AM S △PBN＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)， 所以PM→＝－λ2PN →. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)， 有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，2－λ2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，那么1<2－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值X 围为(4,4＋23)． 热点题型5 圆锥曲线中的探索性问题典例1(2019·某某一模)抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1.(1)假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)在(1)的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)求得抛物线的焦点，设出直线l的方程，运用直线l和圆C相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即k AM＋k BM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．规X解答(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝|3k－k|1＋k2＝2|k|1＋k2，当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±3 3，即直线l的方程为y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线l的方程为y＝33(x－1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，那么x 1＋x 2＝14，x 1x 2＝1，x 轴上假设存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO ， 即有k AM ＋k BM ＝0， 得y 1x 1－t＋y 2x 2－t ＝0， 即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0， 由y 1＝33(x 1－1)，y 2＝33(x 2－1)， 可得2x 1x 2－(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2－2)t ＝0，即2－14－12t ＝0，即t ＝－1，M (－1,0)符合题意；当直线l 的方程为y ＝－33(x －1)时，由对称性可得M (－1，0)也符合条件． 所以存在定点M (－1,0)使∠AMO ＝∠BMO .典例2(2019·某某模拟)点A (0，－1)，B (0,1)，P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上异于点A ，B 的任意一点．(1)求证：直线P A ，PB 的斜率之积为－12；(2)是否存在过点Q (－2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，使得|BM |＝|BN |？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)设点P (x ，y )(x ≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证． (2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM |＝|BN |想到在△BMN 中，边MN 所在直线的斜率与MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．规X 解答 (1)证明：设点P (x ，y )(x ≠0)， 那么x 22＋y 2＝1，即y 2＝1－x 22， ∴k P A ·k PB ＝y ＋1x ·y －1x ＝y 2－1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22－1x 2＝－12，故得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交．①当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 为y ＝k (x ＋2)，联立椭圆方程x 2＋2y 2＝2，化简得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0， 由Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k <22(k ≠0)， 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·－8k 21＋2k 2＋4k ＝4k 1＋2k 2， 取MN 的中点H ，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么y1＋y22－1x1＋x22·k＝－1，即2k1＋2k2－1－4k21＋2k2·k＝－1，化简得2k2＋2k＋1＝0，无实数解，故舍去．②当k＝0时，M，N为椭圆C的左、右顶点，显然满足|BM|＝|BN|，此时直线l的方程为y＝0.综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝0.。

第5讲椭圆[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性X围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□01相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆□02相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆□03相离．4．弦长公式(1)假设直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝□011＋k2|x1－x2|＝□021＋1k2|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□032b2a，最长为□042a.5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，那么当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)过焦点F1的弦AB，那么△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133 B.53C.23 D.59答案 B解析由得a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝32－22＝5，离心率e＝ca＝5 3.(2)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，假设长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为()A.x236＋y232＝1 B.x29＋y28＝1C.x29＋y25＝1 D.x216＋y212＝1答案 B解析由题意，得2c2a＝13，2a＝6，解得a＝3，c＝1，那么b＝32－12＝8，所以椭圆C的方程为x29＋y28＝1.应选B.(3)假设方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，那么m的取值X围是________．答案2<m<6且m≠4解析方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，解得2<m<6且m≠4.(4)动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，那么动点P的轨迹方程为________．答案x264＋y215＝1解析由得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为x264＋y215＝1.题型一椭圆的定义及应用1．过椭圆x24＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，那么△ABF2的周长为()A．8 B．4 2 C．4 D．2 2 答案 A解析因为椭圆为x24＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，那么|P A|＋|PB|的最大值为() A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A解析如图，∵椭圆y24＋x23＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|P A|＋|PB|＝|P A|＋(4－|PB′|)＝4＋(|P A|－|PB′|)．∵|P A|－|PB′|≤|AB′|，∴|P A|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|P A |＋|PB |的最大值为5.3．(2019·某某模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，那么△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析 由题意，得a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明3求最值抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明21．如下图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由题意得|PF |＝|MP |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|MP |＝|MO |>|OF |，即点P 到两定点O ，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P 的轨迹是椭圆．2．(2019·某某皖江模拟)F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，那么△PF 1F 2面积的最大值为________．答案 2解析 解法一：∵△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝12a 2.又2a ＝4，∴a 2＝4，∴△PF 1F 2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a ＝4，解得a ＝2.当P 点到F 1F 2距离最大时，S △PF 1F 2最大，此时P 为短轴端点，S △PF 1F 2＝12·2c ·b ＝bc .又a 2＝b 2＋c 2＝4，∴bc ≤b 2＋c 22＝2， ∴当b ＝c ＝2时，△PF 1F 2面积最大，为2.题型二 椭圆的标准方程角度1 定义法求椭圆的标准方程1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 234＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1.角度2 待定系数法求椭圆的标准方程2．椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，那么椭圆方程为________．答案 y 210＋x 26＝1解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．由得⎩⎨⎧94m ＋254n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110，所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量〞．