湖北省荆州市沙市区沙市中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷1. 方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形是( ) A. 两条直线 B. 双曲线C. 一个点D. 一条直线和一条射线2. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面AB 1C 的一个法向量是.( )A. (1,1,1)B. (−1,1,1)C. (1,−1,1)D. (1,1,−1)3. 方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则( )A. D +E =0B. D +F =0C. E +F =0D. D +E +F =0 4. 已知点A(1,a,−5)，B(a,−5,−2)，则|AB|的最小值为( )A. 3√3B. 27C. 2√3D. 125. 设直线3x +4y −10=0与圆O ：x 2+y 2=25交于点A ，B ，以线段AB 上一点C 为圆心作一个圆与圆O 相切，若切点在劣弧AB⏜上，则圆C 的半径最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 若抛物线y 2=2x 图象上一点到直线x +y +a =0距离的最小值为154√2，则a =( ) A. 7B. 8C. 8或−7D. −77. 已知双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2+y 2=9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED =150∘，则双曲线的离心率为( )A.2√39B. 32C. √3D.2√338. 已知圆C 方程为(x −10)2+(y −8√3)2=34，将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针旋转15∘到l 1的位置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数( )A. 始终为0B. 是0或1C. 是1或2D. 是0或1或29. 下列结论正确的是( )A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大B. 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等C. 直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αD. 经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)的直线方程可以表示为：(y −y 1)(x 2−x 1)=(x −x 1)(y 2−y 1)10. 已知曲线C ：mx 2+ny 2=1.则下列命题正确的是( ) A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B. 若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−nm x D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线11. 如图所示，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且∠BAD =∠DAA 1=∠BAA 1=60∘，则下列结论正确的是( )A. |BD 1|=√2B. CO 1//平面BDA 1C. DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D. BD 1⊥A 1C 112. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C于A ，B 两点(其中A 在B 的上方)，O 为坐标原点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 点P ，Q ，N ，点A 、B 在准线l 上的投影分别为点H 和点D ，则( )A. 若|AF|=2|FB|，则直线AB 的斜率为2√2B. ∠HMD =π2 C. |PM|=|NQ|D. 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为2√213. 已知直线ax +by +c =0的系数a 、b 、c 中，有两个正数，一个负数，则该直线一定经过第______象限．14. 设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是空间两个不共线的向量，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =______.15. 过点(3,0)引直线l 与曲线y =√2−x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于______.16. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a 2−y 2=1的右顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a 的值为______.17. 已知直线l 1：mx +(1−2m)y +2−m =0，l 2:x +3my −3m 2=0.(1)当直线l 1在x 轴上的截距是它在y 上的截距2倍时，求实数m 的值； (2)若l 1//l 2，实数m 的值．18. 已知以点P 为圆心的圆经过点A(−1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C和D ，且|CD|=2√10. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．19. 如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，AB =2，AD =DC =CB =1，将△ADC 沿AC 折起，E 为AB 的中点，连接DE ，DB.如图2中BC ⊥AD ， (1)求线段BD 的长；(2)求直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ，∠ABC =∠PAD =90∘，侧面PAD ⊥底面ABCD.若PA =AB =BC =12AD(1)若E ，F 分别为PC ，PD 的中点，求直线BE 与CF 所成的角；(2)G 为线段AC 上一点，若平面APD 与平面GPD 所成角的余弦值23，求CGGA 的值．21. 已知抛物线C ：y 2=8x ，(1)经过点M(−1,1)作直线l ，若l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求l 的方程；(2)设抛物线C的准线与x轴的交点为N，直线m过点P(1,0)，且与抛物线C交于A、B两点，AB的中点为Q，若QN=√33，求△ANB的面积．22. 已知双曲线C经过点P(2,√3)，两条渐近线的夹角为π.3(1)求双曲线C的标准方程．(2)若双曲线C的焦点在x轴上，点M，N为双曲线C上两个动点，直线PM，PN的斜率k1，k2满足k1k2=1，求证：直线MN恒过一个定点，并求出该定点的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由(2x +3y)(2x −3y)=0，得2x +3y =0或2x −3y =0， 故方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形是两条直线， 故选：A.由已知的方程得到2x +3y =0或2x −3y =0，从而得到方程(2x +3y)(2x −3y)=0表示的图形． 本题考查曲线与方程的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：如图，B 1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，则：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 设平面AB 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则： {n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{y +z =0−x +y =0，取y =1，则x =1，z =−1， ∴平面AB 1C 的一个法向量为：(1,1,−1). 故选：D.可画出图形，得出点B 1，A ，C 的坐标，进而得出向量AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，然后设平面AB 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，从而得出{n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代入向量坐标进行向量坐标的数量积运算即可求出n ⃗ 的坐标．本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平面法向量的定义，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上．圆心坐标是(−D2,−E2)，所以D+E=0.故选：A.由圆的方程一般式求出圆心，代入对称轴方程即可．本题考查圆的一般式方程，求圆心等，是基础题．4.【答案】A【解析】解：点A(1,a,−5)，B(a,−5,−2)，则|AB|=√(1−a)2+(a+5)2+(−5+2)2=√2a2+8a+35=√2(a+2)2+27，当a=−2时，|AB|min=3√3.故选：A.根据已知条件，结合空间两点间的距离公式，以及二次函数的性质，即可求解．本题主要考查空间两点间的距离公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，直线l：3x+4y−10=0与圆O：x2+y2=25相交于AB，当C点在线段AB上移动时，圆C与圆O相切于劣弧AB⏜上的某一点，其半径r=5−|OC|，设AB的中点为M，则OM⊥AB，且|OM|≤|OC|，即当C点移动到M点时，|OC|最小，以C为圆心，且与大圆的劣弧AB相切的圆C的半径r=5−|OM|最大，此时C点与M重合，而|OM|=10√32+42=2，故圆C半径的最大值为5−2=3.故选：C.