1质点的运动方程

大学物理答案第1～2章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 质点的运动1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：22cos ,sin x y x y dx dy v Rw wt v Rw wtdt dt v v v Rw==-==-∴=+=22222sin ,cos y x x y x y dv dv a Rw wt a Rw wtdt dt a a a Rw ====∴=+=sin ,(1cos )x R wt y R wt ==- 222()x y R R ∴+-=轨迹方程为质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω21－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则012132012221201112()0,2()/2()1122212v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=-=-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e kx .解：取汽艇行驶的方向为正方向，则0200,,ln v xv kxdv dx a kv v dt dt dv dv kvdt kdx v v dv kdx v vkx v v v e -==-=∴=-=-∴=-=-∴=⎰⎰ 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

第1章 质点运动学习题解答1-9 质点运动学方程为k j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。

所以，位移大小：︒==∆∆=︒==∆∆=︒=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos ||arccos z 45)22arccos(||arccos y 135)22arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r zr y r x y x rγβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与1-10 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。

⑵kt j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴kj t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-== jR a k i R v iR a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ˆ|,ˆ2ˆ|,ˆ|,ˆ2ˆ|.ˆsin ˆcos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵kt j dt v d a k t j t i dt r d v ˆ36ˆ9/,ˆ18ˆ9ˆ3/2+-==+-== ； kj a k j i v j a i v t t t t ˆ36ˆ9|,ˆ18ˆ9ˆ3|,ˆ9|,ˆ3|1100+-=+-=-======1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,1-13图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度 dt dx v /=，在x-t 图像中为曲线斜率。

第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。

§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。

1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。

质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。

位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。

2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。

方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。

由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。

解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。

二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。

)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。

第1章 质点运动学 习题及答案一、填空题1.一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为335x t t =-+,则质点在任一时刻的速度为 ，加速度为 。

2.一质点沿Ox 轴运动，其运动方程为335x t t =+-，则质点在2t s =时的加速度大小为 ，方向为 。

3. 一质点沿Ox 轴运动，其速度为22t υ=，初始时刻位于原点，则质点在2t s =时的位置坐标x = ,加速度大小为 。

4.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2-=，在t=0 时，,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，则此质点的运动方程是 。

5．一质点的运动学方程为cos sin R t R t =+r i j ，在任意时刻，切向加速度和法向加速度的大小分别为 ， 。

6．质点作圆周运动的法向加速度反映了 的变化快慢，切线加速度反映了 的变化快慢。

7.一质点沿半径为R 的圆周按规律221bt t s o -=υ而运动, o υ,b 都是常数. t 时刻质点的总加速度为 ; t 为 时总加速度在数值上等于b ，当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了 圈。

二、回答问题1．｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? td d v 和dv dt 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ∆｜与r ∆ 不同. ｜r ∆｜表示质点运动位移的大小,而r ∆则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. td d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. td d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.三、计算题1．一物体做直线运动，运动方程为2362x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。