见举例说明2.1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．答案x225＋y216＝1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，那么有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.2．(2019·某某调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆方程为________．答案x28＋y26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.题型三 椭圆的几何性质1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，那么椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 由得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．2．F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)答案 B解析 ∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45°，∴tan ∠AF 2F 1<1，∴b 2a2c <1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2－c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2－1(舍去)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值X 围是(2－1,1)．3．(2019·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，那么PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.那么当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些X 围问题时，经常用到x ，y 的X 围，离心率的X 围等不等关系．见举例说明3.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝1－b2a2求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e＝ca＝2c2a，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，那么椭圆E的标准方程为()A.x22＋y22＝1 B.x22＋y2＝1C.x24＋y22＝1 D.y24＋x22＝1答案 C解析易知b＝c＝2，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为x24＋y22＝1.2．(2020·某某模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和直线l：x4＋y3＝1，假设过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，那么椭圆C的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以bc ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45. 3．假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，那么OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.题型四 直线与椭圆的综合问题角度1 直线与椭圆的位置关系1．直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．角度2 点差法解中点弦问题2．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．答案 y 275＋x 225＝1解析 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x 22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x225＝1.角度3 弦长问题3．椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，某某数m 的取值X 围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x . 角度4 综合计算问题4．(2019·某某高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，假设|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，那么直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k2－10k.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－2 k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k2－10k·⎝⎛⎭⎪⎫－k2＝－1，化简得k2＝245，从而k＝±2305.所以直线PB的斜率为2305或－2305.1．直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数．2．“点差法〞的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法〞，步骤如下：3．中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.见举例说明2.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a 2. 4．直线与椭圆相交的弦长公式(1)假设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .1．假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么m 的取值X 围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部或在椭圆上，所以1m ≤1，由方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，那么m >0且m ≠5，综上知m 的取值X 围是m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝x ＋m 被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16，那么中点的纵坐标为________．答案 －13解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2＋y 2＝2，消去y 并整理得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2m 3，∴－2m 3＝13，解得m ＝－12.由截得的线段的中点在直线y ＝x －12上，得中点的纵坐标y ＝16－12＝－13.解法二：设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么2x 21＋y 21＝2,2x 22＋y 22＝2.两式相减得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.把y 1－y 2x 1－x 2＝1，x 1＋x 2＝13代入上式，得y 1＋y 22＝－13，那么中点的纵坐标为－13.3．(2019·某某六中模拟)直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C ：x 28＋y 22＝1交于A ，B 两点，直线l 1与直线l 2：x ＋2y －4＝0交于点M .(1)证明：直线l 2与椭圆C 相切；(2)设线段AB 的中点为N ，且|AB |＝|MN |，求直线l 1的方程．解(1)证明：由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，x ＋2y －4＝0，消去x 整理得y 2－2y ＋1＝0， ∵Δ＝4－4＝0，∴l 2与C 相切．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x ＋2y －4＝0，得M 的坐标为(0,2)．由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0， 因为直线l 1与椭圆交于A ，B 两点， 所以Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，解得k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－8k1＋4k 2. ∵|AB |＝|MN |， 即1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|x 0|， 即8k1＋4k2＝4 24k 2－11＋4k 2，解得k 2＝12，满足k 2>14.∴k ＝±22，∴直线l 1的方程为y ＝±22x ＋2.组 基础关1．椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，那么m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．8答案 C解析 由mx 2＋3y 2－6m ＝0，得x 26＋y22m ＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m ＝6＋4，解得m ＝5.2．(2019·某某模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.255答案 B解析 由题2b ＝16.4,2a ＝20.5，那么b a ＝45，那么离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(3，＋∞)C ．(－6，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－3)∪(2，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以－6<a <－2或a >3.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，那么直线AB 的方程为y ＝2x－2.联立⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.应选B.5．如图，椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，那么椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1答案 C解析 设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP ||OF |＝35，那么|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP ||OF ′|cos (π－∠POF )＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，那么椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.应选C.7．