人教版 高中数学选修2-3 《1.2.1 排列的综合应用》知能检测及答案

⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题含解析⼈教版⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题（含解析⼈教版）⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题（含解析⼈教版）时间120分钟，满分150分。

⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．)1．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种[答案]B[解析]由题意，不同的放法共有C13C24＝18种．2．(2014四川理，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10[答案]C[解析]x3的系数就是(1＋x)6中的第三项的系数，即C26＝15.3．某展览会⼀周(七天)内要接待三所学校学⽣参观，每天只安排⼀所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观⼀天，则不同的安排⽅法的种数是() A．210B．50C．60D．120[答案]D[解析]⾸先安排甲学校，有6种参观⽅案，其余两所学校有A25种参观⽅案，根据分步计数原理，安排⽅法共6A25＝120(种)．故选D.4．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率() A．(2,4]B．(0,2] C．[－2,0)D．(－4,4][答案]C[解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．5．变量X与Y相对应的⼀组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U与V相对应的⼀组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表⽰变量Y与X之间的线性相关系数，r2表⽰变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1[答案]C[解析]画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r10，U与V是负相关，相关系数r20，故选C. 6．现安排甲、⼄、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每⼈从事翻译、导游、礼仪、司机四项⼯作之⼀，每项⼯作⾄少有⼀⼈参加．甲、⼄不会开车但能从事其他三项⼯作，丙、丁、戊都能胜任四项⼯作，则不同安排⽅案的种数是()A．152B．126C．90D．54[答案]B[解析]先安排司机：若有⼀⼈为司机，则共有C13C24A33＝108种⽅法，若司机有两⼈，此时共有C23A33＝18种⽅法，故共有126种不同的安排⽅案．7．设a＝0π(sinx＋cosx)dx，则⼆项式(ax－1x)6展开式中含x2项的系数是()A．192B．－192C．96D．－96[答案]B[解析]由题意知a＝2∴Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1x)r＝Cr626－r(－1)rx3－r ∴展开式中含x2项的系数是C1625(－1)＝－192.故选B. 8．给出下列实际问题：①⼀种药物对某种病的治愈率；②两种药物冶疗同⼀种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟⼈群是否与性别有关系；⑤⽹吧与青少年的犯罪是否有关系．其中，⽤独⽴性检验可以解决的问题有()A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤[答案]B[解析]独⽴性检验主要是对事件A、B是否有关系进⾏检验，主要涉及两种变量对同⼀种事物的影响，或者是两种变量在同⼀问题上体现的区别等．9．在⼀次独⽴性检验中，得出列联表如下：AA合计B2008001000B180a180＋a合计380800＋a1180＋a且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a 的可能值是()A．200B．720C．100D．180[答案]B[解析]A和B没有任何关系，也就是说，对应的⽐例aa ＋b和cc＋d基本相等，根据列联表可得2001000和180180＋a基本相等，检验可知，B满⾜条件．故选B. 10．从装有3个⿊球和3个⽩球(⼤⼩、形状相同)的盒⼦中随机摸出3个球，⽤ξ表⽰摸出的⿊球个数，则P(ξ≥2)的值为()A.110B．15C.12D．25[答案]C[解析]根据条件，摸出2个⿊球的概率为C23C13C36，摸出3个⿊球的概率为C33C36，故P(ξ≥2)＝C23C13C36＋C33C36＝12.故选C.11．甲、⼄、丙三位学⽣⽤计算机联⽹学习数学，每天上课后独⽴完成6道⾃我检测题，甲及格的概率为45，⼄及格的概率为35，丙极格的概率为710，三⼈各答⼀次，则三⼈中只有⼀⼈及格的概率为()A.320B．42135C.47250D．以上都不对[答案]C[解析]利⽤相互独⽴事件同时发⽣及互斥事件有⼀个发⽣的概率公式可得所求概率为：45×1－35×1－710＋1－45×35×1－710＋1－45×1－35×710＝47250.故选 C. 12．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4[答案]B[解析]解法1：(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的⼀次项为：C06C24(x)2＋C26(－x)2C04＋C16(－x)C14(x)＝6x＋15x －24x＝－3x，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.解法2：由于(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2的展开式中x的⼀次项为：C14(－x)C02＋C04C22(－x)2＝－4x＋x＝－3x，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.[答案]0[解析]本题主要考查⼆项展开式．a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.14．已知ξ的分布列为：ξ1234P14131614则D(ξ)等于____________．[答案]179144[解析]由已知可得E(ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，代⼊⽅差公式可得D(ξ)＝179144. 15．对于回归⽅程y＝4.75x＋2.57，当x＝28时，y的估计值是____________．[答案]135.57[解析]只需把x＝28代⼊⽅程即可，y＝4.75×28＋2.57＝135.57.16．某艺校在⼀天的6节课中随机安排语⽂、数学、外语三门⽂化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节⽂化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(⽤数字作答)．