复变函数第3讲

z3 z2 等式说明： 等式说明： w2 w3
z1 − z 2 w1 − w 2
=
z3 − z 2 w3 − w 2
z1 − z 2 w1 − w 2 arg = arg z3 − z2 w3 − w2
所以表示二三角形相似！ 所以表示二三角形相似！
z → z0
lim f ( z ) = A， 或者 当z → z0时, f ( z ) → A。
注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数 从形式上来看， 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。 是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是 因为在复平面上，变量z趋于z 的方式有无穷多种， 因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。 从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点 跟二元函数的极限又有相似之处。 跟二元函数的极限又有相似之处。
z n − 1 = ( z − z1 )( z − z 2 )L ( z − z n )
然后呢？ 然后呢？
比较两端n-1次幂的系数！ 比较两端 次幂的系数！ 次幂的系数
由此还可看出， 由此还可看出，n 个根的乘积为 （-ห้องสมุดไป่ตู้)n+1
z1 − z 2 w1 − w 2 3. 分析 = 的几何意义 z3 − z2 w3 − w2 w1 z1
3.函数的极限 3.函数的极限 定义：设函数 定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于 在 的去心邻域内有定义， 任意给定的ε>0, 相应地总有 相应地总有δ>0存在，使得当 存在， 任意给定的 存在 使得当0<|z-z0|<δ时， 时 恒有|f(z)-A|<ε成立，则称 为f(z)当z趋向于Z0时的极限。 成立， 恒有 成立 则称A为 当 趋向于 时的极限。 记作： 记作：
本定理的证明可根据定理1立即得到 本定理的证明可根据定理 立即得到 由此， 由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题
例如：f ( z ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) + i sin( x + y ). 因实部、虚部皆为初等函数，在定义域内 连续，故此该复函数在相应的区域内处处连续。
1 例题2. 例题 函数 w = 把z平面上的曲线 平面上的曲线 z 映成w平面什么曲线 映成 平面什么曲线? 平面什么曲线
解：原象曲线的复方程为： 原象曲线的复方程为：
x =1
z = x + iy = 1 + iy
代入映射函数中，得到象曲线方程为： 代入映射函数中，得到象曲线方程为：
1 1 1 − iy w= = = , 记 2 z 1 + iy 1 + y
§5 复变函数的极限与连续性
1.复变函数的定义 复变函数的定义： 是一个复数集合,如果对于集合G 1.复变函数的定义：设G是一个复数集合,如果对于集合G中 的每一个数z,按照一定的法则，就有一个或几个复数w z,按照一定的法则 的每一个数z,按照一定的法则，就有一个或几个复数w与 之对应，那么就称复变数w是复变数z的函数， 之对应，那么就称复变数w是复变数z的函数，简称复变函 数。记作
4.函数的连续性 4.函数的连续性
定义：如果 lim f ( z ) = f ( z0 ), 则称 f ( z ) 在z0点连续。
z → z0
如果 f ( z ) 在区域 D内处处连续，我们说 f ( z )在 D内连续。
相关性质
定理 3. 记 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )，则f ( z )在 z0 =x0 +iy0处连续的充要条件是函数 u ( x, y )和v ( x, y )在( x0 , y0 )处连续。
于是， 于是，如果 平面上的点表示自变量z的值 用z平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示自变量 用另一平面（ 平面 上的点表示函数w的值 平面） 的值， 用另一平面（w平面）上的点表示函数 的值， 则函数w=f(z)就可以看作是从 平面上的点集 （定义值集合） 就可以看作是从z平面上的点集 则函数 就可以看作是从 平面上的点集G（定义值集合） 平面上的一个点G*集 函数值集合）映射（或变换）。 到w平面上的一个点 集（函数值集合）映射（或变换）。 平面上的一个点 例题1 例题1：考察 解：记原象点
2. 求 z n = 1的根，并证明所有根之 和为 0 的根，
解： z =
n
1=
n
cos 0 + i sin 0
共有n个 共有 个
0 + 2kπ 0 + 2 kπ = cos + i sin , n n
k = 0,1,L , n − 1
证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为： 证明根之和为 ，直接相加不方便，简单的方法为：
x → x0 y → y0
证明：注意到下面的关系式： u − u0 , v − v0 ≤ f ( z ) − A = (u − u0 ) 2 + (v − v0 ) 2 ≤ u − u0 + v − v0 则定理的证明就很容易了，在此省略。
定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为 两个二元实函数的极限问题， 两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已 经讨论过的问题。 经讨论过的问题。
即一个一元复变函数实际上对应于两个二元实变函数。 即一个一元复变函数实际上对应于两个二元实变函数。
如:
f ( z ) = z = ( x + iy )
3 3 2
3
= x 3 + 3 x 2iy + 3 x(iy ) 2 + (iy )3 = x − 3 xy + (3 x y − y )i
2 3
2、映射： 映射是现代数学中 、映射： 的一个常用 概念
相关性质
定理 1：设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0 , 则
z → z0
lim f ( z ) = A
x → x0 y → y0
lim u ( x, y ) = u0 , lim v( x, y ) = v0
根据定理2和定理 还可推得 根据定理 和定理3还可推得 和定理 定理4. 1)连续函数的和 连续函数的和、 定理4. 1)连续函数的和、差、积、商仍是连续函数 2)连续函数的复合函数还是连续函数 2)连续函数的复合函数还是连续函数 注
1. 所谓函数f ( z )在曲线c上z0处连续的意义是指
z → z0
lim f ( z ) = f ( z0 ), z ∈ c.
