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直角三角形的射影定理 课件

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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FБайду номын сангаас· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4

1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
返回
[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
返回
[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
返回
[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？

人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件

人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件

思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.

1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)

1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)

(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
[例2]
如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足．
求证：AF· AC＝BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再
在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．

射影定理课件

射影定理课件

射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系

人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件

人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件

类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等 于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
谢谢观看！
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA·CD＝BC·AD. 证明：由射影定理知： CD2＝AD·BD， CA2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∴CA·CD＝ AD2·BD·AB＝AD· BD·AB， BC·AD＝AD· AB·BD. 即 CA·CD＝BC·AD.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
ACD 900
ACD B
BCADC, ∴即DB(2A∽AD9D0+·0BBDDC=)B²BA=CACDDC²-.A²+DB²C+B²C²-BCAD²DD

CD BD
即 即 考 A ACB察 CCBDCD是 2R222tD公ABAAB共 DDDDD角 CBA和 BDA,DBB RtBBBCD((∵∴∴而12AC)A2CA)ACDC∽D²²²-==·ABAADDDDB²=²=·+2BCCCCDDADD²²，²=ABDCBB²²C+-BDCADD²·=BCDBADC²B
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，

直角三角形的射影定理


02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础， 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用，以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具，建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法，以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外， 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识，拓展数学视野，提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ，掌握该定理有助于解决实际问题。

人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件


即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.

高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理

则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
-8-
四
直角三角形的射影定理
题型一
CD=4,则AD·DB等于(
)
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四
1
直角三角形的射影定理
2
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
-9-
四
直角三角形的射影定理
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角
四
直角三角形的射影定理
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件：1.4直角三角形的射影定理
四
直角三角形的射影定理
-1-
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
-2-
四
1

直角三角形的射影定理 课件

∴由射影定理,得AC2=AD·AB,CD2=AD·DB,
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
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2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
AC2=AB2-BC2 =AD2+2AD·DB+DB2-CD2-DB2 =AD2+AD·DB=AD·AB. 同理BC2=BD·AB.
应用射影定理解决相关几何证明
应用射影定理证明几何题的思路 (1)从已知条件入手，当已知存在直角三角形时，可以考虑应 用射影定理得到比例中项，再寻求证明结论的过渡条件. (2)从证明的结论着眼，当证明的结论是等积式或比例式时， 观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的边.
【典例训练】 1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， 点E是AC上一点，CF⊥BE于点F.求证：△BFD∽△BAE.
AB 5 5
答案：9
16
5
5
4.如图所示，⊙O上一点C在直径AB上的射影为点D，CD＝4，BD
＝8，则⊙O的半径r等于________.
【解析】由直角三角形的射影定理，得
CD2＝AD·DB，∴ADCD＝2 ＝42 ＝2，
DB 8
∴r＝ 8 ＝25.
2
答案：5
5.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AD∶BD＝9∶16，则
∴BF·BE＝BD·BA，∴BF BD .
BA BE
又∵∠FBD＝∠ABE，
∴△BFD∽△BAE.
2.(1)方法一：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴S△ABC= 1AB·AC=1 AD·BC，
2
2
∴AB·AC＝AD·BC.
方法二：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，AD2＝BD·CD. ∴AB2·AC2＝BD·BC·CD·BC， 即AB2·AC2＝BD·CD·BC2， ∴AB2·AC2＝AD2·BC2，∴AB·AC＝AD·BC. (2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，∴BD2=BE·AB. 同理CD2=CF·AC， ∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·CD， ∴AD4=BD2·CD2=BE·AB·CF·AC =BE·CF·AB·AC 又由(1)知AB·AC=AD·BC， ∴AD4=BE·CF·AD·BC， ∴AD3=BC·BE·CF.
【想一想】第2题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的？ 提示：(1)由直角三角形的射影定理可以得到等积式，证明过 程中需要根据题目恰当地进行选择. (2)同一条边所在的三角形不同，根据射影定理得到的等积式 也不相同. (3)在解决题2时，将得到的等积式进行了相乘、开方 等变形，最终目的是向题目结论过渡.
2.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝2，DB＝8， 则CD的长为______，AC的长为______，BC的长为_______. 【解析】在Rt△ABC中，由射影定理，得 CD2＝AD·DB＝2×8＝16，∴CD＝4. AC2＝AD·AB＝2×(2＋8)＝20，∴AC2 ＝5 . BC2＝BD·AB＝8×(2＋8)＝80，∴BC4＝5 . 答案：4 2 5 4 5
AC∶BC＝_________.
【解析】由射影定理，得
AC2＝AD·AB，BC2＝BD
AB AB
∴AD
BD
.9 ，
16
答案：3∶4
AC 3 BC 4
1.对点和线段的射影的理解 点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段 的两个端点的射影确定；“线段的射影”简记为：平行长不变， 倾斜长缩短，垂直成一点. 2.应用射影定理的两个条件 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是直角三角形 斜边上的高.有时需要作出斜边上的高，才能应用射影定理.
3.射影定理的逆定理及其证明思路 射影定理的逆定理也是成立的.证明这个命题，可从以下两方 面来考虑： (1)“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形” 相联系； (2)我们往往将等式CD2＝AD·BD变形为 AD CD，这个比例式
CD BD
启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”.
3.已知：CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4，则AD的
长为_______，BD的长为_______.
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 B＝C2 =325.42
由射影定理，得AC2＝AD·AB，
∴AD＝AC2 32 9；
AB 5 5
同理BD＝BC2 42 16 .
应用射影定理解决几何计算问题
应用射影定理的技法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在 直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因此圆中有 关计算问题也常常考虑应用射影定理.
(3)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常常和直角 三角形的其他性质相结合，如勾股定理、三角函数关系、面积 公式等.
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引_垂__线___的垂足. (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的 _正__射__影__间__的线段. (3)点和线段的_正__射__影__，简称为射影.
2.射影定理 (1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项__. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比__例__中__项___. (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D.则 CD2＝__A_D_·__B_D_， BC2＝_B_D_·__A_B__， AC2＝_A_D_·__A_B__.
2.在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，DF⊥AC于点F， DE⊥AB于点E.求证： (1)AB·AC=AD·BC； (2)AD3=BC·BE·CF.
【证明】1.∵∠ACB＝90°，CF⊥BE，
∴在Rt△BCE中，由射影定理，得BC2＝BF·BE.
在Rt△ABC中，由射影定理，得BC2＝BD·BA.