[答案]35[解析]本题考查了排列组合知识与概率的求解.6节课共有A66种排法，按要求共有三类排法，⼀类是⽂化课与艺术课相间排列，有A33A34种排法；第⼆类，艺术课、⽂化课三节连排，有2A33A33种排法；第三类，2节艺术课排在第⼀、⼆节或最后两节，有C23C12A22C13A33种排法，则满⾜条件的概率为A33A34＋2A33A33＋C23C12A22C13A33A66＝35.三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知x＋2xn的展开式中第五项的系数与第三项的系数⽐是101，求展开式中含x的项．[解析]T5＝C4n(x)n －42x4＝C4n24xn－122，T3＝C2n(x)n－22x2＝C2n22xn－62，所以C4n24C2n22＝101，即C4n22＝10C2n，化简得n2－5n－24＝0，所以n＝8或n＝－3(舍去)，所以Tr＋1＝Cr8(x)8－r2xr＝Cr82rx8－3r2，由题意：令8－3r2＝1，得r＝2.所以展开式中含x的项为第3项，T3＝C2822x＝112x.18．(本题满分12分)某电脑公司有6名产品推销员，其中5名的⼯作年限与年推销⾦额数据如下表：推销员编号12345⼯作年限x/年35679推销⾦额Y/万元23345(1)求年推销⾦额Y关于⼯作年限x的线性回归⽅程；(2)若第6名推销员的⼯作年限为11年，试估计他的年推销⾦额．[解析](1)设所求的线性回归⽅程为y^＝b^x＋a^，则b^＝i＝15 xi－x yi－y i＝15 xi－x 2＝1020＝0.5，a^＝y－b^x＝0.4.所以年推销⾦额Y关于⼯作年限x的线性回归⽅程为y^＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销⾦额为5.9万元．19．(本题满分12分)在对⼈们的休闲⽅式的⼀次调查中，共调查了124⼈，其中⼥性70⼈，男性54⼈．⼥性中有43⼈主要的休闲⽅式是看电视，另外27⼈主要的休闲⽅式是运动；男性中有21⼈主要的休闲⽅式是看电视，另外33⼈主要的休闲⽅式是运动．(1)根据以上数据建⽴⼀个2×2的列联表；(2)试问休闲⽅式是否与性别有关？[解析](1)2×2列联表为性别看电视运动合计⼥432770男213354总计6460124(2)由χ2计算公式得其观测值χ2＝124× 43×33－27×21 270×54×64×60≈6.201.因为6.201＞3.841，所以有95%的把握认为休闲⽅式与性别有关．20．(本题满分12分)某研究机构举⾏⼀次数学新课程研讨会，共邀请50名⼀线教师参加，使⽤不同版本教材的教师⼈数如表所⽰：版本⼈教A版⼈教B版苏教版北师⼤版⼈数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2⼈所使⽤版本相同的概率；(2)若随机选出2名使⽤⼈教版的教师发⾔，设使⽤⼈教A版的教师⼈数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解析](1)从50名教师中随机选出2名的⽅法数为C250＝1225.选出2⼈使⽤版本相同的⽅法数为C220＋C215＋C25＋C210＝350.故2⼈使⽤版本相同的概率为：P＝3501225＝27. (2)∵P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为ξ012P317601193811921.(本题满分12分)(2014陕西理，19)在⼀块耕地上种植⼀种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表⽰在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中⾄少有2季的利润不少于2000元的概率．[解析](1)设A表⽰事件“作物产量为300kg”，B表⽰事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P(X＝4000)＝P(A－)P(B－)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A－)P(B)＋P(A)P(B－)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表⽰事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独⽴，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C－1C2C3)＋P(C1C－2C3)＋P(C1C2C－3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中⾄少有2季的利润不少于2000元的概率为0．512＋0.384＝0.896.22．(本题满分14分)学校校园活动有这样⼀个游戏项⽬：甲箱⼦⾥装有3个⽩球、2个⿊球，⼄箱⼦⾥装有1个⽩球、2个⿊球，这些球除颜⾊外完全相同，每次游戏从这两个箱⼦⾥各随机摸出2个球，若摸出的⽩球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个⽩球的概率；②获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．[解析](1)①设“在1次游戏中摸出i个⽩球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝C23C25C12C23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.⼜P(A2)＝C23C25C22C23＋C13C12C25C12C23＝12，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝1－7102＝9100，P(X＝1)＝C127101－710＝2150，P(X＝2)＝7102＝49100.所以X的分布列是X012P9100215049100X的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.。

第一章计数原理1.2摆列与组合摆列第 2 课时摆列的综合应用A 级基础稳固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，假如A，B 一定相邻且()B 在A 的右侧，那么不一样的排法种数是A．6B．24C． 48D．120分析：把A，B视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，排法共有 A44＝24(种)．答案： B2．用数字 1，2，3，4，5 能够构成没有重复数字，而且比 20 000大的五位偶数共有 ()A．48 个B． 36 个C．24 个D．18 个分析：个位数字是 2 的有 3A33＝18(个 )，个位数字是 4 的有 3A33＝18(个)，所以共有 36 个．答案： B3．甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门同样的选法有()A．6种B．12 种C．24 种D．30种分析：第一甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有4 种方法；其次从节余 3 门中任选 2 门进行摆列，摆列方法有A23＝6(种 )．于是，甲、乙所选的课程中恰有 1 门同样的选法共有4×6＝24(种)．答案： C4．3 张卡片正反面分别标有数字 1 和 2，3 和 4，5 和 7，若将 3张卡片并列构成一个三位数，能够获得不一样的三位数的个数为() A．