(2020·某某一诊)点M (－1,0)和N (1,0)，假设某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，那么称该直线为“椭型直线〞，现有以下直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线〞的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④答案 C解析 由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线〞；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线〞；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线〞；对于④，把x＋y－3＝0代入x24＋y23＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线〞．故②③是“椭型直线〞．8．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，那么椭圆的标准方程为________．答案x245＋y236＝1解析由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由离心率e＝55可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为x245＋y236＝1.9．椭圆x25＋y24＝1的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为π4的直线l与椭圆相交于A，B两点，那么|AB|的值为________．答案165 9解析由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. 10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，假设直线PF1的斜率为33，那么该椭圆的离心率为________．答案3 3解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33.组 能力关1．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，那么△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1(或△PQF 2)的周长即△PQF 周长的最小值，为10＋2×4＝18.2．离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下、上焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋1过椭圆C 的焦点F 2，与椭圆交于A ，B 两点，假设点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，那么k 2＝________.答案 27解析 直线l 过定点(0,1)，即F 2为(0,1)，由于c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝1，那么椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，由⎩⎨⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，由点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，得x 1＝－2x 2，代入x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，解得x 2＝2kk 2＋2，x 1＝－4k k 2＋2，代入x 1x 2＝－1k 2＋2，解得k 2＝27.3．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．假设△MF 1F 2为等腰三角形，那么M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．4．(2020·某某摸底)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b a x 相交于P ，Q 两点，且A P →·A Q →＝0，O P →＝3O Q →，那么椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85 解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，那么AT ⊥PQ . ∵A P →·A Q →＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又O P →＝3O Q →，∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12.由得焦半距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4，∴|AT |2＋4|AT |2＝4， ∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105. ∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 中点的横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)某某数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF→＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．假设直线AB ⊥x 轴，那么x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.组 素养关1．(2019·某某二模)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝32，离心率为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设M 为y 轴正半轴上的定点，过M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，S AOB ＝－32tan ∠AOB ，求点M 的坐标．解(1)由题意，知c a ＝12，b 2a ＝32，结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝3，所以x 24＋y 23＝1.(2)设M (0，t )，t >0，由题意知，直线l 的斜率存在，设l 为y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由S △AOB ＝－32tan ∠AOB ，得12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝－32·sin ∠AOBcos ∠AOB ，得|OA ||OB |cos ∠AOB ＝－3，即OA →·OB→＝－3， 联立直线l 和椭圆C 的方程，有 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝－3，得(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝－3， ∴(k 2＋1)4t 2－123＋4k 2－kt ·8kt3＋4k 2＋t 2＝－3， 整理可得7t 2＝3，又t >0，得t ＝217. 故M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，217 2．(2019·某某六市第二次联考)动点P 到定点F (1,0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与点A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)求直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？假设有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；假设没有，请说明理由．解(1)设点P (x ，y )．由题意可得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将x ＝1代入x 22＋y 2＝1，得|y |＝22，所以|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不符合题意．当m ≠0时，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，word- 31 - / 31 所以|n |m 2＋1＝1，所以n 2＝m 2＋1.由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 并整理， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0. 因为Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0， 所以x 1＋x 2＝－4mn2m 2＋1，x 1x 2＝2(n 2－1)2m 2＋1. 所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝12×2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立．将m ＝±22代入n 2＝m 2＋1，得n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．故四边形ACBD 的面积有最大值，最大值为22，对应的直线方程为y ＝22x－62和y ＝－22x ＋62.。

第1课时 椭圆及简单几何性质[A 级 基础巩固]1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：因为△AF 1B 的周长为43，且△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ， 所以4a ＝43，所以a ＝3， 因为离心率为33，所以c a ＝33，解得c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <－1C ．－1<k <1D ．－1<k <0或0<k <1解析：因为曲线x 21－k ＋y 21＋k＝1表示椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，1＋k >0，1－k ≠1＋k ，解得－1<k <1，且k ≠0，则－1<k <0或0<k <1. 答案：D4．(2020·东营市联考)设F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点，过F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|最大值为5，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.5－12D.32解析：因x 24＋y 2b2＝1，则a ＝2，由0<b <2可知，焦点在x 轴上， 因为过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 则|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8， 所以|BF 2|＋|AF 2|＝8－|AB |，当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|＋|AF 2|值最大， 此时|AB |＝2b 2a＝b 2，则5＝8－b 2，解得b ＝3，则椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝12. 答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 225＋y 210＝1 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24化为x 28＋y 23＝1，它的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设椭圆的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可得：9a 2＋4b2＝1，a 2－b 2＝5，解得a ＝15，b ＝10，故所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3. 