第一章 质点运动学1-1 质点作直线运动，运动方程为2612t t x -=其中t 以s 为单位,x 以m 为单位,求：（1）t = 4s 时，质点的位置、速度和加速度；（2）质点通过原点时的速度；（3）质点速度为零时的位置；(4)作出x -t 图，v -t 图和a -t 图.分析解 （1）根据直线运动情况下的定义，可得质点的位矢、速度和加速度分别为2612t t x -= (1)t tx 1212d d -==v (2) 12d d 22-==tx a (3) 当t = 4s 时，代入数字后得m 48m 46m 4122-=⨯-⨯=xm/s -36m/s 412m/s 12=⨯-=v2m/s 12-=a（2）当质点通过原点时，位矢0=x ，代入运动方程，得06122=-t t因此可得质点通过原点的时间分别为01=t ，s 22=t ，代入（2）式后得m/s 121=v ，m/s 122-=v（3）将0=v 代入（2）式，得01212=-t即质点速度为零时s 1=t ，代入（1）式，得其位置为m 6m 16-m 12=⨯=x（4）根据（1）、（2）和（3）式，描述该质点运动的x -t 图，v -t 图和a -t 图如图1-1所示．1-2 一质点在xy 平面内运动,在某一时刻它的位置矢量)54(j i r +-=m ，经5Δ=t s 后，其位移)86(Δj i r -=m ，求：(1)此时刻的位矢；(2)在Δt 时间内质点图1-1的平均速度．(i 、j 分别为x 、y 方向的单位矢．)分析解 （1）据题意，在t t ∆+时刻，该质点的位矢为m 32m )8-(6m )54(1)(j i j i j i r r r -=++-=∆+=（2）在Δt 时间内质点的平均速度为m/s )1.6-(1.2m/s 586j i j i r v =-=∆∆=t 1-3 质点在xy 平面上运动，运动方程为t y t x 4sin ,4cos 3ππ== 其中t 以s 为单位,x ,y 以m 为单位．（1）求质点运动轨道的正交坐标方程并在xy 平面上绘出质点的轨道；（2）求出质点的速度和加速度表示式，由此求出质点在轨道上运动的方向并证明质点的加速度指向坐标原点；（3）求t = 1 s 时质点的位置和速度与加速度的大小和方向．分析解 （1）质点的运动方程为 t x 43πcos = (1) t y 4πsin = (2) （1）式两边同乘以3并平方后与（2）式的平方相加，得正交坐标方程为 1322=+y x 上式表明质点的运动轨道是一个椭圆，如图1-2所示．（2）由（1）和（2）式可得质点速度和加速度的x ,y 方向分量分别为t t x 443d d ππsin -==x v (3) t t y 44d d ππcos ==y v (4) t t a x 4163d d 2ππcos -==x v (5) t t a y 416d d 2ππsin -==yv (6)则质点速度为 j i v t t 44443ππππcos sin +-= 当t =0时，由运动方程（1）和（2）式，得知质点位于横坐标上3的位置，图1-2由（3）和（4）式，知040>==πy x v v ,，即表明质点在椭圆上沿反时针方向运动． 质点加速度为 j i a 2t t 41641632ππππsin cos --= 由（1）和（2）式得t 时刻质点的位矢为j i r t t 44ππsin cos += (7) 位矢r 与x 轴的夹角ϕ由下式确定：t x y 433πϕtan tan == 而加速度a 与x 轴的夹角α则由下式确定：t a a x y433παtan tan == 即有ϕαtan tan =，注意到在曲线运动中加速度始终指向曲线凹的一侧，则得πϕα+=，表明a 与r 方向相反，指向原点，如图1-2所示．（3）当t = 1 s 时，由（1）--（2）式得m 26=x m 22=y m/s 86π-=x v m/s 82π=y v 22m/s 326π-=x a 22m/s 322π-=y a 速度的大小 m/s 42π=+=2y 2xv v v 速度v 与x 轴的夹角θ则由下式确定：33-==x yv v θtan 注意到此时v x <0，v y >0，则 πθ6533=-=)a r c t a n (． 加速度的大小 22m/s 162π=+=2y 2x a a a对于夹角α有 33==x ya a αtan 又因a x <0，a y <0，则 πα6733==)a r c t a n (． 1-4 质点沿直线运动，其速度2323++=t t v ，如果t = 2时，x = 4，求t = 3时质点的位置、速度和加速度．（其中v 以m/s 为单位，t 以s 为单位,x 以m 为单位）分析解 速度表示式对t 积分，得034241d x t t t t x +++==⎰v 将t = 2 s 时，x = 4 m 代入上式，得积分常数120-=x m ，则1224134-++=t t t x 速度表示式对t 求导数，得t t ta 63d d 2+==v 因此t = 3 s 时质点的位置、速度和加速度分别为m 2541m 12m 32m 3m 34134.=-⨯++⨯=x m/s 56m/s 2m/s 33m/s 323=+⨯+=v2222m/s 45m/s 36m/s 33=⨯+⨯=a1-5 质点沿直线运动，加速度24t a -=，如果当t = 3时，x = 9，v = 2，求质点的运动方程．（其中a 以m/s 2为单位，t 以s 为单位,x 以m 为单位，v 以m/s 为单位）分析解 加速度表示式对t 积分，得03431d v v ++-==⎰t t t a 0242121d x t t t t x +++-==⎰0v v 将t =3 s 时，x = 9 m ，v = 2 m/s 代入以上二式，得积分常数m/s 10-=v ,7500.=x m ，则14313-+-=t t v 750212124.+-+-=t t t x 1-6 质点以不变的速率5m/s 运动，速度的方向与x 轴间夹角等于t 弧度（t为时间的数值），当t = 0时，x = 0，y = 5m ，求质点的运动方程及轨道的正交坐标方程，并在xy 平面上描画出它的轨道．