命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲解【名校学案word版+详细解答】

平行线的判定和性质_学案平行线的判定、性质由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）．由公理推出：内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理．本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。

能用平行线的性质进行简单的推理和计算。

理解平行线的判定方法和性质区别。

点击一：平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行点击二：两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行点击三：平行线的基本性质：平行公理：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

点击四：平行线的判定方法同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．针对练习1:1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是毛A.平行或相交B.垂直或相交;C.垂直或平行D.平行、垂直或相交2.下列说法正确的是A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列说法正确的有①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;③若线段AB与CD没有交点,则AB‖CD;④若a‖b,b‖c,则a与c不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个5.过一点画已知直线的平行线,则A.有且只有一条B.有两条;C.不存在D.不存在或只有一条6.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.7.若AB‖CD,AB‖EF,则_____‖______,理由是__________________.8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________.9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.10.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L 平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________.11.如图所示,已知∠1 ∠2,AC平分∠DAB,试说明DC‖AB.12.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF 600,∠E •30°,试说明AB‖CD.答案：1.A2.D3.C4.B5.D6.不相交的两条直线7.CD EF 平行于同一条直线的两条直线平行8.1个 0个9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行11. 解:∵AC平分∠DAB,∴∠1 ∠CAB,又∵∠1 ∠2,∴∠CAB ∠2,∴AB‖CD.12.解:∵EG⊥AB,∠E 30°,∴∠AKF ∠EKG 60°∠CHF,∴AB‖CD.点击五：平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．点击六：平行线的距离同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。

7．3平行线的判定1．了解并掌握平行线的判定公理和定理；(重点)2．了解证明的一般步骤．(重点)一、情境导入我们知道，光线从空气中进入水中会发生折射现象，光线从水中进入空气中，同样也会发生折射现象．如图为光线从空气中进入水中，再从水中进入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，那么你能说明光线c与d平行吗？二、合作探究探究点一：平行线的判定【类型一】平行线的判定公理如图，直线l1、l2、l3、l4两两相交，且∠1＝∠2＝∠3.求证：l1∥l2，l3∥l4.解析：∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同位角，∠2和∠3是直线l3、l4被直线l2所截得的同位角，所以由∠1＝∠2可以判定l1∥l2，由∠2＝∠3可以判定l3∥l4.证明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)．∵∠2＝∠3(已知)，∴l3∥l4(同位角相等，两直线平行)．方法总结：利用平行线的判定公理进行推理证明的关键是分清同位角是哪两条直线被第三条直线所截构成的．【类型二】平行线的判定定理1如图，已知AB，CD与直线EF分别相交于点B，C，且∠ABE＝∠DCF.求证：AB∥CD.解析：由等角的补角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行线的判定定理1即可得到结论．证明：因为∠ABC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180°(邻补角的定义)，∠ABE＝∠DCF(已知)，所以∠ABC＝∠DCB(等角的补角相等)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．方法总结：要证明两条直线平行，主要是指出图形中两条直线被第三条直线所截的角，观察是否有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或由角的数量关系推得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．【类型三】 平行线的判定定理2如图，直线AE ，CD 相交于点O ，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，这是为什么？解析：由题意可知∠1＝∠AOD ＝70°，又因为∠A ＝110°，所以∠A ＋∠AOD ＝180°，故AB∥CD.解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因为∠A＝110°，所以∠A ＋∠AOD＝180°(等式的性质)，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．方法总结：(1)本题运用数形结合思想，平行线的判定是由角之间的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．(2)若题中的结论能用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明．探究点二：平行线的判定公理、定理的综合应用如图，已知DE ，BF 分别平分∠ADC 和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC ＝∠ABC，因此可推出图中哪些线段平行？为什么？解析：结合图形以及已知条件，能证明DE∥BF ，DF ∥BE 和AD∥BC.解：DE∥BF，DF ∥BE ，AD ∥BC.理由如下：(1)DE∥BF.∵∠1＝∠2(已知)，∴DE ∥BF(同位角相等，两直线平行)．(2)DF∥BE.∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC(已知)，∴∠3＝12∠ADC ，∠2＝12∠ABC(角平分线定义)．∵∠ADC＝∠ABC(已知)，∴∠2＝∠3(等量代换)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代换)，∴DF ∥BE(内错角相等，两直线平行)．(3)AD∥BC.由(2)知∠3＝∠1，又∵DE 平分∠ADC(已知)，∴∠ADE ＝∠3(角平分线定义)，∠ADE ＝∠1(等量代换)．∴∠A＝180°－∠ADE－∠1＝180°－2∠ADE＝180°－∠ADC ＝180°－∠ABC(三角形内角和为180°及等量代换)，即∠A＋∠ABC＝180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．方法总结：解此类题应首先结合图形猜测结论，然后证明．证明两条直线平行，一般先找它们的截线，再求同位角相等(或内错角相等，同旁内角互补)来说明两直线平行．若没有公共截线，则需作出两直线的截线辅助证明．三、板书设计平行线,的判定)⎩⎪⎨⎪⎧判定公理：同位角相等，两直线平行判定定理⎩⎪⎨⎪⎧内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行本节课通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．学生每日提醒～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 励志名言： 1、泰山不是垒的，学问不是吹的。