答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，如图所示，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝2a ，4c 2＝m 2＋9m 2－2·m ·3m cos 120°， 可得4c 2＝13×a 24，解得e ＝c a ＝134.答案：1349．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围． 解：(1)由题意，因为|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12，所以c ＝1，a ＝2， 所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，A (－2，0)，F 1(－1，0)，所以PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝x 20＋3x 0＋2＋y 20， 因为P 点在椭圆上，所以x 204＋y 203＝1，y 20＝3－34x 20，所以PF 1→·PA →＝14x 20＋3x 0＋5，由椭圆方程得－2≤x 0≤2，二次函数14x 20＋3x 0＋5的开口向上，对称轴x 0＝－6<－2，当x 0＝－2时，取最小值0， 当x 0＝2时，取最大值12.所以PF 1→·PA →的取值范围是[0，12]．[B 级 能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12 B.23 C.32D.22解析：设|BF 1|＝k (k >0)， 则|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，所以|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，因为cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理得：|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 所以(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 所以|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，|AB |＝4k ， 所以|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2， 所以AF 1⊥AF 2，且AF 1＝AF 2＝3k ，所以△AF 1F 2是等腰直角三角形，(2c )2＝2a 2， 所以c ＝22a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 答案：D12．(2020·青岛实验高中测试)方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________________________．解析：因为方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为y 21－m ＋x 22m ＝1，满足1－m >2m >0，解之得0<m <13.答案：0<m <1313.如图所示，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程．(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为AF →·FB →＝1，即(a ＋c )(a －c )＝1＝a 2－c 2， 所以a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ ＝1，于是可设直线l 的方程为y ＝x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.因为MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)， 又y i ＝x i ＋m (i ＝1，2)，得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0， 所以2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)．经检验m ＝－43符合条件，所以直线l 的方程为y ＝x －43.故存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心，此时l 的方程为y ＝x －43.[C 级 素养升华]14．(多选题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 212＋y 29＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．3x 2＋4y 2＝12解析：由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2.由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12. 答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1] 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.33B.32C.22 D.12解析：设|F 1P |＝m ，|F 2P |＝n ，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，即4c 2＝m 2＋n 2－mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，所以m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2，代入上式得4c 2＝3a 22＋a 21，又它们的离心率互为倒数，c a 1·ca 2＝1，即c 2＝a 1a 2，代入4c 2＝3a 22＋a 21得3a 22－4a 1a 2＋a 21＝0，a 1＝3a 2，e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c a 1·3c a 1＝1，即3e 21＝1，所以e 1＝33. 答案：A2．求离心率的取值范围[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D ．[3－1，1)解析：设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA →·FB →＝0，即FA ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在直角三角形AF ′F 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b2.又由|FB |≤|FA |≤2|FB |得1≤|FA ||FB |≤2，则m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52， 又2c2b 2＝2c 2a 2－c 2＝2e 21－e 2，则可得22≤e ≤53，即离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53. 答案：A3．探寻离心率的最值[典例3] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 答案：A。

第5讲 空间向量及其运算一、知识梳理1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a ＝λb ．(2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a ,b ,在空间中任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉．通常规定0≤〈a ,b 〉≤π．若〈a ,b 〉＝π2,则称向量a ,b互相垂直,记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ,b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ,e 〉(其中e 为单位向量); ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0; ③|a |2＝a ·a ＝a 2; ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b ); ②a ·b ＝b ·a (交换律);③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算 (1)设a ＝(a 1,a 2,a 3),b ＝(b 1,b 2,b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1,a 2＋b 2,a 3＋b 3), a －b ＝(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3),λa ＝(λa 1,λa 2,λa 3),a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3, a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0,a ∥b ⇔a 1＝λb 1,a 2＝λb 2,a 3＝λb 3(λ∈R ), cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2),则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB →为直线l 的方向向量,与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量．②确定:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0n·b ＝0. 5．空间位置关系的向量表示1．向量三点共线定理在平面中A ,B ,C 三点共线的充要条件是:OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1),O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件是:OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1),O 为空间任意一点．二、教材衍化1．如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则BM →＝________(用a ,b ,c 表示)．解析:BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案:－12a ＋12b ＋c2．正四面体ABCD 的棱长为2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,则EF 的长为________． 解析:|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2,所以|EF →|＝2,所以EF 的长为 2. 答案: 23.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________．解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设DA ＝2,则A (2,0,0),M (0,0,1),O (1,1,0),N (2,1,2),所以AM →＝(－2,0,1),ON →＝(1,0,2),AM →·ON →＝－2＋0＋2＝0,所以AM ⊥ON .