2017届中考数学压轴题专项汇编专题20简单的四点共圆

九年级数学四点共圆例题讲解知识点、重点、难点四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。

在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。

因此,掌握四点共圆的方法很重要.判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1。

如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：2。

如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

4。

如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。

其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是:1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C,且PA·PB =PC·PD,则A、B、C、D四点共圆。

3。

托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。

例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。

专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用四点共圆的判定方法：方法一：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；方法二：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆；方法三：若一个四边形的外角等于它相邻的内对角，则这个四边形的四个点共圆；方法四：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆方法五：同斜边的直角三角形的顶点共圆C AD B C A D经典例题题型1、先证四点共圆后，然后求线段最值问题（关键是找到动点的轨迹）例1、如图1，OA=OB=4，∠OCA=135°（1）求证：AC⊥BC；（2）如图2，点P与点B关于x轴对称，试求PC的最小值。

题型2、先证四点共圆后，然后求角度、三角函数值、或线段的比值（若从一个点出发的三条线段之间的比值问题，特别注意三弦定理）例2、如图，抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y=x-3经过M，B两点，交y轴于点D（1）求抛物线的解析式；（2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ，求∠PQC的度数例3、（2013年哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为例4、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．例5、如图1，直线y=−21x+2交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且S △AOC =8，双曲线 y=xk （x ＜0）经过点C （1）求k 的值； （2） 如图2，Q 为双曲线上另一点，连接OQ ，过C 作CM ⊥OQ 于M ，CN ⊥y 轴于N ，连接MN 。

2017中考专题复习一一圆题型一、勾股定理在圆中的应用1、( 2012成都)如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于H ,过CD 延长线上一点 E 作O O 的切线交 AB 的延 长线于F .切点为G ,连接AG 交CD 于K.(1) 求证：KE=GE(2) 若KG 2 =KD - GE 试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； (3) 在(2 )的条件下，若sinE=3 , AK=2-、3，求FG 的长.5F G52、( 2014?孝感)如图，AB 是O O 的直径，点 C 是O O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点 D ，直线 DC 与AB 的延长线相交于点 P ，弦CE 平分/ ACB ，交AB 于点F ,连接BE .(1) 求证：AC 平分/ DAB ;(2) 求证：△ PCF 是等腰三角形;(3)若tan / ABC= £，BE=7样叨，求线段PC 的长.33、( 2015?黄陂区校级模拟)如图，点P在y轴的正半轴上，O P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ ACD，BD分别交y轴和O P于E、F两点，交连接AC、FC .(1)求证：/ ACF= / ADB ;(2)若点A到BD的距离为m, BF+CF=n，求线段CD的长；(3)当O P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求岀其值；若发生变AO化，请说明理由.4、( 2013?成都模拟)已知：如图，在半径为4的O O中，AB , CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O O于点E,且EM > MC •连接DE，DE= .(1)求证：AM?MB=EM?MC ;(2)求sin/ EOB 的值；，求证：直线PE是O O的切线.5、( 2012?杭州)如图，AE切O O于点E，AT交O O于点M , N，线段OE交AT于点C，OB丄AT于点B，已知/ EAT=30 ，AE=3 皓，MN=2 •(1)求/ COB的度数；(2)求O O的半径R;(3)点F在O O上(是劣弧)，且EF=5，把△ OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合•在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找岀另一个顶点在O O上的三角形吗？请在图中画岀这个三角形，并求岀这个三角形与△ OBC的周长之比.6、( 2011?潍坊)如图，AB是半径O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过0点作BC的垂线0E，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O 的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.(1)求证：△ ABB A OFB;(2 )当厶ABD与厶BFO的面枳相等时，求BQ的长；(3) 求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点.专题二、三角函数在圆中的应用1、( 2014成都)如图，在O O的内接△ ABC中，/ ACB=90 , AC=2BC过C作AB的垂线I交O O于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A,C的一个动点，射线AP交I于点F,连接PC与PD, PD交AB于点G.(1)求证：△ PAS A PDF(2)若AB=5, A P=BP，求PD的长;AGx(3)在点P运动过程中，设BGtan AFD y，求y与x之间的函数关系式•(不要求写值范围)AEtan AFDFE2、( 2012?襄阳)如图，PB为O O的切线，B为切点，直线PO交O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O O 于点A，延长AO与O O交于点C,连接BC，AF .(1) 求证：直线PA为O O的切线;(2) 试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;tan Z十，求COS Z ACB的值和线段PE的长. 出x的取若BC=6，(3)24、( 2014?盘锦)如图，△ ABC中，/ C=90°点G是线段AC上的一动点(点G不与A、C重合)，以AG为直径的O O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F, EF交BC于点E,连结DE .(1)求证：DE是O O的切线;(2)若cosA =—, AB=8 '；, AG=2 汀耳，求2BE的长；BE的取值范围.专题三、相似三角形与圆的综合应用1、( 2010)已知：如图, ABC内接于eO, AB为直径，弦CE AB于F, C是A D的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、 (1)求证：P是ACQ的外心；3tan ABC ,CF 8(2 )若4,求CQ的长；BC于点p、3、( 2014?武侯区校级自主招生)如图，O O与直线PC相切于点C,直径AB II PC, PA交O O于D , BP交O O 于E, DE交PC 于F.(1)求证:PF2=EF?FD；(2)当tan/ APB= _, tan/ABE=丄,AP=、r：¥时，求PF 的长；2 3(3)若cosA=丄，AB=8 一；，直接写岀线段C(3)求证：仲 p Q )FPg^G .2、( 2014?镇江)如图，O O 的直径 AC 与弦BD 相交于点F ，点E 是DB 延长线上的一点，/ EAB= / ADB . (1) 求证：EA 是O O 的切线；(2) 已知点B 是EF 的中点，求证：以 A 、B 、C 为顶点的三角形与 △ AEF 相似; AE 的长.(2013?桂林)如图，在 △ ABC 中，/ C=90° E ,以AE 为直径作O O .求证：点D 在O O 上; 求证：BC 是O O 的切线；3、 / BAC 的平分线 AD 交BC 于D ，过点 D 作DE 丄AD 交AB 于(3)已知 AF=4，CF=2 •在(2)条件下，求(1) (2)24、( 2012?泰州)如图，已知直线丨与O O相离，OA丄l于点A，OA=5 . OA与O O相交于点P，AB与O O相切于点B，BP的延长线交直线丨于点C .(1)试判断线段_AB与AC的数量关系，并说明理由；(2)若PC=2(二求O O的半径和线段PB的长；(3)若在O O上存在点Q,使△ QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O O的半径r的取值范围.备用圉5、( 2012?德阳)如图，已知点 C 是以AB 为直径的O O 上一点，CH 丄AB 于点H ，过点B 作O O 的切线交直线 AC 于点D ，点E为CH 的中点，连接 AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于 G . (1) 求证：AE?FD=AF?EC ; (2) 求证：FC=FB ;6、如图，在 Rt △ ABC 中，/ B=90°，它的内切圆分别与三角 边切于点D,E,F ，连接AD 与内切圆相交于点 P ，连接 PC,PE,PF,FD,ED ，且 PC 丄 PF 。

