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控制系统的数学模例题精解

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第二章控制系统的数学模型习题及答案

第二章控制系统的数学模型习题及答案

第二章控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。

其中电压u r（t）和位移x（t）为输入量；电压u c（t）和位移y（t）为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为解：（a）应用复数阻抗概念可写出R i丄U r(s) c il(s) U c (s)R i cs(i )I(s)Uc(s)R2(2)2-2 试证明下图所示的力学系统（a）和电路系统（b）是相似系统（即有相同形式的数学模型）联立式（I）、（2），可解得:U c(s) R2(i R i Cs)U r (s) R i R2 R i R2CS微分方程为du c R R2du r1"dT CRR2Uc IT cR1Ur（b）如图解2-1（b）所示，取A,B两点分别进行受力分析。

对A点有k i(x x i) dy) （i）对B点有k2y (2)联立式（1）、（2）可得:dy k i k? k i dxdt f (k i k2)y k i k2 dt上1（蛊_尙）A B解：(a)取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解所示。

对A 点有k 2(x y)f 2(x y)f i (y y i ) (1)对B 点有f i ( y y i ) k i y i(2)对式(i )、(2)分别取拉氏变换，消去中间变量 y i ，整理后得(b)由图可写出U c (s)整理得如果设R i k i ,R 2 i k 2,C i f i ,C 2 f 2,则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

U c (s)。

U r (s)Y(s) 口2s 2 I f f " k i k ?k i k ?(一 -)s i f i f 2s 2(f i k 2 f 2k i)sk ikX(s)(f if k ik 2护1f 2k if 2k 2)s k ikU r (s)R 2iC 2sR ii C i S i C isU c (s) U r (s)R iR 2C iC 2s 2(R i C iR 2C 2)s i2R iR 2C iC 2s(R i CiR 2C 2R-i C 2)s i比较两系统的传递函数,2-3 求下图所示各有源网络的传递函数(f i k 2位脉冲响应和传递函数。

拉普拉斯变换 例题解析

拉普拉斯变换 例题解析

2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )

第二章控制系统的数学模型例题全

第二章控制系统的数学模型例题全

L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型 例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3

第二章 控制系统的数学模型习题讲解

第二章 控制系统的数学模型习题讲解

X o(s) G3 G3 = = G2 H2 Xi 2 (s) 1+ G G (G H + H2 ) 1+ G3 (G1H1 + ) 3 4 1 1 G2 1+ G2H3 G2
X o(s) G3 (1+ G2H3 ) = Xi 2 (s) 1+ G2H3 + G3H2 + G1G2G3H1
证明题图2 13中(a)与(b)表示的系统是 2－13 证明题图2－13中(a)与(b)表示的系统是 相似系统（ 相似系统（即证明两个系统的传递函数具有相似 的形式）。 的形式）。
H2 Xi (s) G1
G2
A
Xo (s) G3
H1 G4
-
06-7-20
控制工程基础
11
G5 (s) H2 Xi (s) G1
G7 (s) G6 (s)
G2
A
Xo (s) G3
H1 H1 G4
1 G3
-
G2 G5G3 G2G3 G5 = G6 = = 1 + G2 H1 1 + G5G3 H 2 1 + G2 H1 + G2G3 H 2
a2 = [F (s)(s +1) ] s=−1 = −1 d 2 a1 = [F (s)(s +1) ] s=−1 = 2 ds a3 = [F (s)(s + 2)] s=−2 = −2
2
f (t ) = ( − t • e + 2 • e − 2 • e
06-7-20 控制工程基础
−t
−t
−2 t
6
π
s
06-7-20
2 5 9•e = + +2+ 2 2 s + 20 ( s + 20 ) s +9

控制系统的设计习题解答(精).docx

控制系统的设计习题解答(精).docx

第6章控制系统的设计6.1学习要点1控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式;2各种校正方法、方式的特点和适用性；3各种校正方法、方式的一般步骤。

6.2思考与习题祥解题6.1校正有哪些方法？各有何特点？答：控制系统校正有根轨迹方法和频率特性方法。

根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为开环放大系数）从零变化到无穷大时，如何根据开环零极点的位置确定全部闭环极点的位置。

