2.2.2对数函数及其性质第一课时

2.2.2 对数函数及其性质（一）学习目标1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点) 基础·初探教材整理1 对数函数的概念 阅读教材，完成下列问题．对数函数：一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 ．练一练1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1log 2x是对数函数．( ) (2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 教材整理2 对数函数的图象和性质 阅读教材，完成下列问题．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：定义域：练一练2.（1）函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________． （2）函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)恒过定点________． 教材整理3 反函数 阅读教材，完成下列问题．反函数：对数函数y ＝log a x 与指数函数 (a >0，且a ≠1)互为反函数． 练一练3.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的反函数为g(x )，则g(x )＝________.对数函数的概念例1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ； ⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 名师指导1．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)底数a >0，且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．跟踪训练1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________. 类型二：对数函数的定义域例2 (1)函数f (x )＝121log 1x +的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2) D.⎝⎛⎭⎫0，12 (2)函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为____________________________． (3)函数f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为___________________________. 名师指导求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为： 1.要保证根式有意义； 2.要保证分母不为0；3.要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 跟踪训练2．（1）函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3) C ．(－1,3]D ．[－1,3]（2）函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1 探究共研型综合类：对数函数的图象及性质探究1 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？ 函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2 如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？例3 (1)已知a ＞0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )(2)作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．名师指导函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．跟踪训练3．函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()课堂检测1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝()A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅2．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.3．函数f(x)＝log a(2x＋1)＋2(a＞0且a≠1)必过定点________．4．已知函数y＝f(x)与g(x)＝log3x(x＞0)互为反函数，则f(－2)＝________. 5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．参考答案基础·初探教材整理1 对数函数的概念y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) ；x ；(0，＋∞) 练一练1. 【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)×.对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)×.在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由x ＋1>0得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错． 教材整理2 对数函数的图象和性质 (0，＋∞)； (1,0) ；增函数；减函数 练一练2.（1）【答案】 ⎝⎛⎭⎫13，23【解析】 由题意可得0<3a －1<1，解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23. （2）【答案】 (2,1)【解析】 当x ＝2时，y ＝1，故恒过定点(2,1)． 教材整理3 反函数 y ＝a x练一练3. 【答案】 12log x【解析】 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的反函数为g (x )＝12log x .对数函数的概念例1 【答案】 (1)B (2)－3【解析】 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，即f (x )＝12log x ，所以f (8)＝12log 8＝－3.跟踪训练1．【答案】 4【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0a ＋1>0a ＋1≠1，解得a ＝4.类型二：对数函数的定义域例2 【答案】 (1)B ；(2)(－1,2) ；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，则12log x ＋1>0，即12log x ＞－1，解得0＜x ＜2，即函数f (x )的定义域为(0,2)，故选B. (2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>02－x ≥02－x ≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋8>02x －1>02x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2x >12x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 跟踪训练2． （1）【答案】 C【解析】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0x ＋1>0，解得－1＜x ≤3，∴f (x )的定义域为(－1,3]．故选C. （2）【答案】 A【解析】 要使函数y ＝log 3(2x －1)有意义，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0log 3(2x －1)≥0，解得x ≥1，所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)．故选A.探究共研型综合类：对数函数的图象及性质探究1 【答案】 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．探究2 【答案】 作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0. 例3 (1) 【答案】 C【解析】∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称． 再由函数y ＝a x 的图象过(0,1)，y ＝log a x 的图象过(1,0)，排除选项A ，B ，从C ，D 选项看，y ＝log a x 递减，即0＜a ＜1，故C 正确．(2) 解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象， 如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换， 得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4)跟踪训练3．【答案】 C【解析】 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时， y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.课堂检测 1．【答案】 C【解析】 由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 2．【答案】x【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f (2)＝log a 2＝2，即a ＝2， 所以f (x )＝x .3．【答案】 (0,2)【解析】 令2x ＋1＝1，得x ＝0，此时f (x )＝2，故函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点(0,2)． 4．【答案】 19【解析】 ∵函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，∴f (x )＝3x ，则f (－2)＝3－2＝19.5． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 值．。

对数函数及其性质(第一课时)作者：杨继泰来源：《读写算》2011年第10期一、教材学生学习情况分析本小节是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修（1）》（人教A版）第二章基本初等函数，第2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要的初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，而且现在的初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师备课必须认识到这一点，在教学中不仅要力求形象教学且要控制要求的拔高，关注学习过程。

二、教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律；②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。

2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳总结对数函数的性质。

3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度。

三、学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；2．教学手段：多媒体计算机辅助教学。

四、教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。

2、难点：底数对图象的影响及对数函数性质的应用。

五、教学过程(一)、设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个含量，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应。

同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数。

设计意图：体现了对数函数的应用价值和引入对数函数的概念。

(二)、探索新知识一般地，我们把函数（且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定且．（2）为什么对数函数（且）的定义域是（0，+∞）。

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

2．2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质一、选择题1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b3．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(2,1)B ．(2,0)C ．(2，－1)D ．(1,1)4．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]5．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是( )6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f [f (14)]等于( ) A ．－19 B.19C ．－9D ．9 二、填空题7．已知f (x )为对数函数，f (12)＝－2，则f (34)＝________. 8．函数y ＝log (2x －1)(3－4x )的定义域是________．9．函数y ＝log 2(x ＋k )的图象恒过(0,0)点，则函数y ＝log 21(x －k )的图象恒过定点的坐标为________．10．设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)的值等于______．三、解答题11．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．12．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．13．已知函数f (x )＝log 21(x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值；(2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围．答案精析1．A [由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.] 2．D [y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .]3．A [当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2,1)．]4．B [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．] 5．A6．B [∵14>0，∴f (14)＝log 214＝－2， ∴f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19.] 7.43解析 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则log a 12＝－2， ∴1a 2＝12，即a ＝2， ∴f (x )＝， ∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43. 8．{x |12<x <34} 解析 要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，2x －1≠1，3－4x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，x ≠1，x <34，解得12<x <34. 所以函数的定义域为{x |12<x <34}. 9．(2,0)10．16解析 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 013)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 013 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 013)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 013)＝2f (x 1x 2x 3…x 2 013)， ∴原式＝2×8＝16.11．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0，f (x )的大致图象如图所示：12．解 (1)当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，必须3－2a >0，a <32. 又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪(1，32). (2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f (x )在[1,2]上为减函数，必须a >1， 而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，3－2a >0.∴1<a <32. ∵f (1)＝log a (3－a )＝1，∴3－a ＝a .∴a ＝32. ∴不存在这样的a ，使得f (x )在[1,2]上为减函数且最大值为1.13．解 (1)由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，且y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2. 所以实数a 的取值范围是[1,2).。

对数函数及其性质（2）一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。