作出直线与圆，使它们相交，然后再研究随着C 点在线段AB 上移动时，小圆半径的变化规律，据此求出圆C 半径的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：联立{y 2=2xx +y +a =0，可得y 2+2y +2a =0，又根据题意可知抛物线y 2=2x 与直线x +y +a =0无交点， ∴Δ=4−8a <0，∴a >12， 设抛物线上任一点P(t 22,t)，t ∈R ，则P 到直线x +y +a =0距离d =|t 22+t+a |√2=|12(t+1)2+(a−12)|√2，又a >12，∴a −12>0， ∴d =12(t+1)2+(a−12)√2，且t ∈R ，∴当t =−1时，d 的最小值为a−12√2=154√2， 解得a =8， 故选：B.根据题意可得抛物线y 2=2x 与直线x +y +a =0无交点，从而可得，再设抛物线上任一点P(t 22,t)，t ∈R ，然后利用点到直线的距离公式及函数思想即可求解．本题考查直线与抛物线的的位置关系，抛物线上的点到直线距离的最值问题，函数思想，属中档题．7.【答案】D【解析】解：如图，∵双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)，过其右焦点F 作圆x 2+y 2=9的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ，∠CED =150∘，∴∠FOC =180∘−2∠OEC =30∘，∠OCF =90∘， ∴OC =a ，OF =c ，CF =12c ， ∴a 2+(12c)2=c 2， 解得c =2√33a ，∴e =c a =2√33. 故选：D.根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到∠FOC =30∘，∠OCF =90∘，OC =a ，OF =c ，CF =12c ，利用勾股定理求出a ，c 间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．8.【答案】D【解析】解：圆C ：(x −10)2+(y −8√3)2=34，圆心(10,8√3)，r =√32，故圆心C 到直线l ：x −y −1=0的距离为d =√3−1|√2=√3−9√2， 将√3≈1.732，√2≈1.414代入上式得d ≈3.43>√32，故直线y =x −1与圆C 相离，没有公共点；将x =10代入直线y =x −1得y =9<8√3，故圆心C 在直线y =x −1的上方， 将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针转15∘，所得直线l 1过点(1,0)，且倾斜角为60∘， 故此时l 1：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0， 此时圆心C 到直线l 1的距离为：d 1=|10√3−8√3−√3|2=√32=r ，故此时直线l 1与圆C 相切，有1个公共点，而x =10代入直线y =√3x −√3得y =9√3>8√3，故圆心C 在直线y =√3x −√3的下方， 所以将直线l ：y =x −1绕(1,0)逆时针旋转15∘到l 1的位置的过程中，经历了与圆相离，相切，相交，再相切的过程，故公共点的个数为0个或1个或2个． 故选：D.先利用几何法判断直线y =x −1与圆C 的位置关系，得到公共点的个数，同理再判断y =√3(x −1)与圆C 的位置关系，同时判断圆心与直线的位置关系，即可解决问题． 本题考查直线与圆位置关系的判断方法和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A 、直线的倾斜角为π6，5π6时，不满足直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，故A 错误；B 、斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，由倾斜角的范围为α∈[0,π),k =tanα(α≠π2)函数单调，故B 正确；C 、当直线的斜率为tan5π4，则其倾斜角为π4，故C 错误； D 、经过两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的方程无论斜率存在不存在，都可表示为(y −y 1)(x 2−x 1)=(y 2−y 1)(x −x 1)，故D 正确， 故选：BD.利用直线的斜率倾斜角的关系、直线的两点式方程逐项判断即可． 本题考查直线的斜率和倾斜角，直线的两点式方程，属基础题．10.【答案】AD【解析】解：对于A ，若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上，因为方程化为：x 21m+y 21n=1，0<1m<1n，焦点坐标在y 轴，所以A 正确；对于B ，若m =n >0，则C 是圆，其半径为：√1n，不一定是√n ，所以B 不正确；对于，C 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为mx 2=−ny 2，化简可得y =±√−mn x ，所以C 不正确；对于，D 若m =0，n >0，方程化为ny 2=1，则C 是两条直线．所以D 正确； 故选：AD.通过m ，n 的取值判断焦点坐标所在轴，判断A ，求出圆的半径判断B ；通过求解双曲线的渐近线方程，判断C ；利用m =0，n >0，判断曲线是否是两条直线判断D. 本题考查命题的真假的判断，考查曲线与方程的应用，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，如图，则|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c ⃗ |=1，<a ⃗ ,b ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >=60∘， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ =，对于A ，|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−a⃗ +b ⃗ +c ⃗ )2=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+c ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ −2a ⃗ ⋅c ⃗ =√1+1+1−1+1−1=√2，故A 正确；对于B ，连接AC ，BD ，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，CO 1，则由平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1可知，A 1O 1//OC ，∴四边形A 1O 1CO 是平行四边形， ∴A 1O//O 1C ，∵CO 1⊄平面BDA 1，A 1O ⊂平面BDA 1， ∴CO 1//平面BDA 1，故B 正确； 对于C ，DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ⃗ ， ∴DO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[]⋅(b ⃗ −c ⃗ ) =b ⃗ ⋅c ⃗ +-+c ⃗ 2−+ =-+++c ⃗ 2=+=，故C 错误；对于D ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=−a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ −a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2+b ⃗ ⋅c ⃗ =−1+-=0， ∴BD 1⊥A 1C 1，故D 正确． 故选：ABD.对于A ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，利用向量法求解判断；对于B ，连接AC ，BD ，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，CO 1，利用线面平行的判定定理进行判断；本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：抛物线焦点为F(1,0)，设直线AB 方程为y =k(x −1)，k >0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x 得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 由韦达定理可知，x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1，因为|AF|=2|FB|，则可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， 所以1−x 1=2x 2−2，即2x 2+x 1−3=0， 且x 1x 2=1，x 1>x 2， 解得{x 1=2x 2=12， 得x 1+x 2=52=2+4k2，所以k =±2√2，且k >0， 所以k =2√2，故A 正确；因为点A 、B 在准线l 上的投影分别为点H 和点D ， 所以H(−1,y 1)，D(−1,y 2)， 又AB 的中点M(x 1+x 22,y 1+y 22)， 所以HM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x22+1,y 2−y 12)，DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22+1,y 1−y 22)， 所以HM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x22+1)2−(y 1−y 2)24=(x 1+x 22+1)2−k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]4=4+4k 2k4≠0，所以∠HMD ≠90∘，故B 错误； 又因为x M =x 1+x 22=1+2k2,y M =k(x M −1)=2k ，故直线MN 方程为y =2x， 又因为O ，P ，A 共线，所以xPx 1=y Py 1,x P=x 1y P y 1=2x 1ky 1=y 122ky 1=y 12k， 同理可得x Q =y 22k， x P +x Q =y 1+y 22k=y M k=2k2,x M +x N =1+2k2−1=2k2=x P +x Q ，所以，x M −x P =x Q −x N ，即|PM|=|NQ|，故C 正确； 若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则|PQ|=13|MN|，y 1−y 22k=13(1+2k2+1)=13(2+2k2)，y 1−y 2=4(k 2+1)3k， 又y 1+y 2=2y M =4k ，y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2(x 1x 2−x 1−x 2+1)=−4， ∴y 1−y 2=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16k2+16，所以√16k2+16=4(k 2+1)3k， 解得k =2√2,(k >0)，故D 正确． 