因此，根轨迹校正方法是根据系统给定的动态性能指标确定主导极点位置，通过适当配置开环零极点，改变根轨迹走向与分布，使其通过期望的主导极点，从而满足系统性能要求。

频率特性是系统或元件对不同频率正弦输入信号的响应特性。

频域特性简明地表示出了系统各参数对动态特性的影响以及系统对噪声和参数变化的敏感程度。

因此，频率特性校正方法是根据系统性能要求，通过适当增加校正环节改变频率特性形状，使其具有合适的高频、中频、低频特性和稳定裕量，以得到满意的闭环品质。

由于波德图能比较直观的表示改变放大系数和其他参数对频率特性的影响，所以，在用频率法进行校正时，常常采用波德图方法。

系统校正要求通常是由使用单位和被控对象的设计单位以性能指标的形式提出。

性能指标主要有时域和频域两种提法。

针对时域性能指标，通常用根轨迹法比较方便；针对频域性能指标，用频率法更为直接。

根轨迹法是一种直接的方法，常以超调量3% 和调节时间匚作为指标来校正系统。

频域法是一种间接的方法，常以相位裕量和速度误差系数作为指标来校正系统。

题6. 2校正有哪些方式？各有何特点？答：校正有串联校正方式和反馈校正方式。

校正装置串联在系统前向通道中的连接方式称为串联校正。

校正装置接在系统的局部反馈通道中的连接方式称为反馈校正。

如图6.1所示。

图6.1串联校正和反馈校正串联校正方式因其实现简单而最为常见。

反馈校正除能获得串联校正类似的校正效果外，还具有串联校正所不具备的特点：(1)在局部反馈校正中，信号从高能级被引向低能级，因此不需要经过放大；⑵能消除外界扰动或反馈环内部系统参数波动对系统控制性能的影响，提供系统更好的抗干扰能力。

第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型

= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )

自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型

dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia (t)

Ea (t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt

fmm (t)

Mm

MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t

L1 U C
S


L1
S
2
1 S
1
1 S

S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)

自动控制原理第二章-控制系统的数学模型1

2
零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零
在零初始条件下，
dn f (t)
L
dtn
snF(s)
4.积分定理：
L[
f
(t)dt]1F(s) s
5.初值定理：假设函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，那么函数 f(t) 的初值为
f(0 )tl 0 im f(t)ls i s m ( F s)
c1 3et (s1) 4
c3ls i0m ss(ss1)2(2s3)3 2
c4sl i3(m s3)s(ss1) 2(2s3)112
f(t)21e t(t3)1e 3 t
32
2 12
c3 2 s3
c4 1 e3t (s3) 12
9
第二章 控制系统的数学模型
2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2 传递函数 2-3 控制系统的结构图及其等效变换
cr sl ism 1(ss1)rF(s)
cr1sl ism 1dd[ss(s1)rF(s)]
crj 1j!sl im s1dd(jjs)[s(s1)rF(s)]
c1(r 11)s!l is1 m d d(rr s1 1 )[s(s1)rF(s)]
其余各极点的留数确定方法与上同。
8
例2 求 F(s) s2 的原函数 f (t ) s(s1)2(s3)
c 1s l i1 (m s 1 )F (s)s l i1 (m s 1 )(s (s 1 ) s 2 ( )3 )
12 13
1 2
c2sl im 3(s3)F(s)1 2
f(t)1(et e3t)
2
7
◆F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s ) ( s c r s 1 ) r ( s c r s 1 1 ) r 1 ( s c 1 s 1 ) ( s c r s r 1 1 ) ( s c n s n )