九年级数学四点共圆例题讲解知识点、重点、难点四点共圆就是圆得基本内容，它广泛应用于解与圆有关得问题．与圆有关得问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来就是数学竞赛得热点内容。

在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆得有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。

因此，掌握四点共圆得方法很重要。

判定四点共圆最基本得方法就是圆得定义：如果A、B、C、D四个点到定点O得距离相等，即OA＝OB＝OC ＝OD，那么A、B、C、D四点共圆．由此，我们立即可以得出1、如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形得四个顶点共圆。

将上述判定推广到一般情况，得：2、如果四边形得对角互补，那么这个四边形得四个顶点共圆。

3、如果四边形得外角等于它得内对角，那么这个四边形得四个顶点共圆。

4、如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等得顶角，那么这两个三角形得四个顶点共圆。

运用这些判定四点共圆得方法，立即可以推出：正方形、矩形、等腰梯形得四个顶点共圆。

其实，在与圆有关得定理中，一些定理得逆定理也就是成立得，它们为我们提供了另一些证明四点共圆得方法．这就就是：1、相交弦定理得逆定理：若两线段AB与CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。

2．割线定理得逆定理：若相交于点P得两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

3、托勒密定理得逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA=AC·BD，则ABCD就是圆内接四边形。

另外，证多点共圆往往就是以四点共圆为基础实现得一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际就是同一个圆。

例题精讲例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。

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圆的有关性质一、选择题1．（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD,AD 分别与BC,OC相交于点E，F,则下列结论：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角,∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC,再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC;④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边,所以不一定全等．【解答】解:①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC,∴CB平分∠ABD,④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°,∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF,⑥∵△CEF和△BED中,没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．2．（2016·山东省德州市·3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股（长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少?"（ ）A．3步B．5步C．6步D．8步【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．【解答】解:根据勾股定理得：斜边为=17,则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步,故选C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=．（2016·山东省济宁市·3分)如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）3．A．40°B．30°C．20°D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°,再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．4. （2016·云南省昆明市·4分）如图,AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G,EF切⊙O 于点B，∠A=30°,连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ）A．EF∥CD B．△COB是等边三角形C．CG=DG D．的长为π【考点】弧长的计算；切线的性质．【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C;利用弧长公式计算出的长判断D．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF,又AB⊥CD,∴EF∥CD，A正确；∵AB⊥弦CD，∴=,∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD,∴△COB是等边三角形，B正确；∵AB⊥弦CD，∴CG=DG，C正确；的长为： =π,D错误,故选：D．5。