平行线的性质和判定精品资料教学过程：一、基础知识点：性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵ AB//CD∴ ∠AMN+∠CNM=180°几何符号语言： （1）∵∠3＝∠2∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）（2）∵∠1＝∠2∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵∠4＋∠2＝180°∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。

⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

A BC DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。

.（2） 内错角相等，两直线平行。

（3） 同旁内角互补，两直线平行。

（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2） 两直线平行，内错角相等。

（3） 两直线平行， 同旁内角互补。

【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。

7.2 定义与命题第2课时定理与证明教学目标（1）了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论（2）掌握真、假命题及反例的概念，并能判断命题的真假。

（3）了解本教材所采用的公理学习策略1.在学习过程中要充分展示自己的语言表达能力，要敢于暴露自己的缺点和不足力求改正和提高。

2.进行适当的巩固练习，同时注意在课余时间自行消化理解学习中出现的问题。

3.不能死记硬背名词的解释，而应侧重于对名词的理解。

学习过程一情境导入：体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直”是否正确？转化为如图所示的图形，已知条件为AB∥CD，AB⊥EF，请问CD与EF垂直吗？为什么？二.新课学习：(1)预习课本168---170页内容(2)_____________ 称为公理。

______________称为定理。

______________称为证明小组合作学习下列说法中不正确的是（）A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明B.命题是判断一件事情的句子C.公理的正确与否必须用推理的方法来证实D.要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可教师精讲1、公理、定理及证明公理：公认的真命题称为公理，它不需要证明。

定理：经过证明的真命题称为定理。

证明：演绎推理的过程称为证明。

2.本书中我们已经认识的8条公理如下：①两点确定一条直线。

②两点之间线段最短。

③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.⑥两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．⑦两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．⑧三边对应相等的两个三角形全等．此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理。

3.从这些基本事实出发，我们可以证明下面的定理：定理：同角（或等角）的补角相等。

同角（或等角）的余角相等。

三角形的任意两边之和大于第三边。

命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解责编：赵炜【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数 （2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（！）如果，那么；,>>a b b c >a c （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：；结论：.它是真命题.,>>a b b c >a c（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）.A ，则B ．若a ＞b ，则am ＞bm m =a m =C ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（ ）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD ＝∠DCB ，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD ＝∠DCB ，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD －∠1＝∠DCB －∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD ∥BC ，AB ∥CD .【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．举一反三：【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）.1l 2l A ．∠1＝∠3 B ．∠2＝∠3 C ．∠4＝∠5 D ．∠2+∠4＝1800【答案】B【高清课堂：平行线及判定 例1】【变式2】已知，如图，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1=∠2，求证：AB//CD ．【答案】∵ ∠1=∠2∴ 2∠1=2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）5.（2015•日照期末）如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于F ，∠CFE=∠E ．求证：AD ∥BC ．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．【高清课堂：平行线及判定例5】举一反三：【变式1】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．【变式2】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1B．2C．3D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．。