故选：ACD.设直线方程为y =k(x −1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程代入抛物线方程用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，从而可以表示出M 点坐标，然后求出P ，Q ，N ，H ，D 坐标，然后依次判断各项即可． 本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．13.【答案】一【解析】解：由题意可知，b ≠0， ∴直线方程可化为y =−ab x −cb ，若a >0，b >0，c <0，则−ab <0，−c b >0，所以直线过第一、二、四象限， 若a >0，b <0，c >0，则−ab >0，−cb >0，所以直线过第一、二、三象限，若a <0，b >0，c >0，−ab>0，−cb<0，所以直线过第一、三、四象限，∴该直线一定经过第一象限． 故答案为：一．先把直线方程化为斜截式y =−a bx −c b，再分情况讨论，判断直线所过象限即可． 本题主要考查了直线的一般方程，考查了一次函数的图象和性质，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：∵A ，B ，D 三点共线，∴向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ )+(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=6(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )， 即e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ =6λe 1⃗⃗⃗ +6λe 2⃗⃗⃗ ， 故可得{6λ=16λ=k ，解得{λ=16k =1，故k =1， 故答案为：1.由题意可得向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得关于k ，λ的方程组，进行求解即可．本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．15.【答案】−√24【解析】解：S △AOB =12|OA||OB|sin∠AOB =12×√2×√2sin∠AOB ≤1， 当∠AOB =π2时，S △AOB 面积最大， 此时O 到AB 的距离d =1，设AB 方程为y =k(x −3)(k <0)，即kx −y −3k =0， 则d =√k +1=1，解得k =−√24或k =√24(舍去)，故直线l 的斜率等于−√24. 故答案为：−√24.根据已知条件，先求出O 到AB 的距离，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】15【解析】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5， ∴p 2+1=5，∴p =8，∴抛物线方程为：y 2=16x ， 将点M(1,m)(m >0)代入抛物线方程中，可得m =4， ∴M(1,4)， 又双曲线x 2a 2−y 2=1的右顶点为A 为(a,0)，且双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，∴1a=4−01−a， ∴a =15.故答案为：15.根据抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，即可求解． 本题考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．17.【答案】解：(1)当直线经过原点时，m =2，显然满足题意，当直线不过原点时，令x =0得，y =m−21−2m ，令y =0得x =m−2m ， 所以m−2m =2×m−21−2m ， 解得m =2或m =25； (2)因为l 1//l 2，所以{m ⋅3m =1×(1−2m)m ⋅(−3m 2)≠(2−m)×1，解得m =13.【解析】(1)当直线经过原点时，m =2，显然满足题意，当直线不过原点时，分别求出直线在x ，y 轴上的截距，结合题意可求；(2)利用两条直线平行的充要条件列式求解即可．本题考查了直线方程的应用问题、两条直线平行的充要条件的应用，也考查了运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)∵直线AB 的斜率k =1，AB 的中点坐标为(1,2)…(4分)∴直线CD 的方程为x +y −3=0…(6分)(2)设圆心P(a,b)，则由点P 在CD 上，得a +b −3=0.①又∵直径|CD|=2√10，∴|PA|=√10，∴(a +1)2+b 2=10.②…(8分) 由①②解得{a =0b =3或{a =2b =1，∴圆心P(0,3)或P(2,1)…(10分)∴圆P 的方程为x 2+(y −3)2=10或(x −2)2+(y −1)2=10…(12分)【解析】(1)先求得直线AB 的斜率和AB 的中点，进而求得CD 斜率，利用点斜式得直线CD 方程． (2)设出圆心P 的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a 和b 的等式综合求得a 和b ，则圆的方程可得．本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．19.【答案】解：(1)证明：在图1中作CH ⊥AB ，交AB 于H ，则BH =12，∴∠B =π3，∠D =2π3，AC =√1+1−2×1×1×cos 2π3=√3，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴BC ⊥AC ，∴在图2中，AC ⊥BC ，AD ⊥BC ，AD ∩AC =C ， ∴BC ⊥平面ACD ，取AC 中点F ，连接DF ，FE ，则FA ，FE ，FD 两两垂直， 以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，D(0,0,12)，B(−√32,1,0)，∴线段BD 的长为|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(√32)2+(−1)2+(12)2=√2. (2)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−1,12)，C(−√32,0,0)，E(0,12,0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,12)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)， 设平面CDE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12z =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−√3)，设直线BD 与平面CDE 所成的角为θ， 则直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值为： sinθ=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2√3√2⋅√7=√427.【解析】(1)推导出BC ⊥AC ，从而BC ⊥平面ACD ，取AC 中点F ，连接DF ，FE ，则FA ，FE ，FD 两两垂直，以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段BD 的长． (2)求出平面CDE 的法向量，利用向量法能求出直线BD 与平面CDE 所成的角的正弦值． 本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD//BC ，∠ABC =∠PAD =90∘，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设=2，E ，F 分别为PC ，PD 的中点， 则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)， D(0,4,0)，E(1,1,1)，F(0,2,1)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， 设直线BE 与CF 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |==√155，∴直线BE 与CF 所成的角为arccos√155；(2)G 为线段AC 上一点，设G(a,b,0)，CGGA=λ(0≤λ≤1)，则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(a −2,b −2,0)=λ(−a,−b,0)=(−λa,−λb,0)， ∴a =21+λ，b =21+λ，∴G(21+λ,21+λ,0)， PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(21+λ,21+λ,−2)， 设平面PDG 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =4y −2z =0PG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =21+λx +21+λy −2z =0，取z =2，得m ⃗⃗⃗ =(2λ+1,1,2)， 平面APD 的法向量n ⃗ =(1,0,0)，∵平面APD 与平面GPD 所成角的余弦值23， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=2λ+1√(2λ+1)2+5=23，由0≤λ≤1，解得λ=12， ∴CG GA=12.