【原创】江苏省2015届高三数学午间小练习及答案(11)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.解析：{}5,4,3,2,1=⋃B A ，故答案5 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析：66678564=+++++，故答案63.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解析：设z=a+bi,，则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-，所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以z 的模为522=+b a ，故答案54.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10；因为10>8，所以程序结束，故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2-1，=b ，若()()R n m b n a m ∈-=+,89，，则m-n 的值为______. 解析：因为()()R n m b n a m ∈-=+,89，，所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ，所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m ，7.不等式224x x-<的解集为________.解析：因为224x x-<，所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ，，，，故解析为()21，-8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. S ←1 I ←1While I<8 S ←S+2 I ←I+3 End While Print S解析：()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ，故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:圆柱的体积公式:V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 是高圆锥的体积公式:13V Sh =圆锥,其中S 是圆锥的底面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上.1.已知集合{1,2,3}A =,{2,4,5}B =,则集合AB 中元素的个数为 . 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 3.设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位）,则z 的模为 . 4.根据如图所示的伪代码,5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量a (2,1)=,b (1,2)=-,若m a +n b (9,8)=-(,)m n ∈R ,则m n -的值为 .7.不等式224xx-<的解集为 .8.已知tan 2α=-,1tan()=7αβ+,则tan β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =,且*11()n n a a n n +-=+∈Ν,则数列1{}na 的前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .13.已知函数()|ln |f x x =,20,01,()|4|2,1,x g x x x ⎧=⎨--⎩＜≤＞则方程|()()|1f xg x +=实根的个数为 .14.设向量a k πππ(cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k =+=⋅⋅⋅,则11(k =∑a k a k+1)的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =︒. （Ⅰ）求BC 的长; （Ⅱ）求sin2C 的值.16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =,设1AB 的中点为D ,11B C BC E =.求证:（Ⅰ）DE平面11AA C C ;（Ⅱ）11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5 千米和40 千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20 千米和2.5 千米,以2l ,1l 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ,b 为常数）模型. （Ⅰ）求a ,b 的值;（Ⅱ）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . （ⅰ）请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; （ⅱ）当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数32()=(,)f x x ax b a b ++∈R , （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数）,当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值.20.（本小题满分16分）设1a ,2a ,3a ,4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列, （Ⅰ）证明:12a ,22a ,32a ,42a 依次构成等比数列;（Ⅱ）是否存在1a ,d ,使得1a ,22a ,33a ,44a 依次构成等比数列?并说明理由;（Ⅲ）是否存在1a ,d 及正整数n ,k 使得1n a ,2n k a +,23n k a +,54n ka +依次构成等比数列?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A .（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.B .（本小题满分10分）选修4—2:矩阵与变换已知,R x y ∈,向量a 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2πsin()404ρθ+--=,求圆C 的半径.D .（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 解不等式||223x x ++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==.（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.23.（本小题满分10分）已知集合{1,2,3}X =,*{1,2,3,,}()n Y n n =⋅⋅⋅∈Ν,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ,a X ∈,}n b Y ∈,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （Ⅰ）写出(6)f 的值;（Ⅱ）当6n≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学ⅠA B中的元素个数为A B，再明确元素个数集合并集及其运算11BC CC C =1ACB C C =，，所以1BC AB ⊥∥平面1AA C(0,)⎫+∞⎪⎭时，，(0,)+∞上单调递增，在2,0),3a ⎛-+∞ ⎝,0)，2,3a ⎛- ⎝333)1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上()0g a <，且在31,,2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30≥因此c =()33),3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．综上（Ⅰ）分类讨论，利用导数的正负，即可得出()f x 的单调性；数学Ⅱ(附加题)21A.【答案】见解析【解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠．又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．uuu ruuu r。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______.解析：{}5,4,3,2,1=⋃B A ，故答案5 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析：66678564=+++++，故答案63.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解析：设z=a+bi,，则()i bi a 432+=+化为i abi b a 43222+=+-，所以⎩⎨⎧==-42322ab b a解得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ，所以z 的模为522=+b a ，故答案54.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10；因为10>8，所以程序结束，故S=75.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =r，，()2-1，=，若()()R n m n m ∈-=+,89，，则m-n 的值为______. 解析：因为()()R n m n m ∈-=+,89，，所以⎩⎨⎧-=-=+8292n m n m ，所以352-=-⎩⎨⎧==n m n m ，7.不等式224x x-<的解集为________.解析：因为224x x-<，所以()()2102102222<<-<-+<--<-x x x x x x x ，，，，故解析为()21，-8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.解析：()[]()()3757152711271tan tan 1tan tan tan tan ==⨯-+=++-+=-+=αβααβααβαβ，故答案3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

