湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.4基本不等式导学案(含解析)新人教版必修5

2021年高中数学《 3.4 基本不等式 》导学案2 新人教A 版必修5
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

教学重点：基本不等式的应用
教学难点：利用基本不等式求最大值、最小值。

教学方法：探究，讨论
二．研讨互动，问题生成
1．重要不等式：
2.算术平均数、几何平均数
？
ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件？
三．合作探究，问题解决
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值
问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
自我评价同伴评价小组长评价。

高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）教案新人教A版必修5的全部内容。

3。

4 基本不等式（第1课时)一、教学目标：1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式. 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

二、教学重点：对基本不等式的理解和运用教学难点:理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点三、学情及导入分析：对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较,本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式,接受上是容易的,争取让学生真正意义上理解基本不等式。

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知1。

创设情境，提出问题下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步由复习引入,通过数学知识的内部提出问题。

第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式ab ≤ 2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。

2. 理解利用基本不等式ab ≤ 2b a + 证明不等式的方法 学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式ab ≤2b a +证明不等式的方法 3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a 、b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0.∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． [化解疑难] 1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则 ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b 2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：[例1] [证明] 由基本不等式可得： a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． 2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b ≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求2mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值；(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 x －4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 以下同解法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用]2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2yx ×9xy ＋10＝16， 当且仅当yx ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[例3] 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．[活学活用]3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋ ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．[达标检测]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞ab B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等． 求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c ≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋ab c ＞a ＋b ＋c .。

3.42a b + (2)》导学案通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 【重点难点】教学重点：a b +的应用教学难点：利用基本不等式2a b +≤求最大值、最小值。

【知识链接】 复习1：已知0m >，求证：24624m m+≥.复习2：若0x >，求9()4f x x x=+的最小值【学习过程】※ 学习探究探究1：若0x <，求9()4f x x x=+的最大值.探究2：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.※ 典型例题例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例2 已知0,0x y >>，满足21x y +=，求11x y+的最小值.总结：注意“1”妙用.※ 动手试试练1. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd ++≥.练2. 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的最小值.【学习反思】※ 学习小结规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正.※知识拓展1. 基本不等式的变形：222()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，121n n a a a an++≥12n a a a ===时取等号）3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号））.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A ．若,a b R ∈，则2a b b a +≥B ．若,a b R +∈，则lg lg a b +≥C ．若x R -∈，则222x x x x+≥-=-．若x R -∈，则332x x -+≥ 2. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）. A ．2 B ．3 C ．1 D ．123. 若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y+的取值范围是（ ）. A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(4,)+∞ D ．[4,)+∞4. 若,x y R +∈，则14()()x y x y ++的最小值为 .5. 已知3x >，则1()3f x x x =+-的最小值为 .1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？。

高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。

高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）学案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第1课时）学案新人教A版必修5的全部内容。

3.4基本不等式（第1课时) 姓名 班级 (一)知识点梳理. （1）基本不等式：a ＋b2≥错误!①基本不等式成立的条件：___________.②等号成立的条件：当且仅当________时取等号．③其中错误!称为正数a ，b 的算术平均数,错误!称为正数a ，b 的____________。

基本不等式可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.（2)基本不等式的变形①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ）．当且仅当a ＝b 时取等号．②22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭(,)a b R ∈，当且仅当a ＝b 时取等号． ③a ＋错误!≥2(a >0),当且仅当a ＝1时取等号；a ＋错误!≤______ (a <0），当且仅当a ＝－1时取等号．④.错误!＋错误!≥2（a ,b 同号），当且仅当a ＝b 时取等号．(3)利用基本不等式求最值已知x ＞0,y ＞0，则①如果积xy （积为定值）是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最_____值是2错误!.（简记：积定和最小)②如果和x ＋y （和为定值）是定值s ，那么当且仅当______时，积xy 有最____值是错误!.(简记：和定积最大)(二)典例研习例1（1)已知0＜x ＜31,求函数y=x （1—3x ）的最大值； （2）求函数y=x+x1的值域.例2已知x ＞0,y ＞0,且x 1+y9=1,求x+y 的最小值.变式训练1、已知正数a,b ，x ，y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a ，b 的值.例3求f(x ）=3+lgx+x lg 4的最大值(0＜x ＜1）.变式训练1、当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值.三、巩固练习1、下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．1y x x =+B ．221y x =+C ．2244y x x =++．3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠ 2.已知0,0x y >>，且131x y +=，则2x y +的最小值为(）A ．726+B ．23C ．723+D ．143。

3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

第三课时 基本不等式（三）（一）教学目标（1）知识与技能目标1.熟练使用a 2+b 22ab 和ab b a 2≥+.2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.（2）过程与能力目标 了解运用ab b a 2≥+的条件，熟练运用不等式中1的变换.（3）情感与态度目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.（二）教学重点：在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教学难点：ab b a 2≥+的运用.（三）教学流程（1）复习：基本不等式（2）举例分析变形3： a ,b 是正数且2a +3b =4,求ab 的最值和此时a 、b 的值 例2． a,b 都是正数且2a+b=2,求a (1+b )的最值和此时a 、b 的值的最值是是正数)21(,22,,)2(222b a b a b a +=+ 。

证法1：直接用公式证法2：对1进行变换练 习223223232212211)1(+=⨯+≥++=+++=+++=+b a a b b a a b b a a b b b a a b a b a 解：922233111)2(=⨯+⨯+⨯+≥++++++=++++++++=++cb bc c a a c b a a b cb bc c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a c b a88)11)(11)(11( 2111 2111 2111 )3(=≥---≥+=-++=-≥+=-++=-≥+=-++=-c ab b ac a bc c b a c ab c a c b c c b a c b ac b c b a b c b a b a bc ac a b a c b a a 课堂小结：课后作业：《习案》作业三十三。

3.4.1基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【学习重点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、学习准备如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学习探究1．命题的探究 图 3．4-1-1观察图3-4-1-1思考：（1）．上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）．假设直角三角形直角边分别为a 、b 则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）．假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b 时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）．综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）．如果 a >0且b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。

高中数学第三章不等式3.4 基教A版必修5的全部内容。

本不等式学案1（无答案）新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式学案1（无答案）新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式学案1（无答案）新人123。

4 基本不等式一、学习任务：1、学会推导不等式2a bab +≤，理解不等式的几何意义。

2、知道算术平均数、几何平均数的概念二、自主学习：请阅《必修5》9798P -后完成下面问题：1、如图所示是我国古代数学家赵爽设计的弦图。

在北京召开的24届国际数学家大会上被选为会标。

设小直角三角形的两条直角边为a 、b ，则大正方形的边长为 ,大正方形的面积为 ,四个直角三角形的面积和为 。

于是有大正方形S 〉4S Rt ∆⇒ > 。

当中间的小正方形缩成一点，即其面积S 小正方形=______时，有S 大正方形____4S Rt ∆, a _____b .2、(1)一般地，对任意实数a 、b 有222a b ab +≥,当且仅当时，等号成立.请在下面给予证明。

（2）特别地若a 〉0、b 〉0，当用a 、b 分别代替a 、b 可得a +b ≥2ab ，常写成ab ≤2a b +,当且仅当 时等号成立。

阅读课本98页完成证明并完成课本的填空。

, , , 。

此不等式还有别的证法吗？请课后尝试一下。

3、如图,阅读课本98页的探究，圆的半径OD=______。

易知R t △ACD ∽R t △DCB ，得CD=________。