中考压轴题之四点共圆问题精讲精练一．选择题1．如图，圆内接四边形ABCD 的外角ABE ∠为80︒，则ADC ∠度数为( )A ．80︒B ．40︒C ．100︒D ．160︒(第1题图） (第2题图） (第3题图）2．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4BC =，8AB =，P 为AC 边上的一个动点，D 为PB 上的一个动点，连接AD ，当CBP BAD ∠=∠时，线段CD 的最小值是( )A B ．2 C ．1 D ．43．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点P 在矩形的内部，连接PA ，PB ，PC ，若PBC PAB ∠=∠，则PC 的最小值是( )A ．6B 3C ．4D ．44．如图，在矩形ABCD 中，5AD =，AB =E 在AB 上，12AE EB =，在矩形内找一点P ，使得60BPE ∠=︒，则线段PD 的最小值为( )A ．2B ．4-C ．4D ．5．如图，6AB AD ==，60A ∠=︒，点C 在DAB ∠内部且120C ∠=︒，则CB CD +的最大值( )A ．B ．8C ．10D ．二．填空题6．在ABC ∆中，4AB =，45C ∠=︒，则2AC BC +的最大值为 ．7．如图，P 是矩形ABCD 内一点，4AB =，2AD =，AP BP ⊥，则当线段DP 最短时，CP = ．8．如图，AB BC ⊥，5AB =，点E 、F 分别是线段AB 、射线BC 上的动点，以EF 为斜边向上作等腰Rt DEF ∆，90D ∠=︒，连接AD ，则AD 的最小值为 ．9．在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是线段AC 上一点，过E 作EG BC ⊥，交BC 于G ，连接BE ，点D 是BE 的中点，连接AD 交BC 于点F ．若25AD =，3BF =，则FG = ．10．如图，ABC ∆和BCD ∆均为直角三角形，90BAC BDC ∠=∠=︒，2AB =，连接AD ．若30ADB ∠=︒，则AC 的长为 ．11．如图，在四边形ABCD 中，6BD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．12．如图，在ABC ∆和ACD ∆中，45ABC ADC ∠=∠=︒，6AC =，则AD 的最大值为 ．13．如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，且90EDF ∠=︒，连接EF ，则DEF ∠的度数为 ．14．如图，以C 为公共顶点的Rt ABC ∆和Rt CED ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，30A DCE ∠=∠=︒，且点D 在线段AB 上，则ABE ∠= ，若10AC =，9CD =，则BE = ． 三．解答题 15．【问题原型】如图①，在O 中，弦BC 所对的圆心角90BOC ∠=︒，点A 在优弧BC 上运动（点A 不与点B 、C 重合），连结AB 、AC ．（1）在点A 运动过程中，A ∠的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若2BC =，求弦AC 的最大值．【问题拓展】如图②，在ABC ∆中，4BC =，60A ∠=︒．若M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则线段MN 的最大值为 ．16．【问题提出】九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在O 的内接四边形ABCD 中，BD 是O 的直径．A ∠与C ∠、ABC ∠与ADC ∠有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心O 不在O 的内接四边形ABCD 的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的A ∠与C ∠、ABC ∠与ADC ∠都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：BD是O的直径，∴，180∴∠+∠=︒，四边形内角和等于360︒，∴．A C（2）请回答问题2，并说明理由；【深入探究】如图（3），O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；（4）探究EF、GH满足的位置关系；（5）如图（4），若90CD=，请直接写出图中阴影部分的面积．BC=，2∠=︒，3C17．综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果B D∠=∠，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则180∠+∠=︒（依据1)AEC D∠=∠180B DAEC B∴∠+∠=︒∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2)∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1:；依据2:．（2）如图3，在四边形ABCD中，12∠的度数为．∠=∠，345∠=︒，则4拓展探究：（3）如图4，已知ABC=，点D在BC上（不与BC的∆是等腰三角形，AB AC中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E 四点共圆；②若22AB =，AD AF ⋅的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．18．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，点F 为AB 上的一个动点，连接FE 并延长，交CD 的延长线于点G ，以FG 为底边在FG 下方作等腰Rt FHG ∆，且90FHG ∠=︒．（1）如图①，若点H 恰好落在BC 上，连接BE ，EH ．①求证：2AD AB =；②若tan 2BEH ∠=，1GD =，求FHG ∆的面积；（2）如图②，点H 落在矩形ABCD 内，连接CH ，若4AD =，3AB =，求四边形FHCB 面积的最大值．19．如图，ABC ∆是等边三角形，以AC 为腰在AC 右侧作等腰()ADE AD AE ∆=，点D 与点C 重合，连接BE ．（1）如图①，过点C 作CG EB ⊥于点G ，若90CAE ∠=︒．①求证：BG CG =；②已知22BC =，求BCE ∆的周长；（2）如图②，若60DAE ∠=︒，将DAE ∆绕点A 逆时针旋转，使点E 落在BA 的延长线上．现DAB ∠内有一点M ，连接DM ，EM ，BM ，作DM 的垂直平分线交BM 的延长线于点N ，交EM 于点H ，直线NH 恰好过点A ．若2AE =，当EH 取得最大值时，求AN 的长．20．如图，在ABC ∆中，以AB 为直径作O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，CE BE =，过点E 作EF AC ⊥于点F ，FE 的延长线交AB 的延长线于点G ，连接DE ．（1）求证：FG 是O 的切线；（2）求证：2EG AG BG =⋅；（3）若1BG =，2EG =，求sin CDE ∠的值．参考答案一．选择题1.解：四边形ABCD 为圆内接四边形，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，180ABE ABC ∠+∠=︒，80ADC ABE ∴∠=∠=︒，故选：A ．2.解：90ABC ∠=︒，90ABP CBP ∴∠+∠=︒，CBP BAD ∠=∠，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，90ADB ∴∠=︒，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，142DE AB ∴==， 242EC EB ∴==，CD CE DE -， CD ∴的最小值为424-，故选：D ．3.解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，90ABP PBC ∴∠+∠=︒，PBC PAB ∠=∠，90PAB PBA ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，设圆心为O ，连接OC 交O 于P ，此时PC 最小，222246213OC OB BC =+=+=，PC ∴的最小值为2134-，故选：C ．4.解：如图，在BE 的上方，作OEB ∆，使得OE OB =，120EOB ∠=︒，连接OD ，过点O 作OQ BE ⊥于Q ，OJ AD ⊥于J ．12BPE EOB ∠=∠，∴点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OE 为半径的O ，∴当点P 落在线段OD 上时，DP 的值最小，四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，33AB =，:1:2AE EB =，23BE ∴=，OE OB =，120EOB ∠=︒，OQ EB ⊥，3EQ BQ ∴==，60EOQ BOQ ∠=∠=︒，1OQ ∴=，2OE =，OJ AD ⊥，OQ AB ⊥，90A AJO AQO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AQOJ 是矩形，1AJ OQ ∴==，23JO AQ ==，5AD =，4DJ AD AJ ∴=-=，22224(23)27OD JD OJ ∴=+=+=，PD ∴的最小值272OD OP =-=-，故选：A ． 