平行线的判定知识与技能：1、了解证明的基本格式，掌握平行线判定方法的推理过程。

2、学习简单的推理论证说理的方法。

过程与方法：通过简单的推理过程的学习，培养学生进行数学推理的习惯和方法，同时培养提高学生“观察－分析－推理－论证”的能力。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的浓厚兴趣，养成独立思考的习惯。

教学重点：平行线判定方法1的推理过程及几何解题的基本格式教学难点：判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式。

教学过程：一、预学：通过预习教材P90—P91的内容，完成下面各题：1.同位角相等，两直线2. 叙述平行线的性质定理1－3，借助图形用数学语言表达。

3、对顶角相等是成立的，反过来“相等的角是对顶角”成立吗？二、探究1、观察。

教材的观察，学生动手量一量，再回答提出的问题。

2、“两直线平行，同位角相等”是成立的，反过来“同位角相等，两直线平行”是否还成立呢？如下图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，有一对同位角相等，即∠END＝∠EMB，那么AB与CD平行吗？过N作直线m平行于AB，则∠ENG＝∠EMB，由于∠END＝∠EMB，因此，∠ENG＝∠E ND，从而直线m与CD重合，因此CD∥AB。

判定方法1 两直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行。

3.说一说：在4.1节中，我们学习了一种画平行线的方法(如图)，你能说明这种画法的理由吗？三、精导：例1 如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＋∠2=180°，AB与CD平行吗？为什么？解：因为∠1+∠2 =180°，而∠3 是∠1的补角，即∠1+∠3=180°，所以∠2=∠3．所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．例2 如图，直线a， b被直线c，d所截，∠1=∠2，说明为什么∠4=∠5.解因为∠1=∠2(已知)，∠2=∠3 (对顶角相等)，所以∠1=∠3(等量代换)．所以a∥b(同位角相等，两直线平行)．因此∠4=∠5(两直线平行，同位角相等).四、提升：1. 如图，木工用角尺的一边紧靠木料边缘，另一边画两条直线a，b. 这两条直线平行吗？为什么？2. 我们已经知道“平行于同一条直线的两条直线平行”，你可以用判定两直线平行的基本事实来说明它的道理吗？教学反思：。

平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．类型二、平行的性质与判定综合应用6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°【巩固练习】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) A．① B．②和③ C．④ D．①和④2．（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151°C．116°D．97°3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )4．（2016•陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（）A．80°B．65°C．60°D．55°5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( )A．60° B．70° C．80° D．120°6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )A．55° B．30° C．65° D．70°二、填空题7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= _______．8. 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= ________度．9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．10．（2015•云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=．11．（2016春•冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号．①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°②因为∠1=∠2，所以AD∥BC③因为AD∥BC，所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．三.解答题13．如图，已知AB ∥CD ，MG 、NH 分别平分∠BMN 与∠CNM ，试说明NH ∥MG?14. 如图，a ∥b ∥c ，∠1＝60°，∠2＝36°，AP 平分∠BAC ，求∠PAQ 的度数．15．（2015春•晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】两直线平行−−−→←−−−性质判定角的关系. 2. 【答案】B ；【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B ．3. 【答案】B ；【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】D ；【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a ∥直线b ，∴∠4=∠5，∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．5. 【答案】B【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．6. 【答案】C；【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.二、填空题7.【答案】115°；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．8.【答案】36°；【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．故答案为：36．9.【答案】60；【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°.10．【答案】64°；【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：∠D+∠C＝180°.如图，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．11. 【答案】①②④【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥DC，此结论正确．故答案为①②④．12.【答案】15°；【解析】由图可知：∠APC＝∠BAP+∠PCD，即有45°+a＝60°-a+30°-a，解得：a＝15°.三、解答题13.【解析】证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)．∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)．∴∠MNH＝12∠MNC，∠NMG＝12∠BMN(角平分线定义)．∴∠MNH＝∠NMG，∴ NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．14.【解析】解：∵a∥b∥c，∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，又AP平分∠BAC，∠BAP＝12×96°＝48°，∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．15.【解析】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠C OE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．。