分析解 设质点的速率为v ，与x 轴间夹角为t 弧度，则速度的分量为t t x x cos v v ==d d t ty y s i n v v ==d d 以上两式分别积分，得1C t x +=sin v 2C t y +-=c o s v初始条件为t = 0时，x = 0，y = 5m ，代入以上两式后，得01=C m 102=C因此运动方程为t x sin 5= 105+-=t y cos从中消去t ，得质点运动轨道的正交坐标方程为251022=-+)(y x这是圆心在y 轴上10m 处的圆，半径为5m ，如图1-3所示．1-7 在离水面高度为h 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，人以0v 的速率收绳，求当船离岸边的距离为s 时，船的速度和加速度．分析解 选如图1-4所示的直角坐标系，设t 时刻绳长为l ，船的速度为v ，则此时船的x ，y 方向坐标分别为22h l x -= h y =由速度定义得0d d d d ===th t y y v t l hl l t x d d d d 22-===x v v图1-3 图1-4因绳长l 随时间减小的速率等于人的收绳速率，即0d d v =-tl ，则当s x =时，船的速度为022022v v v s h s h l l+-=--= 其中负号表明船的速度方向沿x 轴的负向．又由加速度的定义得0d d ==t a yy v2023222022d d d d v v v x )(h l h h l l t t a a x --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=== 当s x =时，加速度为 2032v sh a -= 其中负号表明船的加速度方向也沿x 轴的负向，且船作变加速直线运动．1-8 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成正比，即2v k a -=，其中k 为常量．若物体不受其它力作用沿x 方向运动，通过原点时的速度为0v ，试证明在此后的任意位置x 处其速度为x k -=e 0v v分析证 根据加速度的定义，得2v v k a t-==d d 因 tt x x t a d d d d d d d d v v v v ===，代入上式，整理后得 x d d 1-k v v= 应用初始条件0=x 时，0v v =，上式两边分别对v 和x 积分⎰⎰-=x x 0d d 10k v v vv 得 kx -=0v v ln 即有 x k -=e 0v v1-9 一支气枪竖直向上发射，发射速度为29.4m /s ，若发射两粒子弹的间隔时间为4s ，求二子弹将在距发射点多高的地方彼此相遇？分析解 以发射点为原点，竖直向上为y 坐标正向，第一粒子弹发射后的t 时刻，其位置为20121gt t y -=v (1) 其中0v 为发射速度，第二粒子弹此时（设4>t s ）的位置为2024214)()(---=t g t y v (2) 当二子弹相遇时，21y y =，由（1）和（2）式得s 5s 2s 8942920=+=+=..g t v 将上式代入（1）式，得m 524m 58921m 5429212201...=⨯⨯-⨯=-=gt t y v 1-10 A 车通过某加油站后其行驶路程x 与时间t 的关系可以表示为24.02t t x +=（其中t 以s 为单位,x 以m 为单位）在A 车离开10 s 后B 车通过该加油站时速度为12 m/s ，且具有与A 车相同的加速度．求：（1）B 车离开加油站后追上A 车所需时间；（2）两车相遇时各自的速度．分析解 （1）令B 车通过该加油站时0=t ，则A 车的运动方程为2A 1040102)(.)(+++=t t xB 车的运动方程为2B 4012t t x .+=两车相遇时有B A x x =，由以上两式得2240121040102t t t t .)(.)(+=+++解得 s 30=t（2）根据速度的定义，相遇时两车速度分别为m/s 3410802d d A A =+⨯+==)(.t tx v m/s 368012d d B B =+==t tx .v 1-11 一升降机以加速度1.22m /s 2上升，当上升速度为2.44m /s 时，有一螺帽自升降机的天花板松落，天花板与升降机底面相距2.74m ，计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离． 分析解 （1）以升降机外固定柱子为参考系，竖直向上为y 坐标正向，螺帽松落时升降机底面位置为原点．螺帽松落后从m 7420.=y 处以初速度m /s4420.=v 作竖直上抛运动，升降机底面则从原点以同样的初速度作向上的加速运动，加速度2m/s 221.=a ，它们的运动方程分别为螺帽： 200121gt t y y -+=v 底面： 20221at t y +=v 螺帽落到底面上时，21y y =，由以上两式可得s 0.705s 22189742220=+⨯=+=...a g y t （2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为m 7150m 70508921m 7050442 2122010.....=⨯⨯+⨯-=+-=-=gt t y y s v 1-12 一小球自h = 4.9m 处落到一倾角θ= 45°的斜面上，设小球与斜面碰撞后速率不变，方向如图所示．求小球第二次与斜面碰撞时，离第一次碰撞处的距离L 为若干? 分析 解 以小球与斜面第一次相撞点为原点取直角坐标系如图1-5所示．第一次相撞后小球作平抛运动，初速度为0v ．此前，小球为自由落体，因此有 gh 20=v小球作平抛运动的运动方程为t x 0v = 221gt y = 由于斜面倾角θ= 45°，当小球第二次碰到斜面时，应有y x =，则由以上二式解得 gt 02v =两次碰撞点之间的距离为m 27.7m 459444200=︒⨯=====sin .sin sin sin sin θθθθh g t x L 2v v 1-13 消防队员用水龙头喷射10 m 外的着火竖墙，水龙头每分钟喷水量为图1-5280 kg ，水喷出时速度为26 m/s ，与地面交角为45º。