5.解：如图，连接AC ，BD ，在AC 上取点M 使DM DC =，60DAB ∠=︒，120DCB ∠=︒，180DAB DCB ∴∠+∠=︒，A ∴，B ，C ，D ，四点共圆，AD AB =，60DAB ∠=︒，ADB ∴∆是等边三角形，60ABD ACD ∴∠=∠=︒，DM DC =，DMC ∴∆是等边三角形，60ADB ACD ∴∠=∠=︒，ADM BDC ∴∠=∠，AD BD =，()ADM BDC SAS ∴∆≅∆，AM BC ∴=，AC AM MC BC CD ∴=+=+， 四边形ABCD 的周长为AD AB CD BC AD AB AC +++=++，且6AD AB ==，∴当AC 最大时，四边形ABCD 的周长最大，则CB CD +最大，此时C 点在BD 的中点处，30CAB ∴∠=︒，AC ∴的最大值cos3043AB =⨯︒=，CB CD ∴+最大值为43AC =，故选：A ．二．填空题（共9小题）6.解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，45C ∠=︒，BCD ∴∆为等腰直角三角形，BD CD ∴=，设BD CD a ==，延长AC 至点F ，使得CF a =， 1tan 22a AFB a ∠==，作ABF ∆的外接圆O ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，则122AE AB ==，AOE AFB ∠=∠， 1tan 2AOE ∴∠=，4OE ∴=，222425OA =+=， ∴222()2()22()2AC BC AC BC AC CF AF OA OF +=+=+=+，∴2AC BC +的最大值为245410⨯=．故答案为：410．7.解：以AB 为直径作半圆O ，连接OD ，与半圆O 交于点P '，当点P 与P '重合时，DP 最短， 122AO OP OB AB ='===，2AD =，90BAD ∠=︒，22OD ∴=，45ADO AOD ODC ∠=∠=∠=︒，222DP OD OP ∴'=-'=-，过P '作P E CD '⊥于点E ，则2222P E DE DP '=='=-，22CE CD DE ∴=-=+，2223CP P E CE ∴'='+=． 故答案为：23．8.解：连接BD 并延长，如图，AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒，90EDF ∠=︒，180ABC EDF ∴∠+∠=︒，B ∴，E ，D ，F 四点共圆，DEF ∆为等腰直角三角形，45DEF DFE ∴∠=∠=︒，45DBF DEF ∴∠=∠=︒，45DBF DBE ∴∠=∠=︒，∴点D 的轨迹为ABC ∠的平分线上，垂线段最短，∴当AD BD ⊥时，AD 取最小值，AD ∴的最小值为25222AB =，故答案为：522． 9.解：连接AG ，将ACG ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ABM ∆，连接MG ，MF ，EG BC ⊥，90BAC ∠=︒，180BAC BGE ∴∠+∠=︒，∴点A 、B 、G 、E 四点共圆，GBE GAE ∴∠=∠，又点D 是BE 的中点，且AB AC =，90BAC ∠=︒，AD BD ∴=，ABE BAD ∴∠=∠，45BAD GAE ABE GBE ∴∠+∠=∠+∠=︒，45FAG ∴∠=︒，由旋转性质可得：90MAG ∠=︒，AM AG =，MB CG =，45MBA C ∠=∠=︒，45MAF FAG ∴∠=∠=︒，90MBF ∠=︒，在MAF ∆和GAF ∆中，AM AG MAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAF GAF SAS ∴∆≅∆，MF FG ∴=，EG BC ⊥，45C ∠=︒，EG GC MB ∴==，在MBG ∆和EGB ∆中，MB EG MBG EGB BG GB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MBG EGB SAS ∴∆≅∆，245MG BE AD ∴===，设CG x =，FG y =，则MB x =，FM y =，在Rt MBG ∆中，222(3)(45)x y ++=①，在Rt MBF ∆中，2223x y +=②，联立①②，解得1145x y =⎧⎨=⎩，22558x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（不合题意，舍去），33558x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（不合题意，舍去），4445x y =-⎧⎨=⎩（不合题意，舍去），综上，5FG =， 解法二：如图，延长AD 到H ，使得DH AD =，连接BH ，则ADE HDB ∆≅∆设AB AC x ==，AE BH y ==，则有228023x y y x x ⎧+=⎪⎨=⎪-⎩，解得622x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 12345FG ∴=--=．故答案为：5．10.解：90BAC BDC ∠=∠=︒，A ∴，B ，C ，D 四点共圆，30ADB ∠=︒，2AB =，30ACB ADB ∴∠=∠=︒，24BC AB ∴==，22224223AC BC AB ∴--2311.解：90BAD BCD ∠=∠=︒，A ∴，C 两点在以BD 为直径的圆上，∴当AB AD =，CB CD =时，四边形ABCD 面积最大，6BD =，32AB AD CB CD ∴====，∴四边形BCD 的面积为132322182⨯⨯⨯=．故答案为：18． 12.解：45ABC ADC ∠=∠=︒，A ∴，C ，D ，B 四点共圆，如图，作O 经过A ，C ，D ，B 四点，当()AD D '为直径时，AD 有最大值，45ADC ∠=︒，90AOC ∴∠=︒，OA OC =，AOC ∴∆是等腰直角三角形，6AC =，26322AO ∴=⨯=， 262AD AO ∴'==，即AD 的最大值为62．故答案为：62．13.解：如图，连接AD ，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，90ADC ∴∠=︒，AD CD =，45BAD C ∠=∠=︒，而90EDF ∠=︒，ADE CDF ∴∠=∠，在ADE ∆和CDF ∆中，BAD C AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE CDF ASA ∴∆≅∆，DE DF ∴=， 而90EDF ∠=︒，45DEF DFE ∴∠=∠=︒．故答案为：45︒．14.解：90ACB CDE ∠=∠=︒，30A DCE ∠=∠=︒，60DBC DEC ∴∠=∠=︒，B ∴、C 、D 、E 四点共圆，30DBE DCE ∴∠=∠=︒，30ABE ∴∠=︒，设BC x =，则2AB x =，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得222AB AC BC =+，10AC =，222(2)10x x ∴=+，解得：1033x =，1033BC ∴=， 设DE a =，则2CE a =，在Rt CED ∆中，由勾股定理得222CE DE CD =+，9CD =，222(2)9a a ∴=+，解得：33a =，33DE ∴=，63CE =，60ABC ∠=︒，30ABE ∠=︒，90CBE ABC ABE ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CBE ∆中，由勾股定理得2222103442(63)()33BE CE BC =--=． 三．解答题（共9小题）15.解：【问题原型】（1）A ∠的度数不发生变化，理由如下：12A BOC ∠=∠，90BOC ∠=︒，∴190452A ∠=⨯︒=︒； （2）当AC 为O 的直径时，AC 最大，在Rt BOC ∆中，90BOC ∠=︒，根据勾股定理，得222OB OC BC +=，OB OC =，∴222222OC BC ==⨯=， ∴222AC OC ==，即AC 的最大值为22；【问题拓展】如图，画ABC ∆的外接圆O ，连接OB ，OC ，ON ，则ON BC ⊥，60BON ∠=︒，122BN BC ==，sin60BNOB∴===︒M、N分别是AB、BC的中点，MN∴是ABC∆的中位线，12MN AC∴=，AC∴为直径时，AC最大，此时2AC OB==，MN∴16.