《例5 航海――方位角》教学设计(辽宁省市级优课)

28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用学案一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相对应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度相关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.教学过程：问题引入(2007南充)如图：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距离为____二、探究例、(2006贵州)如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？练习：1.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A 与他正东方向的亭子B 之间的距离，如图他们选择了与码头A 、亭子B 在同一水平面上的点P ，在点P 处测得码头A 位于点P 北偏西30°方向，亭子B 位于点P 北偏东43°方向；又测得P 与码头A 之间的距离为200米，请你使用以上数据求出A 与B 的距离。

3.为建设山水园林式城市，内江市正在对城区河段实行区域性景观打造.如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B,C.在点B 处测得点A 在北偏东30度方向上，在C 点处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米.请你求出该河段的宽度（结果保留根号）.A4.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？ （精确到0.01海里）三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.65° 34°PBCA 803.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的相关知识加以解答，层层展开，步步深入.评价作业一、基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树根号）4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,AB=25×4=100.二、综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,三、拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这个海域?假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这个海域.。

人教版数学九年级下册《例5 航海——方位角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册《例5 航海——方位角》这一节主要介绍了方位角的概念及其应用。

通过本节课的学习，使学生理解方位角的含义，掌握方位角的计算方法，并能够运用方位角解决实际问题。

教材通过生动的航海实例，引导学生探究方位角，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的变换、计算已经有一定的基础。

但是，对于方位角这个概念，他们可能比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例，让学生感受方位角在实际生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。

同时，由于九年级的学生即将面临中考，他们的学习压力较大，因此在教学过程中，需要注重知识的巩固和拓展，提高他们的学习效果。

三. 教学目标1.理解方位角的概念，掌握方位角的计算方法。

2.能够运用方位角解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.方位角的概念。

2.方位角的计算方法。

3.方位角在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过生动的航海实例，引导学生探究方位角的概念和计算方法。

2.使用多媒体教学，展示航海图和实际问题，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，提高他们的合作能力。

4.注重知识的巩固和拓展，通过大量的练习，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的航海资料和图片，用于导入和展示。

2.准备方位角的计算练习题，用于巩固知识。

3.准备多媒体教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示航海图和实际的航海实例，引导学生思考航海中如何确定方向。

让学生感受到方位角在航海中的重要性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解方位角的概念，通过示例，让学生理解方位角的含义。

然后，介绍方位角的计算方法，让学生掌握如何计算方位角。

28.2解直角三角形（第二课时）一、内容与内容解析1.内容利用解直角三角形解决实际问题2.内容解析本节是在学习锐角三角形之后，结合已学过的勾股定理，研究解直角三角形的问题。

本课内容既能加深对锐角三角形函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到了承上启下的作用。

本节课的教学重点是：解直角三角形二、目标和目标解析1.目标（1）了解解直角三角形的意义和条件（2）能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形。

2.目达成目标（1）的标志是：知道解直角三角形的内涵，以及根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素；根据已知条件，能从全等三角形判定定理的角度，判断是否能解直角三角形。

达成目标（2）的标志是：根据元素间的关系，选择适当的直角三角形，求出所有未知元素。

三、教学问题诊断分析在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，虽然通过锐角三角函数概念的学习，学生有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，易混淆，也易出错。

另外，解直角三角形往往需综合使用勾股定理、锐角三角函数等知识，具有一定的综合性。

本节课的教学难点是：恰当选择锐角三角函数，把已知和未知联系起来。

四、教学过程设计1、温故知新问题1先画图后求解。

一艘货轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿着正南方向航行，另一艘货轮从P点出发，沿着南偏东30°的方向。

两艘货轮在B点相遇，问AB两点之间的距离是多少？师生活动：教师用视频演示作图过程，学生利用勾股定理解决两点间的距离问题。

设计意图：通过作图，让学生体会确定方位角的过程，让学生能直观地感知角度的变化。

追问1：是否有其他方法？设计意图：提出问题，引发学生思考，明确学习内容，引导学生把注意力聚焦在思考利用直角三角形解决实际问题。

28.2.2 解直角三角形应用举例—航海问题教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的特征，能准确表示出方位角。

2、巩固用三角函数及勾股定理有关知识解决实际问题，学会用方位角解决航海问题．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，体会解决问题的思维过程。

情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．学会合作探究，提高学生的学习数学的兴趣。

教学重点、难点重点：用三角函数及勾股定理有关知识解决航海问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、创设情境，引入航海问题。

2回顾什么叫做解直角三角形？如何解直角三角形？3、回顾方位角。

二、探索新知、分类应用【活动一】例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东600方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东300方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）方法小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数或勾股定理解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）检验是否符合题意，得到实际问题的答案。

【探究活动二】思考1、一艘船自西向东航行，航行到什么位置时离小岛最近？为什么？垂线段最短思考2、船有触礁的危险吗？茫茫大海中有一个小岛A,该岛四周16海里内有暗礁.今有货船由东向西航行,开始在距A岛30海里南偏东600的B处。

货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求出AC的长与16比较大小。

【探究活动三】例2 海中有一个小岛A，它周围8千米内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东600方向上，航行12千米到达C点，这时测得小岛A 在北偏东300方向上。

28.2.2解直角三角形的应用举例（三）——《航海方位角》教学设计教学内容：人教版九年级数学下册28.2.2解直角三角形的应用举例，P76页例5。

教学目标：例5是解直角三角形的方法在解决航海问题中的应用，《课程标准》对其要求是：1、弄清“北偏东”、“南偏东”等确定方位的常用术语；2、根据题意，画出示意图；3、利用解直角三角形的知识解答相关问题。