自动控制系统的数学模型习题答案

习题2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中1u 、2u 为输入、输出电压。

答：（a ）设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得dt C i R i u ⎰+=12111 -------------------（1）22312u R i dt C i +=⎰ --------------------（2） dt C i u ⎰=232 -------------------（3） 321i i i += --------------------（4）将（3）整理得： 223'u C i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得222212'u u C R dt C i +=⎰ ---------------------（6）即 2122212'"u C u R C C i += ---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得=+=⎰dt C i R i u 121112222132')(u u C R R i i +++ (a(b)图2-40 习题2-1用图2222122212221')''"(u u R C R u C u C u R C C ++++=即1222222121122211'''"u u u C R u C R u C R u C R C R =++++设111C R T =，222C R T =，213C R T =，则122321221')("u u u T T T u T T =++++（b ）设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得 2111'Li R i u += -------------------（1） 2232'u R i Li += --------------------（2）dt C iu ⎰=32 -------------------（3）321i i i += --------------------（4）将（3）变形得： 23'Cu i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得2222''u Cu R Li += ---------------------（6）即 ⎰+=dt u Lu L C R i 22221---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得=+=2111'Li R i u 222132')(u Cu R R i i +++22212222')'1(u Cu R R Cu dt u Lu L C R ++++=⎰ ------（8） 对（8）两边求导，整理得121221221'')1(")(u u LRu C R L R u C R C R =++++设C R T 11=，C R T 22=，13R LT =，则有 123232221'1')1(")(u u T u T T u T T =++++ 或者为1322322321'')(")(u T u u T T u T T T =++++2-2 、设机械系统如图2-41所示，图中r θ、c θ为输入、输出角位移（角度），试列写该机械系统的微分方程。

第二章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立如图所示系统的微分方程。

其中外力F(t)为输入量；位移y(t)为输出量；k为弹性系数，f为阻尼系数，质量为m。

解：以平衡状态为基点（不考虑重力影响），对m进行受力分析，根据牛顿定理可写出整理得。

2-2 求如图所示有源网络的传递函数Uc(s)/Ur(s)。

解：。

2-3.试求题如图所示控制系统的传递函数：，，，。

解：求得传递函数如下：。

2-3 计算如图所示RC网络的传递函数G(s)=Uc(s)/Ur(s)。

解：由图可写出（1）（2）（3）联立式（1）、（2）、（3），消去中间变量可得微分方程为。

2-4.试用梅逊公式求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。

解：信号流图；；；；；；；；。

(可以用方框图简化方法进行验证)2-5.试用梅逊公式求图示系统的传递函数C(s)/R(s)。

[答案]2-6 试用梅逊增益公式求下图系统信号流图的传递函数x5/x1。

[答案]2-7 系统结构图如图所示，试求闭环传递函数。

解：经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数。

2-8 已知控制系统结构图如图所示，求输入r(t)=3* 1(t) 时系统的输出c(t)。

解：由图可得又有R(s)=3/s,因此。

2-9 试用梅逊增益公式求下图系统的闭环传递函数。

解：利用梅逊公式：,,,,,，，，,。

本章教材作业题：2-2（a）(c)、2-3、2-5（2）、2-7、2-11、2-13、2-14、2-17（a、c、e）、。

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R1C2 s
图2.7（d）
U r (s)
1 R1C1 R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
U C2 ( s )
图2.7（e）
例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得 的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。
解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗， A点为虚地，即UA ≈ 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2 则有
U r (s)
+
－
1 R1
I1 ( s )
I1 ( s )
+
－
1 U C1 ( s) C1s
U C1 ( s) U C1 ( s)
+
－
I 2 (s)
1 I 2 (s) R2
I 2 (s)
1 U C2 ( s ) C2 s
U C2 ( s )
图2.7（a）
U r (s)
+－
1 I1 ( s ) R1
Z i ( s ) R1
故
1 Z f ( s ) R2 Cs
G( s)
Zf Zi
Z f ( s) Z i ( s)