2. 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的 函数f(z)在曲线上是有界的。即存在正数M，在曲 在曲线上是有界的。即存在正数 ， 函数 在曲线上是有界的 线上恒有|f(z)|≤M。 。 线上恒有 3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、 3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、 因一般复数不能比较大小 最小值定理，介值定理不再成立。 最小值定理，介值定理不再成立。
w=z
2
的映射性质 ，则象点 则象点
z = re iθ
w=r e
2 i 2θ
因此，象点与原象点相比，模是原来的平方， 因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是 原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性： 原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性： 将顶点在原点的角形域映成角形域， 将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大 为二倍。 平面第一象限映成w平面一 为二倍。如：将z平面第一象限映成 平面一、二象限， 平面第一象限映成 平面一、二象限， 将单位圆映成单位圆。 将单位圆映成单位圆。
w = f (z )
几个名词：单值函数，多值函数，定义集合，函数值集合， 几个名词：单值函数，多值函数，定义集合，函数值集合， 定义域等。 定义域等。 注：若记
z = x + iy,
w = u + iv
则复变函数又可表示为： 则复变函数又可表示为：
w = f ( z ) = f ( x + iy ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )
定理 2. 如果 lim f ( z )=A, lim g ( z )=B, 则
z → z0 z → z0 z → z0 z → z0
lim [f (z) ± g (z)]=A ± B, lim[ f (z)g (z)]=AB,
f (z) A lim = ，( B ≠ 0) z → z 0 g (z) B
1 −y ,v = 则 u= 2 1+ y 1+ y2
w = u + iv
——这就是象曲线 这就是象曲线 的实参数方程。 的实参数方程。 这是一圆周
u 2 + v2 − u = 0 消去参数,得 消去参数 得
复变函数的的反函数： 复变函数的的反函数： 假定函数ｗ＝ 的定义集合为z平面上的集合 假定函数ｗ＝f(z)的定义集合为 平面上的集合 ， ｗ＝ 的定义集合为 平面上的集合G， 函数值集合为w平面上的集合 ，那么G*中的每一个点 函数值集合为 平面上的集合G*，那么 中的每一个点 平面上的集合 w必将对应着 中的一个（或几个）点。按照函数的定义， 必将对应着G中的一个 按照函数的定义， 必将对应着 中的一个（或几个） 上就确定了一个单值（ 在G*上就确定了一个单值（或多值）函数 上就确定了一个单值 或多值）函数z=g(w)，它称 ， 的反函数， 逆映射。 为w=f(z)的反函数，也称为映射 的反函数 也称为映射w=f(z)逆映射。 逆映射 显然，函数与其反函数之间有如下关系： 显然，函数与其反函数之间有如下关系： 对于任意w∈ ， 对于任意 ∈G*，有w=f [g(w)]； ； 当反函数为单值函数时， 当反函数为单值函数时，有 z=g[f(z)], z ∈G。 。 为了方便，我们以后不再区分函数与映射。 为了方便，我们以后不再区分函数与映射。如果映射 与其逆映射都是单值的，我们称此映射是一一对应的。 与其逆映射都是单值的，我们称此映射是一一对应的。