答案:垂直一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ,b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ,由a ·b ＝b ·c ,则a ＝c .( )(4)若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则a ,b ,c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (6)若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√二、易错纠偏复习指导| (1)忽视向量共线与共面的区别; (2)使用数量积公式出错．1．在空间直角坐标系中,已知A (1,2,3),B (－2,－1,6),C (3,2,1),D (4,3,0),则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析:选B ．由题意得,AB →＝(－3,－3,3),CD →＝(1,1,－1), 所以AB →＝－3CD →,所以AB →与CD →共线, 又AB 与CD 没有公共点,所以AB ∥CD .2．O 为空间中任意一点,A ,B ,C 三点不共线,且OP →＝34OA →＋18OB →＋t OC →,若P ,A ,B ,C 四点共面,则实数t ＝________．解析:因为P ,A ,B ,C 四点共面,所以34＋18＋t ＝1,所以t ＝18.答案:18考点一 空间向量的线性运算(基础型)复习指导| 了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 核心素养:数学运算、数学抽象1.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c解析:选A ．由题意,根据向量运算的几何运算法则,BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．在空间四边形ABCD 中,若AB →＝(－3,5,2),CD →＝(－7,－1,－4),点E ,F 分别为线段BC ,AD的中点,则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2,－3,－3)C ．(5,－2,1)D ．(－5,2,－1)解析:选B ．因为点E ,F 分别为线段BC ,AD 的中点,O 为坐标原点,所以EF →＝OF →－OE →,OF →＝12(OA →＋OD →),OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12[(3,－5,－2)＋(－7,－1,－4)]＝12(－4,－6,－6)＝(－2,－3,－3)． 3.在三棱锥O -ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量OA →,OB →,OC →表示(1)MG →;(2)OG →.解:(1)MG →＝MA →＋AG → ＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二 共线、共面向量定理的应用(基础型)复习指导| 了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．核心素养:数学运算如图所示,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →, 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→,所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面．(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内,当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内,又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面,所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ,A ,B 共线空间四点M ,P ,A ,B 共面 P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ,＝OA →＋tAB →对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．若A (－1,2,3),B (2,1,4),C (m ,n ,1)三点共线,则m ＋n ＝________． 解析:AB →＝(3,－1,1),AC →＝(m ＋1,n －2,－2)． 因为A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ, 使得AC →＝λAB →.即(m ＋1,n －2,－2)＝λ(3,－1,1)＝(3λ,－λ,λ), 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λn －2＝－λ－2＝λ,解得λ＝－2,m ＝－7,n ＝4.所以m ＋n ＝－3. 答案:－32．如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,E ,F ,G 分别是A 1D 1,D 1D ,D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →,AD →,AA 1→表示AG →;(2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解:(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→. (2)证明:由题图,得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b , EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →,因为EG 与AC 无公共点,所以EG ∥AC ,因为EG ⊄平面AB 1C ,AC ⊂平面AB 1C , 所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c , FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→,因为FG 与AB 1无公共点,所以FG ∥AB 1,因为FG ⊄平面AB 1C ,AB 1⊂平面AB 1C , 所以FG ∥平面AB 1C ,又因为FG ∩EG ＝G ,FG ,EG ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面AB 1C .考点三 空间向量数量积的应用(基础型)复习指导| 掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 核心素养:数学运算如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算:(1)EF →·BA →;(2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12. 【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下,求证EG ⊥AB . 证明:由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ),所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下,求EG 的长． 解:由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12,则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下,求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解:由例题知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ,cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角 设向量a ,b 所成的角为θ,则cos θ＝a ·b|a ||b |,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离) 运用公式|a |2＝a ·a ,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM ＝2A 1M ,C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ,AC →＝b ,AA 1→＝c .(1)试用a ,b ,c 表示向量MN →;(2)若∠BAC ＝90°,∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°,AB ＝AC ＝AA 1＝1,求MN 的长． 解:(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知,因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5,所以|a ＋b ＋c |＝5,|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.考点四 利用向量证明平行与垂直(应用型)复习指导| 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 核心素养:逻辑推理 角度一 证明平行问题(一题多解)如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点．求证:(1)PB ∥平面EFG ; (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形,所以AB ,AP ,AD 两两垂直．以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0)．法一:EF →＝(0,1,0),EG →＝(1,2,－1), 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0n ·EG →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＋2y －z ＝0令z ＝1,则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量, 因为PB →＝(2,0,－2), 所以PB →·n ＝0,所以n ⊥PB →,因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG .法二:PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →, 即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2t －s ＝0－t ＝－2解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →,又因为FE →与FG →不共线, 所以PB →,FE →与FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG . (2)因为EF →＝(0,1,0),BC →＝(0,2,0), 所以BC →＝2EF →, 所以BC ∥EF .又因为EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以EF ∥平面PBC , 同理可证GF ∥PC , 从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ,EF ⊂平面EFG ,GF ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面PBC . 