2015年高考江苏省数学卷（含答案）数学一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学Ⅰ【解析】{12A B=，，【提示】求出A BU，再明确元素个数集合并集及其运算】6】1(46x=+【提示】直接求解数据的平均数即可．平均数的计算．】（【解析】从中随机一次摸出】(2ma nb m n +=+【提示】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【考点】平面向量的坐标运算．】224xx-<【提示】利用指数函数的单调性转化为解不等式．】tan tan(β=31(2)7=-，【提示】直接利用两角和的正切函数，求解即可．两角和与差的正切公式．】221196ππ54+π28=33V 221196ππ8π433r r +=，解得r =等列式求得r ．】圆心到切线】1n n a a +-(1)1232n n n +==++++=1121n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭1111111202121223310111111⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【提示】数列{}n a 满足1()n n *+∈Ν，利用“累加求和”可得(1)2n n n a +=．再利用“裂0021x y -+又00)()x y +=00211x y ++的最小值为22c ∴【提示】双曲线2x -】πcos 6k ⎛⎝，π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos sin sin cos cos cos6666666666k k k k k k k k k +++++++++ π(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)ππ(1)πcos sin sin cos cos cos sin sin cos 666666666k k k k k k k k k +++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π(1)cos 66k +1111100π(1)π)cos cos 66k k k k k k a +==+=+∑∑π(1)πππcos 33sin 6636k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭以63=，1)3k k a +∴=【提示】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．cos 4AB AC A =+2sin 6021sin 7AB A BC ==317=-=cos 2C C =⨯（Ⅰ）直接利用余弦定理求解即可．2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34.27a 又b =2(0)3a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭设22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n kn k a d a d a d +++++=+，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【考点】等比数列的判定，等差数列、等比数列的性质，等差、等比数列的性质．数学Ⅱ(附加题){}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．，所以AD 是平面的一个法向量，(0,2,0)AD =因为(1,1,PC =，(0,2,PD =0PC =m ，0PD =m ，即20y z -=(1,1,1)=m 是平面PCD 33AD AD AD <>==，mm m ，33． （Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2BQ BP λλ==-，又(0,1,0)CB =-则(,CQ CB BQ λ=+=-，又(0,DP =-110CQ DPCQ DP CQ DP <>==，2,CQ DP <>=,CQ DP <>的最大值为所成角取得最小值，又因为BP =的一个法向量与平面9,10CQ DP <>≤。