【解析】(1)推导出PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与CF 所成的角；(2)G 为线段AC 上一点，设G(a,b,0)，CG GA=λ(0≤λ≤1)，则CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出G(21+λ,21+λ,0)，求出平面PDG 的法向量和平面APD 的法向量，利用向量法能求出的值．本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)直线l 的斜率k =0时，直线l 的方程为y =1，代入抛物线方程可得12=8x ，解得x =18，此时l 与抛物线C 有且仅有一个公共点(18,1)；直线l 的斜率k ≠0时，直线l 的方程为y −1=k(x +1)，代入抛物线方程可得k 2x 2+(2k 2+2k −8)x +(k 2+2k +1)=0，令Δ=(2k 2+2k −8)2−4k 2(k 2+2k +1)=0，化为k 2+k −2=0，解得k =−2或1，此时直线l 的方程为y −1=−2(x +1)或y −1=x +1，即2x +y +1=0或x +y −2=0，此时l 与抛物线C 有且仅有一个公共点．综上可得直线l 的方程为：y =1，2x +y +1=0或x +y −2=0. (2)抛物线C ：y 2=8x 的准线方程为x =−2， ∴抛物线C 的准线与x 轴的交点为N(−2,0). 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点Q(x 0,y 0)，设直线m 的方程为：my =x −1，代入抛物线方程可得：y 2−8my −8=0， Δ>0，则y 1+y 2=8m =2y 0，y 1y 2=−8， 解得y 0=4m ，x 0=4m 2+1，∵QN =√33，∴(4m 2+3)2+(4m)2=33， 化为2m 4+5m 2−3=0， 解得m =±√22，∴△ANB 的面积S =12|QN||y 1−y 2|=12×√33×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√332×√64×12−4×(−8)=4√33.【解析】(1)直线l 的斜率k =0时，直线l 的方程为y =1，满足题意；直线l 的斜率k ≠0时，直线l 的方程为y −1=k(x +1)，代入抛物线方程可得k 2x 2+(2k 2+2k −8)x +(k 2+2k +1)=0，令Δ=0，解得k ，即可得出直线l 的方程．(2)抛物线C ：y 2=8x 的准线方程为x =−2，可得抛物线C 的准线与x 轴的交点N.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点Q(x 0,y 0)，设直线m 的方程为：my =x −1，代入抛物线方程可得：y 2−8my −8=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式可得m ，代入△ANB 的面积S =12|QN||y 1−y 2|=12×√33×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，即可得出结论．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、抛物线中的弦长公式、面积问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、直线与抛物线相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为两条渐近线的夹角为π3，所以渐近线为y =±√3x 或y =±√33x ，①若渐近线为y =±√3x ，设双曲线方程为3x 2−y 2=λ，将(2,√3)代入可得λ=9，即双曲线方程为x 23−y 29=1，②若渐近线为y =±√33x ，设双曲线方程为x 2−3y 2=λ，将(2,√3)代入可得λ=−5， 即双曲线方程为y 253−x 25=1，综上：双曲线C 的标准方程为x 23−y 29=1或y 253−x 25=1；(2)证明：∵双曲线焦点在x 轴上，由(1)可得方程为x 23−y 29=1，以P(2,√3)为坐标原点，重建坐标系，此时曲线C 的方程为(x+2)23−(y+√3)29=1，可化为3x 2−y 2+12x −2√3y =0，设MN 的方程为mx +ny =1，代入上式得3x 2−y 2+(12x −2√3y)(mx +ny)=0， 因为M ，N 横坐标不会为0(不与P 重合)，所以上式除以x 2，可得3−(yx )2+(12−2√3⋅yx )(m +n ⋅yx )=0， 记yx =k ，有3−k 2+(12−2√3k)(m +nk)=0， 整理得(1+2√3n)k 2+(2√3m −12n)k −(3+12m)=0， 所以k 1k 2=1+2√3m=1，可得−3m −√32n =1，可得在新坐标系下，直线MN 经过定点(−3,−√32)，还原到原始坐标系，定点坐标为(−1,√32).【解析】(1)因为两条渐近线的夹角为π3，所以渐近线为y =±√3x 或y =±√33x ，分情况讨论即可；(2)由(1)可得方程为x 23−y 29=1，以P(2,√3)为坐标原点，重建坐标系，此时曲线C 的方程为(x+2)23−(y+√3)29=1，化简整理，记yx =k ，整理得(1+2√3n)k 2+(2√3m −12n)k −(3+12m)=0，利用韦达定理得到k 1k 2=1+2√3m=1，可得−3m −√32n =1，进而可得在新坐标系下直线MN 经过定点，还原到原始坐标系即可．本题考查双曲线的标准方程，双曲线中的定点问题，属于中档题．。

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期末数学复习卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x|2x −1>0}，则A ∩B =( )A. (12,+∞)B. (12,3]C. (12,2]∪[3,+∞)D. [2,3] 2. 直线xcosα−y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A. [π4,3π4]B. [0,π4]∪[3π4,π) C. [−π4,π4] D. [π4,π2)∪(π2,3π4] 3. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4y ≤x +1y ≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 164. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β下面命题正确的是( )A. 若l//β，则α//βB. 若α⊥β，则l ⊥mC. 若l ⊥β，则α⊥βD. 若α//β，则l//m5. 如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,−12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12 6. 已知命题p ：“”的否定是“”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A. p 且qB. p 或¬qC. ¬p 且¬qD. p 或q7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是√3，则正视图中的x 的值是( )A. 2B. 2√3C. √3D. 38.已知圆C:(x−2)2+y2=4，直线l1:y=√3x，l2:y=kx−1，若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1:2，则k的值为()A. √3B. √33C. 12D. 19.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S>100?”改为关于n的不等式“”，且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，以P为圆心，|PF1|为半径的圆与以F2为圆心，12|F1F2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. 3D. 411.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+52，a11成等比数列，若m−n=8，则a m−a n=()A. 12B. 13C. 14D. 1512.已知两点M(−1,0)，N(1,0)，若直线y=k(x−2)上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是()A. [−13,0)∪(0,13] B. [−√33,0)∪(0,√33]C. [−13,13] D. [−5,5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为______ ．14.函数y=x2+2(x>1)的最小值为________．x−115.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为______．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A−D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P−AD1−C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1其中正确命题的编号是______.(写出所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知√3a⋅sinC=c⋅sin2A．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，b=2√3，求△ABC的面积．18.已知以点C为圆心的圆经过点A(−2,0)和B(2,4)，线段AB的垂直平分线交圆C于点P和Q，且PQ=8．(1)求直线PQ的方程；(2)求圆C的方程．19.某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的众数以及平均分；(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．20.已知命题p：∀x∈[−1,0]，log2(x+2)<2m；命题q：关于x的方程x2−2x+m2=0有两个不同的实数根．(I)若(¬p)∧q为真命题，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，，AD=2，AM=1，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：AN//平面MEC；(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P，使二面角P−EC−D的大小为π？若存在，求出AP的长h；若3不存在，请说明理由．22.已知椭圆C的方程为x24+y22=l，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于−l的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．(Ⅰ)证明：直线BD的斜率为定值；(Ⅱ)求△ABD面积的最大值．。