八年级上册第七章平行线的证明【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1. 定义：一般地，用来说明一个名词也许一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.要点讲解：.〔1〕每个命题都由题设、结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项〔2〕正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.〔3〕公认的真命题叫做公义.(4) 经过证明的真命题称为定理.3. 证明 :在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点讲解：（1〕实验、观察、操作所得出的结论不用然都正确，必定推理论证后才能得出正确的结论．（2〕证明中的每一步推理都要有依照，不能够“想自然〞，这些依照能够是条件，学过的定义、根本领实、定理等 .（3〕判断一个命题是正确的，必定经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判断与性质1．平行线的判断判断方法1：同位角相等，两直线平行．判断方法2：内错角相等，两直线平行．判断方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点讲解：依照平行线的定义和平行公义的推论，平行线的判断方法还有：〔1〕平行线的定义：在同一平面内，若是两条直线没有交点〔不订交〕，那么两直线平行.〔2〕若是两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行〔平行线的传达性〕.（3〕在同一平面内，垂直于同素来线的两条直线平行.（4〕平行公义：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补 .要点讲解：依照平行线的定义和平行公义的推论，平行线的性质还有：（1〕假设两条直线平行，那么这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2〕若是一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°．推论：〔 1〕三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2〕三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点讲解：〔1〕由一个公义或定理直接推出的真命题，叫做这个公义或定理的推论. 〔 2〕推论能够当作定理使用.基础训练一、选择题1. 以下语句中，是命题的是 ( ). A. 作线段 AB=CD B.在线段 AB 上任取一点C. 作∠ A 的均分线 AMD.两个锐角的和大于直角2. 以下命题中，属于定义的是 ( ). A. 两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度C. 两直线平行，内错角相等D. 同角或等角的余角相等3. 以下命题中，是真命题的是 ( ). A. 同位角相等 B.同位角相等，两直线平行C. 互补的两角必然有一条公共边D. 一个角的余角大于这个角4. 以下命题中，假命题是 ( ).A. 两条直线被第三条直线所截，假好像位角相等，那么这两条直线平行B. 两条直线被第三条直线所截，假好像旁内角互补，那么这两条直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，若是内错角互补，那么这两条直线平行D. 若是两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5. 如图 1，能够获取 DE ∥BC 的条件是 ( ).图 1 图 2 图 3图 4 A. ∠ ACB ∠ BAC B.∠ ABC ∠ BAE ° = ; + =180C. ∠ ACB ∠ BADD. ∠ ACB ∠ BAD + =180; =6. 如图 2，若是∠ 1=∠2，那么下面结论正确的选项是 ( ).A. AD ∥BCB. AB ∥CDC. ∠ ∠ 4D. ∠ A ∠C3==7. 如图B °，∠ DEC°，∠ EDB °，那么∠C 等于().3，∠ =75=100=105°°°°8. 如图4， AB ∥CD ，∠ A°，∠ C°，那么∠ E 的度数是( ).=25 =45° ° °°9. 如图 5，直线 l 1∥l 2 ，AF ∶ FB=2∶ 3， BC ∶CD=2∶1，那么 AE ∶EC 是 图 5〔〕.∶2∶ 1∶ 1∶2AE10. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 订交于点 G ，ED为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F ，连接 FD ，假设∠ BFAF=90°，那么以下四对三角形：①△ BEA 与△ ACD ；②△ FEDG与△ DEB ；③△ CFD 与△ ABC ；④△ ADF 与△ CFB 。