角度二 证明垂直问题如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ＝AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8,PO ＝4,AO ＝3,OD ＝2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【证明】 (1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线DB 方向为x 轴正方向,射线OD 为y 轴正半轴,射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O(0,0,0),A(0,－3,0),B(4,2,0),C(－4,2,0),P(0,0,4)．于是AP→＝(0,3,4),BC→＝(－8,0,0),所以AP→·BC→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0,所以AP→⊥BC→,即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5,又AM＝3,且点M在线段AP上,所以AM→＝35AP→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫095125,又BA→＝(－4,－5,0),所以BM→＝BA→＋AM→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125,则AP→·BM→＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125＝0,所以AP→⊥BM→,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系;②建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系;④根据运算结果解释相关问题．(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ,m 的方向向量分别为a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2),平面α,β的法向量分别为u ＝(a 3,b 3,c 3),v ＝(a 4,b 4,c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2,b 1＝kb 2,c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3,b 1＝kb 3,c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4,b 3＝kb 4,c 3＝kc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面为平行四边形,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长; (2)求证: AC 1⊥BD .解:(1)记AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6, 所以|AC 1→|＝6,即AC 1的长为 6. (2)证明:因为AC 1→＝a ＋b ＋c ,BD →＝b －a , 所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.所以AC 1→⊥BD →,所以AC 1⊥BD .[基础题组练]1．已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析:选B ．由题意知c ＝x a ＋y b ,即(7,6,λ)＝x (2,1,－3)＋y (－1,2,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7x ＋2y ＝6－3x ＋3y ＝λ解得λ＝－9.2．(多选)有下列四个命题,其中不正确的命题有( ) A ．已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面解析:选ACD ．对于A,已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0,错误;对于B,若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →,正确;对于C,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量,不正确;对于D,对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),仅当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点共面,故错误．3．在空间四边形ABCD 中,AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析:选B ．如图,令AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4.如图,在大小为45°的二面角A ­EF ­D 中,四边形ABFE ,四边形CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是( )A ． 3B ． 2C ．1D ．3－ 2解析:选D ．因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →,所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2,所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1,0,0),B (0,－1,1),O 为坐标原点,OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°,则λ的值为( ) A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析:选C ．OA →＋λOB →＝(1,－λ,λ),cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12,得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意,舍去,所以λ＝－66. 6.如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点．用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝________．解析:因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.答案:12AB →＋12AD →＋AA 1→7.已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是CD ,PC 的中点,并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN ＝________．解析:连接PD ,因为M ,N 分别为CD ,PC 的中点,所以MN ＝12PD ,又P (0,0,1),D (0,1,0),所以PD ＝02＋(－1)2＋12＝2, 所以MN ＝22. 答案:228.如图所示,已知空间四边形OABC ,OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为________．解析:设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,由已知条件得〈a ,b 〉＝〈a ,c 〉＝π3,且|b |＝|c |,OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0, 所以OA →⊥BC →,所以cos 〈OA →,BC →〉＝0. 答案:09.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面AA 1C 1C 和平面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．求证:(1)MN ∥平面A 1B 1C 1; (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ;证明:由题意知,AA 1,AB ,AC 两两垂直,则以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2,则A (0,0,0),A 1(2,0,0),B (0,2,0),B 1(2,2,0),C (0,0,2),C 1(2,0,2),M (1,0,0),N (1,1,1)． (1)因为AA 1⊥A 1B 1,AA 1⊥A 1C 1, 且A 1B 1∩A 1C 1＝A 1, 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为MN →＝(0,1,1),AA 1→＝(2,0,0), 所以MN →·AA 1→＝0,即MN ⊥AA 1. 因为MN ⊄平面A 1B 1C 1, 故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0),MC 1→＝(1,0,2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0n 1·MC →1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＝0x 1＋2z 1＝0令x 1＝2,则n 1＝(2,1,－1)．同理可得n 2＝(0,1,1)． 因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0, 所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .10.如图,在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A ＝AB ＝1,BC ＝2.求证:(1)EF ∥平面P AB ; (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),所以E⎝⎛⎭⎪⎪⎫12112,F⎝⎛⎭⎪⎫0112,EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12,PB→＝(1,0,－1),PD→＝(0,2,－1),AP→＝(0,0,1),AD→＝(0,2,0),DC→＝(1,0,0),AB→＝(1,0,0)．(1)因为EF→＝－12AB→,所以EF→∥AB→,即EF∥AB.又AB⊂平面P AB,EF⊂/ 平面P AB,所以EF∥平面P AB.(2)因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0,所以AP→⊥DC→,AD→⊥DC→,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD＝A,所以DC⊥平面P AD.所以平面P AD⊥平面PDC.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x,y,z∈R),则“x ＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B．当x＝2,y＝－3,z＝2时,即OP→＝2OA→－3OB→＋2OC→.则AP→－AO→＝2OA→－3(AB→－AO→)＋2(AC→－AO→),即AP→＝－3AB→＋2AC→,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设AP→＝mAB→＋nAC→(m,n∈R),即OP→－OA→＝m(OB→－OA→)＋n(OC→－OA→),即OP→＝(1－m－n)OA→＋mOB→＋nOC→,即x＝1－m－n,y＝m,z＝n,这组数显然不止2,－3,2.故“x＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件．2.