荆州中学2020级高二年级上学期期末考试数 学 试 题一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S =（ ） A.13 B.35 C.49 D.632.双曲线12422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．6D ．363.设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,m n n α⊥⊂，则m α⊥ B.若,//m n m α⊥，则n α⊥C.若//,//m n αα，则//m nD.若,αββγ⊥⊥，则//αγ4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D 5. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，70a >，110S <，则n S 的最小值为（ ） A. 4SB. 5SC. 6SD. 7S6. 抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，焦点F 在准线l 上的射影为点K ，过F 任作一条直线交抛物线C 于B A ,两点，则AKB ∠为（ ） A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或直角7.设)(x f 为可导函数，且12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率是( )A.2B.－1C.12D.－28. 已知等比数列}{n a 中41,252==a a ，则1433221+⋅++⋅+⋅+⋅n n a a a a a a a a 等于（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．直线:1(1)l x m y -=-和圆2220x y y +-=的位置关系是( )A ．相离B ．相切或相离C ．相交D ．相切10．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200 B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n=D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-11．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的夹角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为24C. 椭圆的方程可以为22142x y +=D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22-12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则 （ ）A ．12nk += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数()42f x ax bx c =++满足()'12f =,则()1f '-= .14．已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______. 15. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线1BD 的长度为________.16．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆222()2b x y c +=+（c 为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线:270l x y ++=相切．过点B (－2，0)的动直线m 与圆A 相交于M ，N 两点． （1）求圆A 的方程；（2）当|MN |＝219时，求直线m 的方程．18.（本题满分12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且123,22,5a a a +成等比数列． （1）求n a ；（2）若0d <，求12n a a a +++．19.（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD =120o ，AB ＝AD ＝2，点M 在线段PD 上，且DM ＝2MP ，PB ∥平面MAC ． （1）求证：平面MAC ⊥平面P AD ；（2）若P A ＝6，求平面P AB 和平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20.（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和22nn S n +=.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}2{nna 的前n 项和n T .21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为28x y =，点)(0,4M ，过点M 的直线交抛物线于A B 、两点． （1）求△OAB 面积的最小值（O 为坐标原点）； （2）2211AMBM+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F分别为椭圆C 的左，右焦点，M 为椭圆C 上一点，12MF F △的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）P 为圆225x y +=上任意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，判断PA PB ⋅是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.荆州中学高二年级期末考试数学试题参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.-2 14. 15.216.四、解答题17．解：(1)设圆A 的半径为R .因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， 所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN |＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k －2＋2k |k 2＋12＋(19)2＝20，解得k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 18.解：由题意知：22131(22)510a a a a ⎧+=⎨=⎩即2(222)50(102)d d +=⨯+解得：4d =或1d =- ①当4d =时，110,10(1)446n a a n n =∴=+-⨯=+ ②1d =-时，110,10(1)(1)11n a a n n =∴=+-⨯-=-综上知：当4d =时，46n a n =+；当1d =-时，11n a n =-.（2）01d d <∴=-，，即12(21)11,2n n n n n a n S a a a -=-=+++=①当111n ≤≤时，0,n a ≥此时|n a |=n a∴|1a |+|2a |+…+|n a |＝12(21)2n n n n a a a S -+++==②当12n ≥时，此时|1a |+|2a |+…+|11a |+|12a |+…+|n a |＝121112n a a a a a +++---＝111111(21)(21)()211011022n n n n n n S S S S S ----=-=-=+ 综上知：|1a |+|2a |+…+|n a |=(21),1112(21)100,122n n n n n n -⎧≤≤⎪⎪⎨-⎪+≥⎪⎩19（1）连接BD 交AC 于点E ，连接ME ，如图所示：∵//PB 平面MAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MAC ME =，∴//PB ME ，∴2DE DM ADBE PM BC===，∴1BC =，∵2AB =，60ABC ∠= ∴1412232AC =+-⨯⨯=，∴2224AC BC AB +==，090ACB ∠=，∴90CAD ∠=，CA AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，CA ⊂平面ABCD ，∴PA CA ⊥，∵PA AD A ⋂=，∴CA ⊥平面PAD ，∵CA ⊂平面MAC ，∴平面MAC ⊥平面PAD ； （2）如图所示：以A 为原点，AC ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，则()()))20,0,6,0,0,0,3,1,0,3,0,0,0,,43P A BCM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()()()20,0,6,3,1,0,0,,4,3,0,03PA AB MA AC ⎛⎫=-=-=--= ⎪⎝⎭，设平面PAB 和平面MAC 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，平面PAB 与平面MAC 所成锐二面角为θ， ∴()11111160·01,3,0·030z n PA n n AB y -=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨=-=⎪⎩，222222240·0130,3,2·030y z n MA n n AC x ⎧⎧--==⎪⎪⎛⎫⇒⇒=-⎨ ⎪=⎝⎭⎪⎪=⎩⎩，∴121233cos 37n n n n θ===20.