解：【问题提出】（1）BD是O的直径，90A C∴∠=∠=︒，180A C∴∠+∠=︒，四边形内角和等于360︒，180ABC ADC∴∠+∠=︒；故答案为：90A C∠=∠=︒，180ABC ADC∠+∠=︒；（2）成立，理由如下：连接AC、BD，DAC CBD∠=∠，ACD ABD∠=∠，DAC ACD DBC ABD ABC∴∠+∠=∠+∠=∠，180DAC ACD ADC∠+∠+∠=︒，180ABC ADC∴∠+∠=︒；同理，180BAD BCD∠+∠=︒；【深入探究】（3）AD BC AB CD+=+，理由如下：连接AI、BI、CI、DI ，圆I是四边形ABCD的内切圆，AG AE∴=，DE DH=，CH CF=，BF BG=，AD BC AE ED BF CF AG DH BG CH AB CD∴+=+++=+++=+，即AD BC AB CD+=+，故答案为：AD BC AB CD+=+；（4）EF GH⊥，理由如下：连接EH、IH、IG、IF、GF ，四边形ABCD是圆O的内接四边形，180B D∴∠+∠=︒，BG IG⊥，IF BF⊥，90BGI IFB∴∠=∠=︒，180B GIF∴∠+∠=︒，GIF D∴∠=∠，GI IF=，1902GFI GIF∴∠=︒-∠，ED DH=，1902DEH D∴∠=︒-∠，GFI DEH∴∠=∠，GE GE=，GFE GHE∴∠=∠，GHE GFI IFE∴∠=∠+∠，IF IE=，IFE IEF∴∠=∠，90FEH EHG FEH IEF DEH EID∴∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒，EF GH∴⊥；（5）连接BD ，90C ∠=︒，90A ∴∠=︒，ABCD 是圆O 的内接圆，BD ∴是圆O 的直径，连接IF 、IH ，I 是四边形ABCD 的内切圆圆心，ADI IDH ∴∠=∠，ABI FBI ∠=∠，IH CD ⊥，IF BC ⊥，90BIF IBF ∴∠=︒-∠，90DIH IDH ∠=︒-∠， 1180()180()2BIF DIH IBF IDH ADC ABC ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠， 180ABC ADC ∠+∠=︒，90BIF DIH ∴∠+∠=︒，IF FC ⊥，IH CD ⊥，90C ∠=︒，IH IF =，∴四边形IHCF 是正方形， 90HIF ∴∠=︒，I ∴点在BD 上，3BC =，2CD =，326ABCD S ∴=⨯=四边形，90DIH IDH ∠+∠=︒，90IBF IDH ∠+∠=︒，DIH IBF ∴∠=∠，90IHD IFB ∠=∠=︒，DHI IFB ∴∆∆∽，∴IH DH BF IF =，即23IH IH IH IH-=-， 解得65IH =，3625I S π∴=，∴阴影部分的面积36625π=-．17.（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）解：12∠=∠，∴点A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，34∴∠=∠，345∠=︒，445∴∠=︒，故答案为：45︒；（3）①证明：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，点E 与点C 关于AD 的对称，AE AC ∴=，DE DC =，AEC ACE ∴∠=∠，DEC DCE ∠=∠，AED ACB ∴∠=∠，AED ABC ∴∠=∠，A ∴，D ，B ，E 四点共圆；②解：AD AF ⋅的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF ，点E 与点C 关于AD 的对称， FE FC ∴=，FEC FCE ∴∠=∠，FED FCD ∴∠=∠， A ，D ，B ，E 四点共圆，FED BAF ∴∠=∠，BAF FCD ∴∠=∠， A ∴，B ，F ，C 四点共圆，BAD FAB ∠=∠，ABD AFB ∴∆∆∽， ∴AD AB AB AF=，28AD AF AB ∴⋅==．18.（1）①证明：如图①中，过点E 作ET BC ⊥于点T ．四边形ABCD 是矩形，90A ADC EDG ∴∠=∠=∠=︒，在AEF ∆和DEG ∆中， 90A EDG AE EDAEF DEG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEF DEG ASA ∴∆≅∆，EF EG ∴=， FGH ∆是等腰直角三角形，HE EF EG ∴==，HE FG ⊥， 90A ABT ETB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABTE 是矩形，90AET FEH ∴∠=∠=︒，AEF TEH ∴∠=∠，在EAF ∆和ETH ∆中，90A ETH AEF TEH EF EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAF ETH AAS ∴∆≅∆，EA ET ∴=，∴四边形ABTE 是正方形，AE AB ∴=，2AD AE =，2AD AB ∴=；②解：如图①1-中，时FH 交BE 于点J ．FJB EJH ∠=∠，45FBJ EHJ ∠=∠=︒，BFH BEH ∴∠=∠， tan tan 2BFH BEH ∴∠=∠=，∴2BH FB =，EAF ETH EDG ∆≅∆≅∆， 1AF DG TH ∴===，设AB BT x ==，则121x x +=-，3x ∴=，2BF ∴=，4BH =， 在Rt BFH ∆中，22222425FH BF BH =+=+=，12525102DGH S ∆∴=⨯⨯=； （2）解：如图②中，过点H 作HQ AB ⊥于点Q ，过点E 作ER QH ⊥于点R ，连接BH ．同法可证，EAF ERH ∆≅∆，EA ER ∴=，AF RH =，2AE ED ==，2ER AE ∴==，四边形AQRE 是正方形，2AQ AE ∴==，1BQ ∴=，14122BCH S ∆∴=⨯⨯=，设AF RH y ==， 211125(3)(2)()2228BFH S y y y ∆∴=-⋅+=--+，102-<， 12y ∴=时，BFH ∆的面积最大，最大值为258， ∴四边形BCHF 的面积的最大值2541288=+=． 19.（1）①证明：如图①中，连接AG ，延长CG 交AB 于点J ，过点A 作AM CJ ⊥交CJ 的延长线于点M ，AN BE ⊥于点N ．CG BE ⊥，90OAE OGC ∴∠=∠=︒，AOE GOC ∠=∠，AOE GOC ∴∆∆∽，∴AO EO GO CO =，∴AO GO EO CO=， AOG EOC ∠=∠，AOG EOC ∴∆∆∽，45AGO ACE ∴∠=∠=︒，90OGJ ∠=︒，45AGN AGM ∴∠=∠=︒， AM GM ⊥，AN GN ⊥，AM AN ∴=，90ANB AMC ∠=∠=︒，AC AB =， Rt AMC Rt ANB(HL)∴∆≅∆，ACM ABN ∴∠=∠，AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠，GBC GCB ∴∠=∠，GB GC ∴=；②解：GB GC =，90BGC ∠=︒，22BC =，2GB GC ∴==， AB AC =，GB GC =，AG ∴垂直平分线线段BC ，30CAG ∴∠=︒，AOG EOC ∆∆∽，30OEC OAG ∴∠=∠=︒， 24EC CG ∴==，23EG =，223BE ∴=+，BCE ∴∆的周长22223422236BC BE EC =++=+++=++；（2）解：如图②中，以A 为圆心，AE 为半径作A ，设AN 交DM 于点J ．AD AE =，60DAE ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形，点D ，M 关于AN 对称，AD AM ∴=，∴点M 在A 上， 1302EMD EAD ∴∠=∠=︒，AN DM ⊥，90MJH ∴∠=︒，60AHE MHJ ∠=∠=︒，60AHE ADE ∴∠=∠=︒，A ∴，E ，D ，H 四点共圆， 60EHD EAD ∴∠=∠=︒，120AHD ∴∠=︒，∴当EH 是四边形AEDH 的外接圆的直径时，EH 的值最大，此时点C 与点M 重合，B ，C ，N 共线，且EM AD ⊥（如图②1-中），30AEM DEM ∴∠=∠=︒，90AEN ∴∠=︒，90BAN ∴∠=︒， 2AB AE ==，60B ∠=︒，tan 6023AN AB ∴=⋅︒=20.（1）证明：连接OE ，CE BE =，OA BO =，OE ∴是ABC ∆的中位线， //OE AC ∴，EF AC ⊥，OE EF ∴⊥，E 点在圆O 上，FG ∴是O 的切线；（2）证明：OE GF ⊥，90OEG ∴∠=︒，222OG OE EG ∴=+， 222()()EG OG OE OG OE OG OE =-=+-，EO BO OA ==， 2()()EG OG OA OG OB AG BG ∴=+-=⋅； （3）解：连接AE ，过E 点作EM AB ⊥交于点M ，2EG AG BG =⋅，1BG =，2EG 2AG ∴=，1AB ∴=，AB 是直径，90AEB ∴∠=︒，90OEG ∠=︒，AEO BEB ∴∠=∠，AO OE =，EAO OEA ∴∠=∠， BEG EAO ∴∠=∠，AEG EBG ∴∆∆∽，∴2EG EB AG AE =，设EB x =，则2AE x ， 在Rt ABE ∆中，2212x x =+，解得3x =，3BE ∴=，6AE =，AE BE AB EM ⋅=⋅，23EM ∴=，A 、B 、E 、D 四点共圆，CDE ABE ∴∠=∠，263sin sin 333EM CDE EBM EB ∴∠=∠===．。