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB＝2,AF＝1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23231C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22221D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24241解析:选C ．设M 点的坐标为(x ,y ,1),因为AC ∩BD ＝O ,所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22220,又E (0,0,1),A (2,2,0),所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－221,AM →＝(x －2,y －2,1),因为AM ∥平面BDE ,所以OE →∥AM →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22y －2＝－22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22y ＝22 所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22221.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面边长为1,M 为BC 的中点,C 1N →＝λNC →,且AB 1⊥MN ,则λ的值为________．解析:如图所示,取B 1C 1的中点P ,连接MP ,以MC →,MA →,MP →的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0320,B 1(－12,0,2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1202,M (0,0,0),设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫120t ,因为C 1N →＝λNC →,所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1221＋λ, 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－322,MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12021＋λ. 又因为AB 1⊥MN ,所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0,所以λ＝15.答案:154.如图,四面体ABCD 中,E ,F 分别为AB ,DC 上的点,且AE ＝BE ,CF ＝2DF ,设DA →＝a ,DB →＝b ,DC →＝c .(1)以{a,b,c}为基底表示FE→,则FE→＝______;(2)若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°,且|DA→|＝4,|DB→|＝3,|DC→|＝3,则|FE→|＝______．解析:(1)如图所示,连接DE.因为FE→＝FD→＋DE→,FD→＝－DF→＝－13DC→,DE→＝12(DA→＋DB→),所以FE→＝－13c＋12a＋12b.(2)|FE→|2＝⎝⎛⎭⎫12a＋12b－13c2＝14a2＋14b2＋19c2＋12a·b－13a·c－13b·c＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274.所以|FE→|＝332.答案:－13c＋12a＋12b3325．在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD＝DC,E,F分别是AB,PB的中点．(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面P AD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB？若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由．解: (1)证明:由题意知,DA,DC,DP两两垂直．如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD＝a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E⎝⎛⎭⎪⎫aa2,P(0,0,a),F⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2a2a2.EF→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a2a2,DC→＝(0,a,0)．因为EF→·DC→＝0,所以EF→⊥DC→,从而得EF⊥CD.(2)存在．理由如下:假设存在满足条件的点G,设G (x ,0,z ),则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2, 若使GF ⊥平面PCB ,则由 FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(a ,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0,得x ＝a 2; 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(0,－a ,a )＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0,得z ＝0. 所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 200, 故存在满足条件的点G ,且点G 为AD 的中点．6．如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由．解:(1)证明:设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1＝2,AO ＝1,∠A 1AO ＝60°,所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3, 所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21,所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ,A 1O ⊂平面AA 1C 1C ,所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,－1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (－3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)．由于BD →＝(－23,0,0),AA 1→＝(0,1,3),AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0,所以BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)存在．理由如下:假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →＝λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y －1,z )＝λ(0,1,3)． 从而有P (0,1＋λ,3λ),BP →＝(－3,1＋λ,3λ)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→n ⊥DA 1→ 又A 1C 1→＝(0,2,0),DA 1→＝(3,0,3),则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝03x 2＋3z 2＝0 取n ＝(1,0,－1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n ⊥BP →,即n ·BP →＝－3－3λ＝0,得λ＝－1,即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C ＝CP .。

第5讲 椭圆1．(2021·洛阳统考)中|心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15 ,0) ,直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2 ,那么椭圆方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 解析：选C.依题意 ,设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0) ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b 2＝1a 2－b 2＝15 ,由此解得a2＝20 ,b 2＝5 ,因此所求的椭圆方程是x 220＋y 25＝1.2．(2021·淮南模拟)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45,那么k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21解析：选C.假设a 2＝9 ,b 2＝4＋k ,那么c ＝5－k , 由c a ＝45 ,即5－k 3＝45, 解得k ＝－1925；假设a 2＝4＋k ,b 2＝9 ,那么c ＝k －5 , 由c a ＝45 ,即k －54＋k ＝45,解得k ＝21. 3．矩形ABCD 中 ,|AB |＝4 ,|BC |＝3 ,那么以A ,B 为焦点 ,且过C ,D 两点的椭圆的短轴的长为( ) A ．2 3 B ．2 6 C ．4 2 D ．4 3解析：选D.依题意得|AC |＝5 ,所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4 ,长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8 ,所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2021·烟台质检)一个椭圆的中|心在原点 ,焦点F 1 ,F 2在x 轴上 ,P (2 ,3)是椭圆上一点 ,且|PF 1| ,|F 1F 2| ,|PF 2|成等差数列 ,那么椭圆方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2 ,3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1| ,|F 1F 2| ,|PF 2|成等差数列 ,那么|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2| ,即2a ＝2·2c ,c a ＝12,又c 2＝a 2－b 2 ,联立得a 2＝8 ,b 2＝6.5．(2021·江西省九校模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点 ,假设AF ⊥BF ,设∠ABF ＝α ,且α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6 π4 ,那么该椭圆离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤223－1 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22 1 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 32 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 63 解析：选A.