解：（1）当1=n 时，111==S a ， 当2≥n 时，n n n n n S S a n n n =-+--+=-=-2)1()1(2221所以n a n =（2）因为n n n T 223222132++++= ，1432221-23222121++++++=n n n nn T两式相减得：111322212211)211(2122121212121++++-=---=-++++=n n n n n n n n n T 所以n n n T 222+-=21、（1）；（2）由题意知，直线AB 斜率k 存在，不妨设其方程为4y kx =+，联立抛物线C 的方程可得28320x kx --=，设)(11,A x y ，)(22,B x y ，则128x x k +=，1232x x =-， 所以AM =，BM = 所以)()(22222212111111k x k xAMBM+=+++)()()()()(22121222221264121161321k x x x x k k x x ++-===++． 22.由题可知，224c e a c a ==+=+2,a c ==222a b c =+，解得1b =，故椭圆的标准方程为：2214x y +=；如图所示，当PB 平行于y 轴时，PA 恰好平行于x 轴，()()()0,12,0,2,1A B P ，()()2,0,0,1PA PB =-=-，0PA PB ⋅=；当PB 不平行于y 轴时，设()00,P x y ，设过点P 的直线为()00y k x x y =-+，联立()220014x y y k x x y ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()()2220000418410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦， 令0∆=得()()()2222000064164110ky kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，化简得()22200004210x k x y k y --+-=，设12,PA PB k k k k ==，则20122014y k k x -⋅=-，又2205x y +=， 故220012220014144y x k k x x --⋅===---，即0PA PB ⋅=. 综上所述，0PA PB ⋅=.。

2021年湖北省荆州市沙市农场中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过两点的直线的倾斜角为A．135°B．120°C．60° D．45°参考答案：A2. 设F1，F2是椭圆=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个，则离心率e的值为（）A. B. C. D.参考答案：C略3. 直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°参考答案：A【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选A．【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．4. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）Ａ．增加10元Ｂ．减少10元Ｃ．增加80元Ｄ．减少80元参考答案：C5. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的投影为C，若，，则抛物线的方程为（）A. B. C.D.参考答案：D略6. 已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】由不等式，解得﹣2＜x＜﹣1．可得a=﹣2，b=﹣1．由于点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，可得2m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：不等式?（x+2）（x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴a=﹣2，b=﹣1．∵点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，化为2m+n=1．∵mn＞0，∴==5+=9，当且仅当m=n=时取等号．∴的最小值为9．故选：C．7. 若上是减函数，则的取值范围是（）A.B. C. D.参考答案：D略8. 已知函数，或，且，则A. B.C. D. 与的大小不能确定参考答案：C9. 已知，，则( ) A．B．C．D．参考答案：B10. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）( )A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得x12+x22的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．【解答】解：∵椭圆的离心率e==，∴c=a，b=a，∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，∵a≠0，∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1＜2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．故选B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则参考答案：略12. 若记号“*”表示两个实数与的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数都能成立的一个等式可以是＿＿_（答案不惟一）.参考答案：13. 若则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有__参考答案：①④14. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________．参考答案：等边三角形角，，成等差数列，则，，解得，边，，成等比数列，则，余弦定理可知，故为等边三角形．15. 若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于．参考答案：216. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，点A在抛物线上且，则的面积是．参考答案：8略17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）1．（5分）已知i是虚数单位，，且z的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知点P（﹣1，1）为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，若k PQ的极限为﹣2，则在点P处的切线方程为（）A．y＝﹣2x+1B．y＝﹣2x﹣1C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣2 3．（5分）若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+…+a9的值为（）A．2047B．1062C．1023D．5314．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线l过椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点，则△PQF2的周长为（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，则数列{a n}的前10项和为（）A．48B．49C．50D．517．（5分）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，点G在线段MN上，且＝2，，表示向量，设＝x+z，则x、y、z的值分别是（）A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝8．（5分）设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）左支上一点＝0，tan∠PF2F1＝，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（5分）设z＝a+bi（a，b∈R），则下列命题为真命题的是（）A．若z•∈R，则z∈RB．若b＝0，则C．若z2为纯虚数，则a＝b≠0D．若z+i与都是实数，则10．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，，则有（）A．B．{S n}为等比数列C．D．a n＝11．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．B1的坐标为（2，2，3）B．＝（﹣2，0，3）C．平面A1BC1的一个法向量为（﹣3，3，﹣2）D．二面角B﹣A1C1﹣B1的余弦值为12．（5分）下列结论正确的是（）A．方程表示的曲线是双曲线的右支B．若动圆M过点（3，2）且与直线3x﹣2y﹣1＝0相切，则点M的轨迹是抛物线C．两焦点坐标分别为（2，0）和（﹣2，0），且经过点（5，0）的椭圆的标准方程为D．椭圆上一点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省沙市中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（无答案）考试时间：2020年1月13日一、单选题（每小题5分，共60分） 1．复数11iz i-=+的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2-B ．12（0,-）C ．1(0,)8-D ．1(,0)8- 3．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ） A ．23x > B ．2x >C ．2x ≥D ．3x >4. 党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观。