30 B．48 C．60 D ．96分析：“构成三位数”这件事，分 2 步达成：第 1 步，确立排在百位、十位、个位上的卡片，即为 3 个元素的一个全摆列A33；第 2 步，分别确立百位、十位、个位上的数字，各有 2 种方法．依据分步乘法计数原理，能够获得不一样的三位数有 A33×2×2× 2＝48(个)．答案： B5．生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只好从甲、乙两名工人中安排 1 人，第四道工序只好从甲、丙两名工人中安排 1 人，则不一样的安排方案共有()A．24 种B．36 种C．48 种D．72种分析：分类达成．第 1 类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道2 类，若甲不在第一工序，其他两道工序无穷制，有A24种排法；第道工序 (此时乙必定在第一道工序)，则第四道工序有 2 种排法，其他两道工序有 A24种排法，有 2A24种排法．由分加法数原理得，不一样的安排方案共有A42＋ 2A24＝36(种)．答案： B二、填空6．若把英“error”的字母序写了，可能出的共有 ________种．分析： A25－1＝19.答案： 197．把 5 件不一样品成一排，若品 A 与品 B 相，且品 A 与品 C 不相，不一样的法有 ________种．分析：先考品 A 与 B 相，把 A、B 作一个元素有 A44种方法，而 A、B 可交地点，所以法有 2A44＝48(种 )．又当 A、B 相又足 A、C 相，法有 2A3＝12(种)．3答案： 368．在全部无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大 2 的数共有 ________个．分析：千位数字比个位数字大 2，有 8 种可能，即 (2， 0)，(3，1)，⋯，(9，7)，前一个数千位数字，后一个数个位数字，其他两位无任何限制．所以共有8A28＝ 448(个)．答案： 448三、解答9．7 人站成一排．(1)甲、乙、丙排序必定，有多少种排法？(2)甲在乙的左 (不必定相 )有多少种不一样的排法？分析： (1)法一 7 人的全部摆列方法有A77种，此中甲、乙、丙的排序有 A 33种，又已知甲、乙、丙排序必定，7所以甲、乙、丙排序必定的排法共有A 73＝840(种)．A 3法二 (插空法 ) 7 人站定 7 个地点，只需把其他4 人排好，剩下的 3 个空位，甲、乙、丙就按他们的次序去站，只有一种站法，故排法有 A 47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左侧 ”的 7 人摆列数与 “甲在乙的右侧 ”的 7 人摆列数相等，而 7 人的摆列数恰巧是这两者之和， 所以知足条件的排法有12A 77＝2 520(种 )．10．一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前 4 个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解： (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个地点有A 52种排法，再将节余的3 个演唱节目，3 个舞蹈节目排在中间6 个地点上有A 66种排法，故共有不一样排法A 25A 66＝1 440(种)．(2)先不考虑摆列要求，有 A 88种摆列，此中前 4 个节目没有舞蹈节目的状况，可先从 5 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个地点， 然后将节余四个节目摆列在后四个地点，有 A 45A 44种排法，所从前四个节目要有舞蹈节目的排法有 A 88－A 45A 44＝37 440(种)．B 级能力提高1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实行6 个程序，其中程序 A 只好出此刻第一步或最后一步，程序B 和C 在实行时一定相邻，则试验次序的编排方法共有 ()A ．24 种B ．48 种C．96 种D．144 种分析：此题是一个分步计数问题，由题意知程序 A 只好出此刻第一步或最后一步，所以从第一个地点和最后一个地点中选一个地点排 A，编排方法有 A12＝2(种 )．由于程序 B 和 C 在实行时一定相邻，所以把 B 和 C 看作一个元素，同除 A 外的 3 个元素摆列，注意 B 和C之间有 2 种排法，即编排方法共有 A44A22＝48(种)．依据分步乘法计数原理知，编排方法共有 2×48＝96(种)，应选 C.答案： C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不一样的坐法种数为 ________．分析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不可以坐两端，可视作 5 个空位和 3 个人知足上述两要求的一个摆列，只需将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空中间即可．所以不一样坐法共有 A34＝24(种)．答案： 243．用 1，2，3，4， 5，6，7 排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数必定在奇数位上；(3)1 和 2 之间恰巧夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝ 1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A43种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有 A34A44＝576(个)．(3)1 和 2 的地点关系有A22种，在 1 和 2 之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数当作整体再和其他 4 个数进行摆列有A55种排法，所以共有A22A31A55＝ 720(个)．。

姓名，年级：时间：1．2.1 排列第二课时排列的综合应用填一填1。

排列数公式A错误!＝n(n－1）（n－2)…(n－m＋1）＝错误!（n，m∈N*，m≤n）A n n＝n·（n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外,我们规定0！＝1。