R2
1 Cs R2Cs 1 R1 R1Cs
R1 R2 C
i2
ui
ui
i1 +
uc
uc
+
图2.8 有源网络
图2.9 PI调节器
例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ （0）=0， χ （0）=3。
f
Ff FK1 FK 2 0
其中，Fƒ阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。 （3）写中间变量关系式
图2.1 机械位移系统
d ( y r y0 ) Ff f dt FK1 K1 ( y r y0 )
（4）消中间变量得
FK 2 K 2 y0
dy0 dyr f f K1 yr K1 y0 K 2 y0 dt dt
式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为
Байду номын сангаас
（2.1）
即
d 2 xA m H 2 dt
d2 m 2 ( x l sin ) H dt
（2.2）
摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为
即
d 2 yA m V mg 2 dt
d2 m 2 (l cos ) V mg dt
yA )
，于是
x A x l s in y A l cos
画出系统隔离体受力图如图2.5所示。
y
y l
x A
l cosθ o
θ
l l
x
θ
A V
mg P
u
l
o u
H
mg H
M
V
M
图2.4 倒立摆系统
图2.5 隔离体受力图
摆杆围绕中心A点转动方程为
d 2 J Vl sin Hl cos 2 dt
由上可写出特征式为
1 1 1 1 1 ( L1 L2 L3 ) L1 L2 1 R1C1s R2C2 s R2C1s R1C1 R2C2 s 2
前向通路只有一条
1 1 1 1 1 P 1 R1 C1s R2 C2 s R1 R2C1C2 s 2
d 2 J Vl Hl 2 dt d 2x d 2 m ml H 2 2 dt dt 0 V mg d 2x M uH 2 dt
用
d2 s2 2 dt
的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、
H、x得
( Ml
M m J ) s 2 ( M m) g u ml
例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。 解：（1）设输入量为作用力矩Mƒ，输 出为旋转角速度ω。 （2）列写运动方程式 Mƒ f ω
J
d J f M f dt
式中，fω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。 （3）整理成标准形为
图2.3 机械旋转系统
d J f M f dt
微分方程组为：
• • •
F
χ
ƒ 1 F2
i
R1
χ0
y
ei
• i1
i2 C1
•
i R2 C2
•
e0
•
•
（b） 图2.14 系统结构图
（ a ） 机械系统（b）电气系统
（a）
F F1 F2 f1 ( xi x0 ) k1 ( xi x0 ) F f 2 ( x0 y ) F k2 y
（5）化标准型
dy0 dyr T y0 T Kyr dt dt
式中， T
f K1 K 2
K1 为时间常数，单位（秒）； K K1 K 2
为传递
系数，无量纲。
例2.2 已知单摆系统的运动如图2.2所示。 （1）写出运动方程式；
θ l l
d dt d 2 dt 2
（2）求取线性化方程。
++
++
图2.12 系统结构图
解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。 （2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。 （3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。 （a） R（s） G1
++
G2
C（s）
++
（b）
R（s）
G1+1
G2
C（s）
++
（c）
R（s）
将微分算子还原后得
MJ J d 2 d ( Ml ) ( M m) g u 2 ml l dt dt
此为二阶线性化偏量微分方程。
例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求 传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
解： 在线性电路的计算中，引入了复 阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗 之间的关系满足广义的欧姆定律。即


1 I 2 ( s ) U C1 ( s ) U C2 ( s ) R2 1 U C2 ( s ) I 2 ( s ) C2 s
（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7


（a）、（b）。
（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。 （4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。
此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于ω= 二阶线性微分方程式 dθ ， 代入方程得 dt
d 2 d J f Mf 2 dt dt
例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是 稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力 u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程 式。 解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为( x A ,
dθ 为运动线速度。 dt
（4）消中间变量得运动方程式
d 2 d ml 2 l mg sin 0 dt dt
此方程为二阶非线性齐次方程。 （5）线性化。在θ=0附近，非线性函数sin θ≈ θ，故代入上式可得线性化方
程为
d 2 d ml 2 l mg 0 dt dt
G1G2+G2+1
C（s）
图2.13 系统结构图化简
例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示， 试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。
解：（1）列写 k1 图2.14 （a）所示 机械系统的运动方 F1 程，遵循以下原则： 并联元件的合力等 于两元件上的力相 ƒ 加，平行移动，位 2 移相同。串联元件 各元件受力相同， k2 总位移等于各元件 相对位移之和。
小车沿x轴方向运动方程式为
（2.3）
d 2x M uH 2 dt
（2.4）
方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和c o s θ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。
（3）当θ很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sin θ≈ θ，同理 可得到c o s θ ≈ 1。则方程式（2.1）~（2.4）可用线性化方程表示为
控制系统的数学模型
例题精解
例题精解
例2.1 弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 统的运动方程。 yr ƒ A · K2 y0 K1
解： （1）设输入为 y r ，输出为 y 0 ， 弹簧与阻尼器并联平行移动。 （2）列写原始方程式。由于无质 F 量，按受力平衡方程，各受力点任何时 刻均满足ΣF=0，则对于A点有
P P
独立回路有三个：
K
r

1 1 1 L1 R1 C1 s R1C1 s 1 1 1 L2 R2 C 2 s R2 C 2 s 1 1 1 L3 C1 s R2 R2C1s
回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则
1 L12 L1 L2 R1C1 R2C2 s 2
15 2 15 2 ( s 1.5) ( ) 2
2
反变换得时域解为
x (t ) 2
3 1.5t 15 e s in( t) 5 2