四点共圆四点共圆的判定方法：(1）先证三点共圆,再证第四点也在此圆上（2）若干个点到某定点距离相等,则这些点共圆 （3)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.（5)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA •=•，则它的四个顶点共圆。

（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA •=•，则它的四个顶点共圆.（7)（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ,若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图,ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ,以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点,过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点,求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外,1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形ABCD 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，CBK DAM ∠=∠,求证：CKB DMA ∠=∠oB C A C M K DABCQP P1ARCB例6 如图,ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ,G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3，连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ,P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ，14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ,求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米,求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证:CP BQ =CBQPAA例12在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中,AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ,已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证:H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠BAE ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠CDE BCD ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高,l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥,设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明(托勒密定理）凸四边形ABCD 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB •=•+•例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。

2017 中考真题分类汇编—圆20．（ 10 分）（ 2017?安徽）如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC ，∠ B=∠D，AD 不平行于 BC，过点 C 作 CE∥AD 交△ ABC 的外接圆 O 于点 E，连接 AE．（1）求证：四边形 AECD 为平行四边形；（2）连接 CO，求证： CO 平分∠ BCE．21 世纪教育网2．（ 2017·福建）如图，四边形ABCD 内接于 e O ，AB是 e O 的直径，点P在 CA 的延长线上，CAD45o．[w^m#~*][ 来 @^源 ~: 中国教育 #出版网 %]（Ⅰ）若AB 4 ，求弧CD的长；（Ⅱ）若弧BC弧AD，AD AP ，求证： PD 是e O的切线．3. （2017·兰州）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC =∠AOD，∠D =∠BAF.(1) 求证：AD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，CE = 2，求EF的长.4．（ 2017·天水）如图，△ABD 是⊙ O 的内接三角形， E 是弦 BD 的中点，点 C 是⊙ O 外一点且∠ DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与 BC 相交于点C．（ 1）求证： BC 是⊙O的切线；（2）若⊙ O的半径为6， BC=8 ，求弦 BD 的长．．（·武威）如图，AN 是M 的直径，NB / / x轴，AB 交M于点C．5 2017(1) 若点A(0,6), N(0,2), ABN 30 ，求点B的坐标；(2) 若D为线段NB的中点，求证：直线CD 是 M 的切线．6．（ 2017·深圳）如图，已知⊙ O 的半径为 2，AB 为直径， CD 为弦． AB 与 CD 交于点 M ，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙ O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点 F （F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．7．（ 2017·广东）如图，AB 是⊙ O 的直径， AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B 重合），作CE⊥OB ，交⊙ O 于点 C，垂足为点E，作直径CD ，过点 C 的切线交DB 的延长线于点P， AF ⊥ PC 于点 F，连接 CB ．（1）求证：CB是∠ ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）25. 如图，是的直径，，，连接．（1）求证：；（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使，所在的直线与所在的直线相交于点，连接．①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．16.（2017·黄冈）已知：如图，MN 为O 的直径，ME是O 的弦，MD垂直于过点的直线DE，垂足为点 D ，且 ME 平分DMN .[来 #源 :中国教 ~︿育出版 & 网 @]求证：（1）DE是O 的切线；（2）ME2MD MN ．9. （2017·六盘水）如图，MN 是⊙O的直径，MN = 4，点A在⊙O上，∠ AMN，B= 30 °为AN的中点，P是直径MN上一动点.(1) 利用尺规作图，确定当PA + PB 最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2) 求PA + PB的最小值. [来~源#:中国教育&出*版网%][来源 %:^* 中国 ~教育 #出版10. （ 2017·河北）如图，AB 16 ，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270 后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q ，且点P， Q 在AB异侧，连接 OP ．(1) 求证：AP BQ；(2) 当BQ 4 3时，求QD的长(结果保留) ；(3) 若APO的外心在扇形COD 的内部，求 OC 的取值范围．11. （2017·菏泽）如图，AB 是⊙O的直径， PB 与⊙O相切于点 B ，连接 PA 交⊙O于点C.连接BC.（1）求证：BAC CBP ；（2）求证：PB2PC PA ；（3）当AC6, CP 3 时，求 sin PAB 的值.12．（ 2017·怀化）如图，已知BC 是⊙ O 的直径，点 D 为 BC 延长线上的一点，点 A 为圆上一点，且AB=AD ，AC=CD ．【来源： 21·世纪·教育·网】（1）求证：△ ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙ O的切线．13．（ 2017·随州）如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，AC=BC，点 O 在 AB 上，经过点A 的⊙O 与 BC相切于点D，交 AB 于点 E．（1）求证：AD平分∠ BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．21．（ 2017·武汉）如图，ABC 内接于O ，AB AC ,CO 的延长线交AB 于点 D ．[来源^:*&@中~教网][ 中国 #教*&育出版 ^@网 ]（1）求证AO平分BAC ；（2）若BC 6,sin BAC3，求AC和CD的长．514．（ 2017·张家界）在等腰△ABC中， AC=BC，以 BC 为直径的⊙ O 分别与 AB， AC 相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙ O的切线；（2）分别延长CB， FD，相交于点G，∠ A=60°，⊙ O 的半径为6，求阴影部分的面积．17. （ 2017·济宁）如图，已知⊙ O 的直径?AB=12，弦 AC=10， D 是BC的中点，过点 D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙ O的切线；（2）求AE的长．18. （ 2017 ·江西）如图 1，O 的直径AB12, P 是弦BC上一动点（与点 B,C 不重合），ABC300，过点P作PD OP 交O 于点 D .（1）如图2，当PD / / AB 时，求PD的长；（2）如图3，当DC AC 时，延长AB至点 E ，使BE 1 AB，连接DE．2①求证：DE是O 的切线；②求PC的长．19. 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. [ww~.(1) 如图 1，在半对角四边形 ABCD 中， ∠B = 1 ∠ D ， ∠ C = 1∠ A ，求 ∠ B 与 ∠ C 的度数之2 2 和；(2) 如图 2，锐角 △ ABC 内接于 ⊙O ，若边 AB 上存在一点 D ，使得 BD = BO ， ∠ OBA 的平 分线交 OA 于点 E ，连结DE 并延长交 AC 于点 ，. 求证：四边形 DBCF 是F ∠AFE = 2∠EAF半对角四边形； [w#w@w.zzstep.&%com*](3) 如图 3，在 (2) 的条件下，过点D 作 DG ^ OB 于点 H ，交 BC 于点 G ，当 DH = BG 时，求 △ BGH 与 △ ABC 的面积之比 .20 PT 与⊙ O 相切于点 T PO 与⊙ O 相交于 A ， B ．（ 2017·黔东南）如图，已知直线 ，直线两点．（ 1）求证： PT 2=PA?PB ；（2）若 PT=TB=，求图中阴影部分的面积．21.（ 2017·德州） 如图，已知 Rt ABC, C 90 , D 为 BC 的中点 . 以AC为直径的圆O交 AB 于点 E . （ 1）求证： DE 是圆O的切线 .(2) 若AE : EB 1: 2, BC 6，求 AE 的长 .23．（10 分）如图，在⊙ O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上，AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 D 的直线于 F，∠ 1=∠2，连结 BD 与 CG 交于点N．（1）求证：DF是⊙ O的切线；（2）若点M是OD的中点，⊙ O的半径为3，tan∠BOD=2，求BN的长．20．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作圆 O，分别交 BC 于点 D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．25．（ 10 分）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB 为直径，∠ BAC 的平分线交⊙ O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．（1）求证：AF⊥EF；（2）若AC=6，CF=2，求⊙ O的半径．22．（ 8 分）如图，△ ABC 中，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D， AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，交 CD 于点 F．且 CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙ O的切线；（2）若BD=DC，求的值．24．（ 12 分）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ ABC=90°，以 AB 为直径的⊙ O 与AC 交于点 D，点 E 是 BC 的中点，连接 BD， DE．（1）若=，求sinC；（2）求证：DE是⊙ O的切线．23．（ 9 分）如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是上半圆的弦，过点 C 作⊙ O 的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙ O 交于点F，设∠ DAC，∠ CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接 OF 与 AC 交于点 O′，当点 O′是 AC 的中点时，求α，β的值．18. 如图，在ABC中，AB AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF / /AB ，与过点 B 的切线交于点 F ，连接 BD .（1）求证：BD BF ；（2）若AB10 ， CD4，求 BC 的长.23．（ 2017 四川省德阳市，第23 题， 11 分）如图，已知AB 、 CD 为⊙Ｏ的两条直线，DF 为切线，过AO 上一点 N 作 NM ⊥ DF 于 M ，连结 DN 并延长交⊙ O 于点Ｅ，连结CE ．（1）求证：DMN ≌CED ；（2）设G为点Ｅ关于AB 对称点，连结GD． GN，如果∠ DNO ＝45°，⊙ O 的半径为3，求DN2GN 2的值．22．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙ O交AB于点D，AE平分∠ BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA 是⊙ O 的切线；（2）若BD=4DC，求DF的值．3CF24．（ 2017 四川省遂宁市，第24 题， 10 分）如图， CD 是⊙ O 的直径，点 B 在⊙ O 上，连接BC、BD，直线AB与CD的延长线相交于点A，AB2AD gAC ，OE∥BD交直线AB 于点E，OE与BC相交于点F．（1）求证：直线AE 是⊙ O 的切线；（2）若⊙ O的半径为3， cosA= 4，求 OF 的长．523．（本小题满分10分）如图，AB是⊙ O的直径，点D，E在⊙ O上，∠ A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD ．（1）求证：CE是⊙ O的切线；（2）若BF=2，EF=13 ，求⊙O的半径长．21．（ 8 分）（ 2017?黄石）如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆， BC 为⊙ O 的直径，点 E 为△ABC 的内心，连接 AE 并延长交⊙ O 于 D 点，连接 BD 并延长至 F，使得 BD=DF ，连接 CF、BE ．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF 为⊙ O 的切线．。