2．排列应用题的最基本的解法（1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象,先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列法．3．解简单的排列应用题的基本思想判一判判断(正确的打“√”，错误的打“×”）1．10个学生排队照相,则不同的站法有A错误!种．(√)2．从1,2,3，4四个数字中,任选两个做加法,其不同结果有A错误!种．(×)3．从1，2，3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有A错误!种．（√)4．从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得A错误!个不同的点的坐标．(√）5．平面上有5个点,任意三点不共线，最多可确定20条射线．（√）6．平面上有5个点,任意三点不共线，最多可确定10条直线．(√）7．从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有60种不同的送法．(√）8．从5种不同的书中买125种不同的送法．（×）想一想1.提示:第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步,在第一步的基础上,看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序,也即看当选出的元素位置发生变化时,结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数．2．有条件限制的排列问题经常用到的方法有哪些？提示：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、定序排列用除法、分排问题直接法．3．用0,1,2，3,4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的六位奇数?提示：法一：从特殊位置入手（直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位，有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A 错误!＝288（个）六位奇数．法二：从特殊元素入手（直接法）0不在两端有A14种排法,从1，3,5中任选一个排在个位有A错误!种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A错误!种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288(个)六位奇数．法三:排除法6个数字的全排列有A6，6个，0,2,4在个位上的六位数为3A5，5个，1，3，5在个位上，0在十万位上的六位数有3A错误!个，故满足条件的六位奇数共有A错误!－3A错误!－3A错误!＝288（个）．4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园．为安全起见,首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为________．提示：分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A2，2＝2种排法,②两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素，考虑其顺序有A错误!＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．思考感悟：练一练1.89×90×91×92×…×100可表示为( )A．A错误! B．A错误!C．A12，100 D．A错误!解析:89×90×91×92×…×100＝错误!＝错误!＝A错误!.答案：C2．从5本不同的书中选2本送给2名同学，共有________种不同的送法( )A．20 B．15C．10 D．5解析：从5本书选2本给2个人相当于从5个元素选出2个进行排列有A25＝20，故选A项．答案：A3．把2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封,有________种不同的投法．把2封信随意投入4个邮箱,有________种不同的投法．答案：12 164．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有多少种？解析：A6，6＝6×5×4×3×2×1＝720种．1。

课后训练一、选择题1．(2013北京朝阳模拟)12312!3!4!!n n -++++=…( ) A ．11n -！ B ．11n -！ C ．11n - D ．11n -2．已知224A 7A n n -=，则n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23．爱国主义电影《太行山上》在5个单位轮流上映，每一个单位放映一场，有( )种轮映次序．A ．25B ．120C ．55D ．544．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!5．某节假日，某校校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表，要求每一位领导值班一天，但校长甲与乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有( )种不同的安排方法．A ．240B ．264C ．336D ．4086．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1 205秒B ．1 200秒C ．1 195秒D ．1 190秒 二、填空题7．由0,1,3,5,7,9这六个数字可组成__________个没有重复数字的六位奇数．8．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园排法共有__________种．三、解答题9．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？10．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？参考答案1答案：A 解析：∵111(1)n n n n -=--！！！， ∴1231234n n -+++…+！！！！ ＝111111111223!3!4!(1)n n -+-+-++--…！！！！！＝1－1n ！．2答案：B 解析：由排列数公式得：n (n －1)＝7(n －4)·(n －5)，∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7，或n ＝103(舍)． 3答案：B 解析：由排列数的定义知，有55A ＝5×4×3×2×1＝120种轮映次序．4答案：C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．5答案：C 解析：(用排除法)6252522462525224A A A A A +A A A 336--=．6答案：C 解析：由题意知，共有55A ＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1 195秒．7答案：480 解析：0不能在首位，也不能在末位，有14A 种排法，其余的有55A 种排法，共有1545A A 480⋅=种．8答案：24 解析：分3步完成：第1步，将两位爸爸排在两端，有22A 种排法；第2步，将两个小孩看做一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置，有33A 种排法； 第3步，两个小孩之间有22A 种排法．所以这6个人的入园排法共有232232A A A 24⋅⋅=种．9解：由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有34A ＝24种．答案：∵总的排法数为55A ＝120种， ∴甲在乙的右边的排法数为551A 602=种． 