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D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求 证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五 课堂小结 （引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六 课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。
直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二新知探究如图，⊿是直角三角形，为斜边上的高．提出问题：图．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△与△，△与△，△与△）．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：△与△中，·,′′ ′ △与△中， · ,△与△中， · ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． 点和线段的正射影简称为射影．图 请学生结合射影定义及图，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析例 如图，圆上一点在直径上的射影为．，,求、和的长．解：∵∠是半圆上的圆周角，∴∠°，即⊿是直角三角形．由射影定理可得：·×，解得；·×，解得；·×，解得 ．（师生一起分析思路，由学生完成求解．）图例2 如图，⊿中，顶点在边上的射影为，且·．求证：⊿是直角三角形．。
§1.4 直角三角形的射影定理教学设计
教材分析：
本节是新课程标准选修4-1《几何证明选讲》中第一讲第四节的内容。
这是在学习了相似三角形性质的基础上研究直角三角形的射影定理。
从学生的生活经验出发先介绍了射影的概念，然后用“探究”引导学生探索直角三角形中的一些线段的关系。
经过逻辑推理而得出直角三角形的射影定理。
本节的内容可以看成是相似（直角）三角形的判定定理、性质定理的一个应用，体现了从一般到特殊的数学思想。
射影定理有比较重要的价值，它建立了三角形中边与射影之间的关系（揭示了直角三角形内在的美）在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具
教学目标
知识目标：掌握正射影的定义.，掌握直角三角形的射影定理及其证明，会用直角三角形的射影定理解决问题
能力目标：探求直角三角形的射影定理及证明，并会用直角三角形的射影定理解决问题,在教学过过程中用到了启发、探究、的方法
情感目标：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想
教学重点：掌握直角三角形的射影定理及运用
教学难点：直角三角形的射影定理及运用
教具准备：幻灯片三角尺
课时安排：1课时
教学过程
一、复习引入
1.复习相似三角形的判定方法
2.（1）太阳光垂直照在A 点，留在直线MN 上的影子应是什么？
（2）线段AB 留在MN 上的影子是什么？
正射影（射影）的定义
（1） 点
特别地，当一个点在这条直线上时，
它的正射影就是它本身。
（2） 一条线段在直线上的正射影 端点在这条直线上的正射影间的线段
点和线段的正射影简称射影
二、探究新知
已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D.
(1)图中有几个直角三角形?
(2)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?
由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三
组比例式： (ΔACD ∽ΔCDB); (ΔCBD ∽ΔABC); (ΔACD ∽ΔABC).
(3)观察第(2)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?
下面我们从射影的角度来研究直角三角形中边的关系。
（AC 在斜边上的射影是什么？BC 在斜边的射影是什么？）
A A B
从相似三角形出发得出射影定理，并用语言概括出来
直角三角形射影定理：
直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；
， ， 。
说明：斜影定理只能用在直角三角形中，且必须有斜边上的高。
常和勾股定理联系起来解决直角三角形的计算题及直角三角形中比例线段问题。
思考：能用勾股定理证明射影定理吗？
CD 2=AC 2－AD 2= AB 2－BC 2－AD 2=（AD+BD ）2－BC 2－AD 2
=AD 2+BD 2+2AD ·BD －BC 2－AD 2=2AD ·BD －（BC 2－BD 2） =2AD ·BD －CD 2
2CD 2=2AD ·BD 即CD 2=AD ·BD
其它的自己证明。
三、例题讲解
例1、 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，AD=2，DB=8，求
CD ，AC ，和BC 的长。
分析：由直径所对的圆周角是直角可得到
三角形ABC 是直角三角形，CD
是斜边上的高，运用射影定理或
勾股定理可求出相应的线段的长。
解： ACB ∠ 是半圆上的圆周角，
90=∠∴ACB ,即ΔABC 是直角三角形。
AB BD BC ⋅=2AB AD AC ⋅=2DB AD CD ⋅=
2 B
又射影定理可得
.
5480108;5220102;
4,1682222==⨯=∙===⨯=∙===⨯=∙=BC AB BD BC AC AD AB AC CD BD AD CD ，解得，解得解得
总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。
例2 △ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD²=AD·DB
求证： △ABC 是直角三角形。
证明： 在ΔCDA 和ΔBDC 中，
BCD CAD BDC
CDA DB
CD CD AD DB
AD CD BDC CDA AB
CD D AB C ∠=∠∴∆∆∴=∴∙==∠=∠∴⊥∴ω::90,
2
又上的射影为在点 四、随堂巩固
1.直角△ABC 中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC 的长。
2.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上
的射影为D ，CD=4，BD=8，
则圆O 的半径等于_____．
3.课本第22页习题2、3
五、 课时小结：
知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达
式——射影定理。
A
B
方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。
能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。
数学思想：方程思想和转化思想。
六、课后作业
必做：1．如右图中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
AD=3，BD=2，则AC：BC的值是( )
A．3：2 B．9：4
C．3：2D．2：3
2．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD：BD=2：3，则△ACD 与△CBD的相似比为( )
A．2：3 B．4：9 C．6：3 D．不确定
3．如右图1-4-1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E。
试说明：(1)AB·AC=AD·BC；
(2)AD3=BC·BE·CF。
选做：如图1—4—3，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D 的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF。
求证：GD2=GF·GH。