第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v(C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ r ,即｜v ｜≠v ．但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；td d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；tr d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而td d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -5 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =tx 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由0d d =tx 得知质点的换向时刻为 s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -6 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为2412x y -= 这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x 其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图1 -7 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==t a x x v , 2s m 40d d -⋅-==ta y y v 则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则 32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -9 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ．在t ＝0时,其速度为零,位置矢量r 0 ＝10 m i ．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．题 1-11 图分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t )．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 ＝0时v 0 ＝0,积分可得⎰⎰⎰+==t t t t 000)d 46(d d j i a v v j i t t 46+=v 又由td d r =v 及初始条件t ＝0 时,r 0＝(10 m)i ,积分可得 ⎰⎰⎰+==tt rr t t t t 00)d 46(d d 0j i r v j i r 222)310(t t ++=由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t 2y ＝2t 2消去参数t ,可得运动的轨迹方程3y ＝2x -20 m 这是一个直线方程．直线斜率32tan d d ===αx y k ,α＝33°41′．轨迹如图所示．1 -12 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0t i ＋(19.0 -2.0t 2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t 1＝1.0s 到t 2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t 1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x (t )和y ＝y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度td d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ． 解 (1) 由参数方程x ＝2.0t , y ＝19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 ＝1.00ｓ 到t 2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度j i r r 0.60.2ΔΔ1212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 j i j i j i t t y t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 22222s m 0.4d d d d )(-⋅-=+=ty t x t 则t 1 ＝1.00ｓ时的速度v (t )｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为t t y x t t t tt e e e a 222s 1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为122s m 47.4-⋅=+=y x v v v则m 17.112==n a ρv。