10答案：解法一：依排第一节课的情形进行分类． ∵第一节排数学，第六节排体育的排法有44A 种； 第一节排数学，第六节不排体育的排法有1444A A ⨯种； 第一节不排数学，第六节排体育的排法有1444A A ⨯种； 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有2444A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同的排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法二：依数学课的排法进行分类．∵数学排在第一节，体育排在第六节的排法有44A 种； 数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有1444A A ⨯种； 数学不排第一节，体育排在第六节的排法有1444A A ⨯种； 数学、体育都不排在第一节和第六节的排法有2444A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法三：∵不考虑任何限制条件的排法有66A 种，其中数学在第六节有55A 种，体育在第一节有55A 种，但上面两种排法中都含有数学在第六节，体育在第一节的排法有44A 种．∴所求的不同的排法有654654A 2A +A 504-=种．答：一共有504种不同的排法．。

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

第二课时排列的综合应用内容标准学科素养1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.利用数字抽象加强数学建模授课提示：对应学生用书第8页[基础认识] 知识点一排列数公式知识梳理A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.知识点二排列应用问题知识梳理求排列应用题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是十分重要的．分类时，要注意各类之间不重复、不遗漏．分步时，要注意依次做完各个步骤后，事情才能完成．如果不符合条件的情况较少时，也可以采用排除法．解简单的排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事．[自我检测]1．已知A2n＝132，则n等于()A．11B．12C．13 D．14解析：A2n＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．答案：B2．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．解析：符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．答案：12授课提示：对应学生用书第9页探究一无限制条件的排列问题[阅读教材P18例3](1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？题型：无限制条件的排列问题方法步骤：(1)一种送法就是三本书的一个排列，故有A35＝60种不同的送法．(2)从5种书中买3本送给3名同学，应分三步完成，共有5×5×5＝125种．[例1](1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？[解析](1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60(种)．(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A312＝12×11×10＝1320种不同的获奖情况．方法技巧典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪探究1.从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，共能排成多少个没有重复数字的三位数．解析：从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，排成没有重复数字的三位数，就是从这四个元素中任取三个式子的排列，所以共有A34＝4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．探究二有限制条件的排列问题1．数字排列问题[阅读教材P19例4]用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？题型：数字排列问题方法步骤：(1)特殊元素优先法，分含0的三位数和不含0的三位数．含0的三位数共有A12A29＝144，不含0的三位数共有A39＝504，共有144＋504＝648.(2)特殊位置优先法，分两步：第一步，填百位有A19种，第二步，填个位和十位有A29种．共有A19·A29＝648.(3)间接法，A310－A29＝648.A29表示0在百位的三位数．[例2]用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个比1325大的四位数？[解析](1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：当0在个位时，有A35个；第二类：当2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个(A14种)，十位和百位从余下的数字中选(有A24种)，于是有A14·A24个；第三类：当4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类计数原理知，符合题意的四位偶数共有A35＋A14·A24＋A14·A24＝156(个)．(2)是5的倍数的五位数可分为两类：个位数字是0的五位数有A45个；个位数字是5的五位数有A14·A34个．故满足条件的五位数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有A14·A35个；第二类：形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类：形如134□，135□，共有A12·A13个．由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．方法技巧用分步排位的方法计算排列数，必须注意三个方面(1)在题设条件的限制下，根据哪些元素可取、哪些元素不可取，对每一步排位；(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；(3)若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算．2．排队问题[例3]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男生、女生各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男生、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．[解析](1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名即可，则共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2520种不同的排队方案．(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排有A66种方案，故共有N＝A13A66＝2160种不同的排队方案．