现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）A ．13 B ．16C ．56 D ．235. 已知数列{}n a 满足1(1)1n n a a +-=g，且112a =-，则2020a =（ ） A ．3 B ．12- C ．23 D ．134526．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之， 上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？A ．581B ．778C ．439D ．7768. 若直线(1)20x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1 或2-D ．23-9. 记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S ，“98，99，100，102，x ”这组数据的方差为22S ，若2212S S =，则x 为（ ）A ．97B ．101C ．101或98.5D ．103 10．空间四点(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、（，，）、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．411. 平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =( )A ．31- B ．21- C ．32- D ．32-12. 椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且 123F PF π∠= .若椭圆的离心率为 3，则双曲线的离心率为（ ）A ．1336B ．324 C ．3D ．2二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知数列{}n a 的前n 项和2,n S n n =+则n a =14. 对任意的实数k ，直线2(1)20k x ky +--=被圆222240x y x y +---=截得的最短弦长为15. 若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是（结果要求化简）16. 12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于三、解答题17．（10分）某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率； （2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数； （3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数。

2017—2018学年上学期2016级期末考试文数试卷考试时间：2018年2月1日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题：“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在03200,10x R x x ∈-+>C ．存在03200,10x R x x ∈-+≤D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>2．直线0232=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．0232=++y xB ．0232=-+y xC ．0232=--y xD ．0232=+-y x 3．“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与直线2:2(1)40l x a y -++=互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图1 图2A ．100，10B ．100，20C ． 200，20D ．200，105．已知双曲线的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线方程可以是（ ） A ．14322=-y x B ． 14322=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y6.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2π C ．2πD ．2π-7．如图，给出的是计算11112462016⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的值的程序框图，其中判断框内不能填．．．入．的是（ ） A ．2017?i ≤B ．2018?i <C ．2016?i ≤D ．2015?i ≤8.设某中学的学生体重()y kg 与身高()x cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为0.8585.71y x =-)，给出下列结论，则错误．．的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线至少经过样本数据()(),1,2,,i i x y i n =L 中的一个C.若该中学某生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.回归直线一定过样本点的中心点(),x y9.已知函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. [)2,+∞ C. (],1-∞- D. (],2-∞- 10．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A ．117B ．217C ．317D ．41711.不等式x e kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2D ．e12.过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为线段PE 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A ．10B ．2C ．10D ．10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13.已知直线340x y a ++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为 .14．若变量,x y满足约束条件120yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=-的最大值为．15．已知函数()f x的导数为)(xf'，且满足)2(23)(2f xxxf'+=，则=')5(f．16．设抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，准线为l，过抛物线上点A作l的垂线，垂足为B.设7(02C p，），AF与BC相交于点E.若2FC AF=，且ABC∆的面积为32，则p的值．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．( 10分)命题p：axxx>+>∀1,0；命题q：012,2≤+-∈∃axxRx.问：是否存在实数a，使得p q∨为真命题，p q∧为假命题？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．18.(12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为310.(1)求a的值；(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．19．(12分)(1)设1=x和2=x是函数xbxxaxf++=2ln)(的两个极值点。

期末考试答案一、选择题： DACDBBBA 二、不定项选择题：ABD 、BCD 、BC 、ABD三、填空题：13． 290 14． 15或 15．316．（1）35a = 62 ；（2）若2021n a =，则n =__1033 _.15解答：设,,01DFB AD x x α∠==<<，则1BD x =-，DP AD x ==，在三角形BDF 中，由正弦定理可得1sin sin60x x α-=，即x =当sin 1α=时，即DF 垂直BC 时，AD x =3.几何法：因为A,P 两点关于DE 对称，所以AD=DP ，可见如果以D 为圆心，以AD 为半径作圆，则该圆必与BC 交于P 点，要使半径AD 取最小值，只有当P 点是圆与BC 的切点，也就是DP 垂直BC 时，AD 才能取得最小值.16解答：（1）由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以35a 位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故35502662a =+⨯=； （2）44(187)13587193620212+++++==<， 45(189)13589202520212+++++==>，故2021n a =在第45行，第45行第1个数是1937，202119372(1)43n a k k ==+-⇒=，即2021n a =在第45行的第43个数，因此12344431033n =+++++=.四、解答题：17.解：（1）23331cos 23()3sin cos cos sin 22222x f x p q x x x x +=⋅-=--=-- 31sin 2cos 2222x x =--sin(2)26x π=-- （3分） ∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤， ∴3sin(2)126x π-≤-≤，从而 32sin(2)2126x π--≤--≤- 则()f x 的最小值是32--，最大值是1-． （6分） （2）()sin(2)216f C C π=--=-，则sin(2)16C π-=， ∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，解得3C π=． （8分）∵sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a = ①由余弦定理得，2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-= ②由①②解得1,2a b ==． （12分） 18.