FhseFhee2017中考数学全国试题汇编-■■■■■圆24 （2017.北京）如图，AB是LI O的一条弦,LI O的切线交CE的延长线于点D .（1）求证：DB 二DE ；（2）若AB =12, BD =5，求LI O 的半径.【解析】E是AB的中点，过点E作EC_OA于点C ,过点B作试题分析：（1）由切线性质及等量代换推出/ 4=7 5,再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin7 DEF和sin7 AOE的值，禾用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）证明：T DC 丄OA, A / 1 + 7 3=90°, v BD 为切线，二OB 丄BD, /-Z 2+7 5=90°, v OA=OB, •••7 1=7 2，v/ 3=7 4，A/ 4=7 5,在厶DEB中, 7 4=7 5，A DE=DB.⑵作DF丄AB 于F,连接OE, ・，.EF^-EE=3/在RTADEF中，EA3, DE=BD=5J EQ3 , J.f~nj jQ-F* 4Y彗一3 =斗——=-3「.在irrAAOE 中rDE5TAEh,二曲二二■ ■考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数27 （2017甘肃白银）•如图，AN是L M的直径，NB//X轴, ~A OAB交L M于点C .(1)若点A 0,6 , N 0,2厂ABN =30°，求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是L M的切线.解：(1)v A 的坐标为(0, 6), N (0, 2)••• AN=4, .............................................................................................................. 1 分vZ ABN=30°, / ANB=90°,••• AB=2AN=8, ...................................................................................................... 2分•••由勾股定理可知：NB=4..3 ,••• B ( 4 3 , 2) ....................................................... 3 分(2)连接MC , NC ........................................................................................... 4 分v AN是O M的直径,•••Z ACN=90°°•••Z NCB=90° ° ................................................................................................... 5 分在Rt A NCB中,D为NB的中点,1•CD= = N B=ND ,2•Z CND=Z NCD, .............................. 6 分v MC=MN ,•Z MCN=Z MNC.vZ MNC+Z CND=90°°• Z MCN+Z NCD=90° ° ...................... 7 分即MC I CD.•直线CD是。