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排有A55种方案，故共有N＝A22A55＝240种不同的排队方案．(4)(法一：直接分类法)按甲是否在最右端分两类．第1类，甲在最右端有N1＝A66种不同的排队方案；第2类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置可选，而其余全排，有N2＝A15A15A55种不同的排队方案．故共有N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3720种不同的排队方案．(法二：间接法)无限制条件的排列数共有A77种，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66种，甲在左端且乙在右端的排法有A55种，故共有N＝A77－2A66＋A55＝3720种不同的排队方案．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，将男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A 33A 44A 22＝288种不同的排队方案．(6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素并全排，故共有N ＝A 33A 55＝720种不同的排队方案．(7)即不相邻问题(插空法)，先排女生共有A 44种排法，男生在4个女生隔成的5个空当中进行排列，有A 35种排法，故共有N ＝A 44A 35＝1440种不同的排队方案．(8)对比(7)让女生插空，共有N ＝A 33A 44＝144种不同的排队方案．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3人全排，故共有N ＝A 25A 22A 44＝960种不同的排队方案．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N ＝A 77A 22＝2520种不同的排队方案． (11)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的1A 33，故共有N ＝A 77A 33＝840种不同的排队方案．(12)直接分步完成，共有A 37A 44＝5040种不同的排队方案． 方法技巧1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．2．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．3．在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有m ＋n 个元素排成一列，其中m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m ＋n 个元素排成一列，有A m ＋n m ＋n 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n 个元素的位置不动，把这m 个元素交换顺序，有A m m 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m ＋n m ＋n A m m种满足条件的不同排法． (2)逐一插空法，即m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m 个元素，只有一种排法，然后把剩下的n 个元素分类或分步插入由以上m 个元素形成的空隙中．跟踪探究2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数．(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)如果组成的四位数必须大于6500，那么这样的四位数有多少个？解析：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A 13种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A 36种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是A 13·A 36＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．(2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有A 36种不同的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有A 12·A 25种不同的排法．根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A 36＋A 12·A 25＝160.故这样的四位数有160个． 授课提示：对应学生用书第10页[课后小结]求解排列问题的主要方法：多种方法解决排列问题有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．审题视点：这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始考虑．解析：(1)(法一：元素分析法)先排甲有6种排法，其余有A88种排法，故共有6·A88＝241920种排法．(法二：位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920种排法．(法三：等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×6＝241920(种)．9(法四：间接法)共有A99－3·A88＝6A88＝241 920种排法．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10 080种排法．(3)(插空法)先排4名男生，有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880种排法．方法点睛 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法，我们用各种方法解决这个题的目的是：希望通过对本题的感悟，能掌握更多的解决这类问题的方法．2．元素分析法最基本，位置分析法对重要元素区别对待，间接法一般针对对立面比较容易求解的题目特别实用.。