解：（1）因为数列{}n a 是公比为3的等比数列,又由234,18,a a a +成等差数列,∴ 243236a a a +=+， 所以1113271836a a a +=+，解得13a =，从而数列{}n a 的通项公式为*3()n n a n N =∈. (6分)(2) 311+log ,3n n n n b a n a ==+ 211(1)111(1)(1)113312(1),1333222313n n n nn n n n S n -++∴=+++++++=+=+-- (8分) 2121,3n n S n n ∴-=+- 又1{1}3n n +-是递增的,当19n =时, 219122020,3n S n -=-<当20n =时, 220122120,3n S n -=->所以所求的正整数n 的最小值为20. (12分)ABCD⋅O⋅FGE αβABCD⋅O ⋅FGxyzαβ19. 解法一：证明：（1）如图，连接CO ，45=∠CAB ，AB CO ⊥∴，又F 为BC 的中点，45=∠∴FOB ， (2分)AC OF //∴．⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ， ∴//OF 平面ACD ． (5分) （2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ． ∴CO ⊥平面ABD ． （7分） 又⊂AD 平面ABD ， AD CO ⊥∴，⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，则∠CEO 是二面角C -AD-B 的平面角． （9分）60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形，2=CO ，∴7=CE ．∴CEO ∠cos =73=721． （12分） 解法二：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=，点F 为BC 的中点，∴点F 的坐标为(22，)2,2,0(=OF ．22OF AC ∴=，即//OF AC ． ⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，∴//OF 平面ACD ． （6分）（2）60DAB ∠=，∴点D 的坐标()013,,D -，(3,1,0)AD =．设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．由110,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 有()()()(),,0,2,20,,,3,1,00,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30.y z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ （8分）取1=x ，解得3-=y ，3=z ．1n ∴=()331,,-． （10分）取平面ADB 的一个法向量2n =()100,,，121210(3)03121cos 771n n |n ||n |θ⨯+-⨯+⨯⋅∴===⋅⋅． （12分）20．解（1）因为,所以所以，所以关于x 的回归直线方程为：. （2）当时，，则，所以可以认为回归直线方程是理想的. （3）设销售利润为w (千元)，则，因为所以当且仅当，即时，W 取得最大值.所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.21.解：(1)||22,PF a ex a c =+≥-=-11()||()21,22APF p S a c y a c b ∆=-≤-=222,2b a c ∴=∴-=,解得2,2,a c ==所以椭圆C 的方程为22142x y +=． (6分) （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； (7分) ②当直线l 的斜率不为0时，设1122(,),(,),D x y E x y 直线l 的方程为1x m y =+，将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m ym y ++-=． 则12222m y y m -+=+，12232yy m -=+．(8分)又111x m y =+，221x m y =+， 所以,121212121233(3)(3)44(3)(3)y y y y k k x x my my ----⋅=⋅=---- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++222222393()()222393()()22m m m m m m m m ---⨯+++=---⋅+⋅++222325341,464812m m m m m +++==+++ 令41,t m =+则122323212542254()2t k k t t t t⋅=+=+≤-++-,当且仅当5t =，即1m =时，取等号，由①②可得，所求直线的方程为10x y --=. (12分)22.解：（1）)(x f 在定义域内是),0(+∞，xax x a x f 11)(-=-='， 当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； （2分）当0>a 时，()0f x '=，1x a =，当10x a <<时，得()0f x '<，当1x a>时，得()0f x '>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （4分） （2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴(1)0f '=，得1=a ， 由()2f x bx ≥-在),0(+∞上恒成立 ，得1ln 1xb x x+-≥ （6分） 令x xx x g ln 11)(-+=，则2ln 2()x g x x-'=， 可得)(x g 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增，∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． （8分）（3）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x ey x yx ， 令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， （10分）又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴1()(1)10h x h e e>->->，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ，∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e yx ． （12分）。

高二年级期末考试数学答案题号123456789101112答案ADAACBDBBDACDABCACD13．一 14．115． 16．1517．（1）∵在两坐标轴都有截距，∴且令可得，令可得l 0m ≠12m ≠0y =2m x m -=0x =212m y m-=-∴，解得或22212m m mm --=⨯-2m =14m =（2）∵，∴，解得或 当时，，两直线重合12//l l 312m m m ⨯=-1m =-131m =-12:330:330l x y l x y -++=⎧⎨--=⎩当时，，两直线平行 综上，的值为13m =12115:03331:03l x y l x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩m 1318．（1），直线的斜率为4021(1)AB k -==--∴CD 12-又中点，方程为：AB (0,2)CD ∴12(0)2y x -=--即：………………………………………………………5分240x y +-=（2）依题意，圆心在上M CD (42,)M t t -，则方程为(1,0),(1,4)A B -AB =AB 22y x =+∵，∴………………7分AB=2222d r +==d =∵点到的距离M AB d ∴ 或……………………………………10分1t =3t =故圆的方程为：或………………12分M 22(2)(1)10x y -+-=22(2)(3)10x y ++-=19．（1）解：∵为中点，，， ∴在图1中，，∴四边形为平行四E AB 2AB =1DC=//AE DCAECD 边形，∴，在为直径的圆上，AC BC ∴⊥，1CE AD ==C AB 又图2中，，BC ∴⊥平面ADC， ∴，由BC AD ⊥AC AD A = BC CD ⊥勾股定理得.BD =（2）取AC 中点F ，连接,DF FE ，易得,,FA FE FD 两两垂直，以,,FA FE FD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，110,,0,0,0,,,22E D B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，，1()2DB =- 102CD =（，，）1,0)2CE = 设的一个法向量，则，即，取1x=，有(,,)n x y z =CDE 00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩12102z y +=+=.(1,n =，cos ,n DB ===∴直线与平面. （其他解法也对应给分）BD CDE 20．(1)解：由∠得，PAD 90=︒PA AD ⊥而平面平面，平面平面，平面 ∴平面PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PA ⊂PAD PA ⊥ABCD 而由，∠可得//AD BC ABC 90=︒AB AD⊥因此可以以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系。