2009-2011级高数(上)期末试题

2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。

⼤学⾼数历年期末试题2010-2011年⼀. 填空题 (共4⼩题，每⼩题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ??11 0 ),(=3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+?<=-??+-≤≤?以为周期，()s x 为的()f x 的傅⾥叶级数的和函数，则(3)s π-= .4．设曲线为圆周222Ry x =+,则曲线积分dsx y x C+）—（322=⼆.选择题（共4⼩题，每⼩题4分，共计16分）1. 设直线为32021030,x y z x y z ++=??--+=?平⾯为4220x y z -+-=,则（） .(A) 平⾏于平⾯ (B) 在平⾯上(C) 垂直于平⾯ (D) 与相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于（）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π3．下列级数中，收敛的级数是（）.(A) ∑∞=+-1)1()1(n n nn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13 (D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（）（A ）若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛（B ）若收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n na 收敛，则部分和有界（D ）若∑∞=1n na收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8⼩题，每⼩题8分，共计64分）1．设函数具有⼆阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u2.2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线⽅向的⽅向导数. 解：3．计算,)(2dxdyyx}4),({22≤+=yxyxD.4.设⽴体由锥⾯z=及半球⾯1z=+.已知上任⼀点(),,x y z处的密度与该点到x y o平⾯的距离成正⽐（⽐例系数为0 K>），试求⽴体的质量.6. 计算第⼆类曲⾯积分??∑++dxdyzxxydxdzxyzdydz2，其中为球⾯2x外侧．7．求幂级数nnxn∑∞=+111的和函数。

11-12高数上期末：一、填空题 （共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线 与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题 （共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且 证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即， 这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

2010-2011学年高三上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（每题5分，共60分，仅有一个正确选项。

）1．已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则)(N C M R =( )A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi += （ ）A ．12 B． D ．543.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（）A. 3y x = B. ln y x = C.21y x =D.cos y x =4、如右图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 5．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<6．已知A 、B 是抛物线px y 22=(p ＞0)上异于原点O 的两点，则“=0”是“直线A B 恒过定点(0,2p )”的（ ）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件7. 已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象， 若(2)1,(1)(2)(3)(2009)f f f f f =-++++= 则 （ ） A ．0B ．1C ．－1D ． －1004.58．已知ABC ∆，如果对一切实数||||,AC BC t BA t ≥-都有，则ABC ∆一定为 （ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．与t 的值有关9．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00202y y x y x ),(Z y Z x ∈∈，每一对整数),(y x 对应平面上一个点，经过其中任意两点作直线，则不同直线的条数是 （ ）A ．14B ．19C ．36D ．7210．方程x x x 222=-的正根个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．设1(1,)2OM = ，()0,1ON = 为坐标原点，动点(),P x y 满足01OP OM ≤∙≤ ，01OP ON ≤∙≤，则z y x =-的最大值是（ ）A ．－1B ． 1C ．－2D ．3212．函数)(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对任意R y x ∈、都有)()()(y x f y f x f +=∙，若))((,21*1N n n f a a n ∈==，则数列{}n a 的前n 项和S n 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,21 二、填空题（每题5分，共20分）13若△ABC 的对边分别为a 、b 、C 且a =1，B ∠=045，ABC S ∆=2，则b = .14．已知正实数,x y 满足1xy =,则()()x yy x y x ++的最小值为 .15．椭圆 的焦点F 1、F 2，点P 是椭圆上动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是16．如图，边长为a 的正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 （只需填上正确命题的序号）． ①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②三棱锥A ′—FED 的体积有最大值； ③恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ；④异面直线A ′E 与BD 不可能互相垂直；⑤异面直线FE 与A ′D 所成角的取值范围是]2,0(π． 三、解答题（共70分） 17．（本题满分10分）函数Rx xx x f ∈-+-=,)2sin()2cos()(π。

2009学年高二年级第一学期期末数学试卷一、 填空题1、在数列{}n a 中，)(2,311*∈=-=+N n a a a n n ，则_________5=a2、若数列{}n a 满足：,411=a 且对任意正整数n ，都有11a a a n n =+，则 (＋＋···＋)＝3、若直线l 经过点)2,3(-M 且与向量→a )3,2(-=平行，则直线l 的一般式方程为______________4、直线l 1：(a –2)x +(a +1)y +4=0与l 2：(a +1)x +ay –9=0互相垂直，则a 的值是___________5、点(3，9)关于直线x +y －10=0对称的点的坐标是6、行列式243725213--=D 中元素7的代数余子式是 ．7、已知矩阵 ⎝⎛=11A 32 ⎪⎪⎭⎫13， ⎝⎛-=101B ⎪⎪⎪⎭⎫-111，则_______=AB 8、若|a |=3，|b |=2，a 与b 的夹角为30o ，OC =a +2b ，b a OD -=2，则|CD |= _______ 。

9、写出右图中算法的运行结果__________10、直线l 方程为03cos x =++y α，则直线l 的倾斜角的范围 是_________________11、已知直线l 的方程为1-kx y =，且直线l 与以点A （2，2）， B （—3，3）为端点的线段有交点，则k 的取值范围 是___________________12、已知数列{}n a 的通项公式为：＝＋n －25，(n)，是表示数列{}n a 的前n 项和，则的最小值为 。

二、 选择题13、对于向量→→→c b a ,,和实数δ，下列命题中真命题是 （ ）（A ）若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b （B ）若→→=0a δ，则0=δ或→→=0a （)C 若22→→=b a ，则→→=b a 或→→-=b a （D ）若=⋅→→b a →→⋅c a ，则→→=c b开始 a ←0，b ←1 b <5 a ←a +b b ←b +1 输出a结束↓ ↓ ↓ ↓↓ → ↓ 否是 第9题14、若原点到直线ax+y+8=0的距离为6，则a 的值是 ( ) (A )37 (B ) 33 (C ) 37± (D ) 33± 15、定义：)l ,P (d 为点P 到直线l 的距离。