绝密★启用前1.2.1排列一、选择题1．【题文】某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（）A．10种B．20种C．25种D．30种2．【题文】甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A．2种B．10种C．12种D．14种3．【题文】3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．3 B．12 C．34D．434．【题文】6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．725．【题文】甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A．10 B．16 C．20 D．246．【题文】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种7．【题文】如图，电路中共有个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A.12B.28C.54D.638．【题文】如图，一环形花坛分成,,,A B C D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题9．【题文】由1,2,3,4可以组成个没有重复数字的正整数．10．【题文】某校举办优质课比赛，决赛阶段共有6名教师参加．如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场，且最后一个出场的只能是甲或乙，则不同的出场方案共有种．11．【题文】8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有_______种．三、解答题12．【题文】求证：11A A Am m mn n nm-+-=.13．【题文】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.14．【题文】7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同的站法多少种．（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．1.2.1排列 参考答案及解析1. 【答案】B【解析】由枚举法得选择的3天中恰好有2天连续的情况有4+3+3+3+3+4=20种，故选B.考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有1624=种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有14216=-种. 考点：计数原理． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】每位学生都有4种报名方法，因此有4×4×4＝43种. 考点：分步计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】C【解析】先把乙和丙，丁和戊看作两个整体进行排列有332A 种，再考虑乙和丙，丁和戊排法得共有3223222A A A 48=种，故选C ．考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法. 考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】B【解析】可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有25A 20=种排法；第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有44A 24=种排法；第三步，2名老人之间的排列，有22A 2=种排法，最后三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法. 考点：排列及简单计数问题. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有2213-=种；支线c 中至少有一个电阻断路的情况有3217-=种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.故选D. 考点：分步计算原理. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】B【解析】按A B C D ---顺序种花，可分,A C 同色与不同色，有()431322=84⨯⨯⨯+⨯种.故选B.考点：排列与计数原理.【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】64【解析】组成的正整数可以是一位数、两位数、三位数和四位数，共分类，所有共有12344444A A A A 64+++=个不同的无重复数字的正整数.考点：分类计数原理与排列. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】96【解析】若甲或乙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，有2424A A 48=种，若丙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，故1424A A 48=种，根据分类计数原理，不同的安排方案共有48+48=96种. 考点：排列与计数原理的应用. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】30【解析】先将5次没命中的排列好共一种方法，将3次命中的分为2组，一组2次，一组一次共一种分法，将这两组插到5次没命中的6个空隙中共26A 6530=⨯=种，所以所求情形共2611A 30⨯⨯=种．考点：排列与计数原理． 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】见解析【解析】证明：∵A n +1m －A n m ＝()()1!1!n n m ++-－()!!n n m -＝()!!n n m -·111n n m +⎛⎫- ⎪+-⎝⎭＝()!!n n m -·1mn m +-＝m1A m n m -，∴11A A A m m m n n n m -+-=.考点：利用排列数公式证明恒等式. 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】（1）144（2）156（3）162【解析】（1）先排个位，再排首位，共有112344A A A 144⋅⋅=个．（2）以结尾的四位偶数有35A 个，以或结尾的四位偶数有112244A A A ⋅⋅个，则共有31125244A A A A 156+⋅⋅=个．（3）45、作千位时有352A 个；作千位，245、、作百位时有243A 个；作千位，作百位时有132A 个，所以共有3215432A 3A 2A 162++=个．考点：排列数公式的应用． 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）1440 （2）144 （3）420 （4）2112【解析】（1）2名女生站在一起有22A 种站法，视为一个元素与其余5人全排，有66A 种排法，∴有不同站法2626A A ＝1440种．（2）先站老师和女生，有33A 种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插男生，每空一人，有插入方法44A 种，∴共有不同站法3434A A ＝144种．（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有44A 种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法420种．（4）中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有115245A A A 种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，有214444A A A 种站法．∴共有不同站法115245A A A ＋214444A A A ＝960＋1 152＝2 112种．考点：排列、简单计数问题. 【题型】解答题 【难度】较难。