中考数学专题复习四点共圆模型含答案共圆模型模型1共端点，等线段模型如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O 为圆心，OA为半径的圆上．如图③，常见结论有：∠ACB＝12∠AOB，∠BAC＝12∠BOC.模型分析∵OA＝OB＝OC.∴A、B、C三点到点O的距离相等．∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上．∵∠ACB是AB的圆周角，∠AOB是AB的圆心角，∴∠ACB＝12∠AOB.同理可证∠BAC＝12∠BOC.（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．模型实例如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD．求证：∠1＋∠2＝90°.∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．∴△CAB ≌△DAE . ∴ED ＝BC ＝b∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°.在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ，∴BD 22BE ED -()222a b -224a b -．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt △ABC 和Rt △ABD 共斜边，取AB 中点O ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC =OD =OA =OB ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例例１如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF＝∠ADE．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１. ∴∠ADF＝∠ADE．例２如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB、DF.∵四边形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分线，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四点共圆．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所对的圆周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．1.如图，锐角△ABC中，BC.CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG BC证明：由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，∴B、C、D、E四点共圆．∴∠DBC=∠DEG，同理，Rt∠EDF与Rt△DGE共斜边DE，∴D、E、F、G四点共圆．于是∠DEG=∠DFG，因此，∠DBC=∠DFG．于是FG∥BC2. 如图， BE.CF为△ABC的高，且交于点H,连接AH并延长交于BC于点D,求证：AD⊥BC.3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，∴D，E，H在以AT为直径的圆上，∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，∴∠ATD=∠ATE，∴∠AHD=∠AHE．补充：。