2015²江苏卷(数学)1．A1[2015·江苏卷] 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．1．5 [解析] 因为A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，所以A ∪B 中元素的个数为5. 2．I2[2015·江苏卷] 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．2．6 [解析] x ＝16³(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.3．L4[2015·江苏卷] 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 3.5 [解析] 因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 4．L2[2015·江苏卷] 根据如图1-1所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S ←1I ←1While I<8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S图1-14．7 [解析] 第一次循环得S ＝1＋2＝3，I ＝1＋3＝4<8；第二次循环得S ＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7<8；第三次循环得S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10>8，退出循环，故输出的S ＝7.5．K2[2015·江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．5.56[解析] 方法一：以1表示白球，以2表示红球，以3，4表示2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求概率P ＝56.方法二：2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同，有1种情况，故所求概率P ＝1－16＝56. 6．F2[2015·江苏卷] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．6．－3 [解析] 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 7．E3[2015·江苏卷] 不等式2x 2－x <4的解集为________．7．{x |－1<x <2}(或(－1，2)) [解析] 因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．8．C5[2015·江苏卷] 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 [解析] 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.9．G7[2015·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．9.7 [解析] 设新的底面半径为r ，则13π³52³4＋π³22³8＝13πr 2³4＋πr 2³8 ，即283πr 2＝1003π＋32π，解得r ＝7. 10．H4[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 [解析] 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.11．D4[2015·江苏卷] 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．11.2011[解析] 因为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故∑n ＝110 1a n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝2011. 12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22[解析] 不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22. 13．B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．13．4 [解析] 当0<x ≤1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝1，解得x ＝1e或x ＝e(舍去)．当x >1时，由||f （x ）＋g （x ）＝1得||ln x ＝3－||x 2－4或||ln x ＝1－||x 2－4.分别在同一个坐标系中作出函数y ＝||ln x 与y ＝3－||x 2－4的图像(如图1)和函数y ＝||ln x 与y ＝1－||x 2－4的图像(如图2)．图1图2当x >1时，它们分别有1个、2个交点，故x >1时，方程有3个实根． 综上，方程||f （x ）＋g （x ）＝1共有4个不同的实根．14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ²a k ＋1)的值为________．14．93 [解析] 因为a k ²a k ＋1＝cosk π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎡⎦⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin（k ＋1）π6＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334， 所以k ＝011(a k ²a k ＋1)＝12³334＋12k ＝011c os （2k ＋1）π6＋k ＝011s in （2k ＋1）π6＝9 3.15．C8[2015·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2³2³3³12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ²sin A ＝2sin 60°7＝217. 因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ²cos C ＝2³217³277＝437. 16．G4、G5[2015·江苏卷] 如图1-2，在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.图1-216．证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C . (2)因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1. 17．B10、B11[2015·江苏卷] 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图1-3所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．图1-317．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1000t 2. 设点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x 3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3000t 22＝32t 2＋4³106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4³106t 4，则g ′(t )＝2t －16³106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5，102)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图1-4，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1-418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 19．B9、B12[2015·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值． 19．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫－2a3，0，则f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a3，0上单调递减； 当a <0时，若x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a3，则f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值分别为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎫427a 3＋b <0，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c .因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，所以在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立， 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]．因为函数f (x )有三个零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0， 且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上，c ＝1.20．D2、D3、D5[2015·江苏卷] 设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由．(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．20．解：(1)证明：因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a >d ，a >－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝⎛⎭⎫－12<t <1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，得t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k＝(a 1＋d )2(n ＋k )， 且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝da 1⎝⎛⎭⎫t >－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )，化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且k [3ln(1＋3t )＋ln(1＋t )－4ln(1＋2t )]＝n [2ln(1＋2t )－ln(1＋t )－ln(1＋3t )]． 再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ′1(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ′1(t )，则φ′2(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）>0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )>0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立，所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列． 21．N1[2015·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲]如图1-5，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .图1-5N2B .[选修4-2：矩阵与变换]已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．N3C .[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．N4D.[选修4-5：不等式选讲]解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.21．A.证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C . 又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ， 又∠BAE 为公共角，所以△ABD ∽△AEB .B ．解：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C ．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0，则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.D ．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2，解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 22．G11、G12[2015·江苏卷] 如图1-6，在四棱锥P - ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．图1-622．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 所以m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →＝(－1，0，2)，可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →²DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910， 当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|取得最大值为31010. 因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255. 23．M3[2015·江苏卷] 已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．23．解：(1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，f (k ＋1)在f (k )的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(i)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； (ii)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立； (iii)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立； (iv)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； (v)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； (vi)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 参考公式： 圆柱的体积公式：sh V =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高.圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为▲ ．3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄 球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-x x 的解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 ▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11I .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥. 17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点MBDABC到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程. M Nl 2l 1y CPl已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ∆∽AEB ∆B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D.（选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域．．．．．E（第21——A内．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 2020-2-8P A BCDQ。

2015年高考数学真题试卷（江苏省）填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题卡相应的位置1.(2015·江苏）已知集合A={1,2,3}，B={2,4,5}，则集合A B中元素的个数为_______________ 。

2.(2015·江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_______________ .3.(2015·江苏）设复数z满足z 2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为_______________ .4.(2015·江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_______________ .5.(2015·江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______________ .6.(2015·江苏）已知向量 a=（2,1）， b=（1，-2）, 若 m a+n b=(9,-8)(m,n R), 则m-n的值为_______________ .7.(2015·江苏）不等式 <4的解集为_______________ .8.(2015·江苏）已知tan =-2，tan( + )= ，则tan 的值为_______________ 。

9.(2015·江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_______________ 。

10.(2015·江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________ .11.(2015·江苏）数列{an }满足a1=1，且an+1-an=n+1(n N*)，则数列{ }的前10项和为_______________ 。

高三数学午间小练（6）（2） 已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为 ．2. 复数的实部为 ．3．命题“，”的否定为 ．4. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ．5. 已知，则．6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ．7．若向量、满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|+2|＝8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝ ．开始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN输出k结束(第8题)yxO3—39.已知函数（） 的部分图象如上图所示，则的函数解析式为 ．10. 如果圆x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆x2＋y2＝4总相交，则a的取值范围是 ．11. 过点.与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ．12.若关于的方程的两个根满足则实数的取值范围是 ．13. 对于函数定义域为而言，下列说法中正确的是 ．（填序号）①函数的图像和函数的图像关于对称。

②若恒有，则函数的图像关于对称。

③函数的图像可以由向左移一个单位得到。

④函数和函数图像关于原点对称。

14. 已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为 ．15.（本小题满分14分）已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．16．（本小题满分14分）ABCDA1B1C1(第17题)如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．答案1．4 2.3 3.4.45.6. 7.8. 119.10.11.12.13. ②④ 14.15.（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝． …………………6分（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0． (8)分所以tanθ＝－． …………………10分所以tan(θ＋)＝＝． …………………14分16.证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B． …………………12分因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B//平面ADC1． …………………15分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………12分因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………15分ABCDA1B1C1（第17题图）OABCDA1B1C1（第17题图）D1。