设椭圆的左焦点为F ′ ,连接AF ′ ,BF ′ ,结合题目条件可得四边形AFBF ′为矩形 ,那么有|AB |＝|FF ′|＝2c ,结合椭圆定义有|AF |＋|BF |＝2a ,而|AF |＝2c sinα ,|BF |＝2c cos α ,那么有2c sin α＋2c cos α＝2a ,那么e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ,而α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6 π4 ,那么α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5π12 π2,那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 1 ,故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 3－1.6．(2021·唐山质检)动点P (x ,y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上 ,F 为椭圆C 的右焦点 ,假设点M 满足|MF →|＝1 ,且MP →·MF →＝0 ,那么|PM →|的最|小值为( ) A. 3 B ．3 C.125D ．1 解析：选A.由题意得F (3 ,0) ,|PM |2＝|PF |2－|MF |2≥(a －c )2－1＝(5－3)2|PM →|min ＝ 3.7．假设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点 ,那么椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意知 ,以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点 ,故b ≤c ,所以b 2≤c 2 ,即a 2≤2c 2,所以22≤c a .又c a <1 ,所以22≤e <1.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2218．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,焦距为2c .假设直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1 ,那么该椭圆的离心率等于________． 解析：F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,直线y ＝3(x ＋c )过点F 1 ,且斜率为 3 , 所以倾斜角∠MF 1F 2＝60°.因为∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30° ,所以∠F 1MF 2＝90° ,所以|MF 1|＝c ,|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ,所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－19．P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点 ,F 1 ,F 2为两焦点 ,M ,N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点 ,那么|PM |＋|PN |的最|小值为________．解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1 ,F 2分别是两圆的圆心 ,且|PF 1|＋|PF 2|＝10 ,从而|PM |＋|PN |的最|小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 答案：710．(2021·石家庄一模) 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1 ,F 2 ,设P 为椭圆上一点 ,∠F 1PF 2的外角平分线所在的直线为l ,过点F 1 ,F 2分别作l 的垂线 ,垂足分别为点R ,S ,当P 在椭圆上运动时 ,R ,S 所形成的图形的面积为________．解析：延长F 1R 交F 2P 的延长线于点R ′ ,那么|F 1R |＝|RR ′| ,|F 1P |＝|PR ′| ,所以|R ′F 2|＝|R ′P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PF 2|＝2a .因为R ,O 分别是F 1R ′ ,F 1F 2的中点 ,所以|OR |＝a .同理可得|OS |＝a .因此R ,S 的轨迹是以原点O 为圆心 ,以a 为半径的圆 ,其方程为x 2＋y 2＝a 2 ,故R ,S 所形成的图形的面积为πa 2.答案：πa 211．分别求出满足以下条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2 ,－3)；(2)点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上 ,且P 到两焦点的距离分别为5 ,3 ,过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意 ,设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1 ,t 2＞0) ,因为椭圆过点(2 ,－3) ,所以t 1＝224＋ (－ 3 )23＝2 ,或t 2＝ (－ 3 )24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定 ,所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0) ,由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3(2c )2＝52－32解得a ＝4 ,c ＝2 ,所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.1．(2021·济南模拟)在椭圆x216＋y29＝1内 ,通过点M (1 ,1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0解析：选C.设过点M (1 ,1)的直线l 与椭圆交于点P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,那么⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1 x 2216＋y229＝1 两式相减可得 ,(x 1＋x 2 ) (x 1－x 2 )16＋ (y 1＋y 2 ) (y 1－y 2 )9＝0 ,即k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9 (x 1＋x 2 )16 (y 1＋y 2 )＝－916 ,故所求的直线l 的方程为y －1＝－916(x －1) ,即9x ＋16y －25＝0.2．椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63,右焦点为(2 2 ,0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点 ,以AB 为底边作等腰三角形 ,顶点为P (－3 ,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由得c ＝2 2 ,e ＝c a ＝63.解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4 ,所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋mx 212＋y 24＝1 ,得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ,B 的坐标分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2)(x 1<x 2) ,AB 中点为E (x 0 ,y 0) ,那么x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4 ,y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边 , 所以PE ⊥AB ,所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3 ,x 2y 1＝－1 ,y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时 ,点P (－3 ,2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322 ,所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.3．(2021·（高|考）陕西卷)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(c ,0) ,(0 ,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图 ,AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径 ,假设椭圆E 经过A ,B 两点 ,求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ,0) ,(0 ,b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0 ,那么原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca, 由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一：由(1)知 ,椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意 ,圆心M (－2 ,1)是线段AB 的中点 ,且|AB |＝10.易知 ,AB 与x 轴不垂直 ,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1 ,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1 )1＋4k 2 ,x 1x 2＝4 (2k ＋1 )2－4b21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4 ,得－8k (2k ＋1 )1＋4k2＝－4 , 解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝10 (b 2－2 ). 由|AB |＝10 ,得10 (b 2－2 )＝10 ,解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知 ,椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意 ,点A ,B 关于圆心M (－2 ,1)对称 , 且|AB |＝10.设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么x 21＋4y 21＝4b 2 ,x 22＋4y 22＝4b 2, 两式相减并结合x 1＋x 2＝－4 ,y 1＋y 2＝2 ,得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直 ,那么x 1≠x 2 ,所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1 ,代入①得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4 ,x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝10 (b 2－2 ). 由|AB |＝10 ,得10 (b 2－2 )＝10 ,解得b 2＝3.x2 12＋y23＝1.故椭圆E的方程为。