在此基础上，我对本节教学内容还制定了如下目标：数学怡情：结合郑和下西洋的历史适度实行学科融合，充分发挥每一份教育资源的作用，利用数学情境的艺术性、数学活动的探索性和创造性，感悟数学与生活之美、体验思维成长之乐；水平发展：提升数学建模水平，能将实际问题准确转化为数学符号及语言，并在观察、类比、猜想、分析、验证、归纳、应用、拓展等过程中，提升自身发掘知识、概括知识和应用知识的水平；面向未来：“授人以鱼不如授人以渔”，借助知识的形成过程，感受并学习数学应用于实践的方法，为今后更好的将数学应用于生活奠定基础。

教学重点：利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用。

教学难点：1、画示意图；2、结合条件和问题构造直角三角形。

教学支持：多媒体、几何画板。

流程创意：借郑和下西洋的行程串引教学内容，单线层层递进。

教学过程设计：环节一知识的孕育导学语：提到航海，咱们中国历史上有一位著名的航海家，他是郑和，我们通过短片先了解一下这段历史。

历史导学：多媒体播放郑和下西洋相关史料，时长约1分钟；过渡语：这节课，我们就随着郑和下西洋的航程，看看解直角三角形在航海方位角问题中如何应用。

首先，我们做一下准备工作--回顾方位角的相关知识。

环节二知识的回顾1、方位角概念。

（形式：多媒体播放）2、方位角作图：（形式：学生动手作图）作图计算 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与到小明家的距离相等，则学校在小明家的________。

教学活动方式：学生先动手作图，然后点学生依次回答作图步骤，课件依次动画演示作图。

解直角三角形的应用———航海问题一、教材分析：本节内容选自教材九年级下册第二十四章。

本节内容是在锐角三角函数与解直角三角形的基础上来进行学习的。

这节内容的学习，无论是对于巩固基础知识，还是对知识的有效迁移都是非常重要的。

这部分知识又是以后高中学习三角部分的基础，也是解决生活实际问题中一类重要的数学模型，是日常生活及其它学科学习的常用工具，如测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，而且在解决这部分问题时，也能让学生进一步感受联想、类比、化归、数形结合、特殊到一般等数学思想方法。

同时，也是发展学生核心素养的好素材，因此，这部分知识有着很重要的地位和作用。

二、学情分析由于本节内容是在锐角三角函数与解直角三角形的基础上来进行学习的，学生已经有了一定的学习基础，对于把实际问题抽象为数学问题学生有了一些经验，但是对于双直角三角形模型，学生还不了解，因此教学中应该从基本图形入手，通过变式手段逐步引导学生构建双直角三角形模型，并学会运用模型解决相关的实际问题。

三、教学目标【知识与技能】（1）能将实际问题转化为解三角形问题，会利用或构造直角三角形，借助边角关系解决航海及相关的实际问题。

（2）增加数学抽象能力以及分析能力、解决问题的能力。

【过程与方法】经历观察、分析、猜想、操作等数学活动及将斜三角形转化为双直角三角形的数学建模活动，感悟建模思想、数形结合思想、特殊到一般思想、类比及化归思想，进一步积累数学学习经验。

【情感态度与价值观】通过学习解直角三角形的应用，增强学习数学的兴趣，感悟数学在生活中的工具性，在数学活动中体验合作学习的重要性以及自身价值，感受到成功的快乐，并养成独立思考的学习习惯，增强克服困难的勇气。

四、教学重点、难点教学重点：会将简单的实际问题转化为数学问题，构建双直角三角形模型解决航海问题。

教学难点：选择恰当的辅助线构建双直角三角形模型。

五、教学策略1.教法分析：为了充分调动学生的学习积极性，发挥他们的主观能动性，使他们变被动接受为主动愉快学习，教师意识地通过设计一题多解，一题多变，一图多用的问题和习题，启发、引导、激励学生积极参与课堂活动（观察、猜想、试验、操作、思考、讨论、归纳、概括等），不但能帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点，也为有效发展学生核心素养创造了条件。

《应用举例》教案教学目标1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．2．逐步培养学生分析问题、解决问题的水平；渗透数形结合的数学思想和方法．3．巩固用三角函数相关知识解决问题，学会解决方位角问题．学习重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程一、寻疑之自主学习1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．图2图14．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tan α＝h l．6．AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为（B ）．A．2 B．C．4 D．7．[2019•济宁] 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为____1___．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b=∠A的平分线AD，解这个直角三角形．解：∠A=60°，∠B=30°，c=2b=a=9．如右上图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D )C．30米D．46米二、解惑之例题解析例1 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．6400cos 0.956400350OQ OF α==≈+ 18α∴≈∴ PQ 的长为186400 3.146402009.6180π≈××= 答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．OQFPαA BCD α βtan BD AD α=30BD AD ∴=60沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到1海里）解析：首先根据题意得出∠APC =90°-65°=25°，再利用解直角三角形求出即可．解：如图，在Rt △APC 中，∠APC =90°-65°=25° ∴PC =P A •cos ∠APC ≈80×0.91=72.505 在Rt △BPC 中，∠B =34°72.505130()sin sin 34oPC PB B ∴=≈≈海里 答：海轮所在的B 处距离灯塔P 约有130海里．例4 如图，一山坡的坡度为i = 1∶2． 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C ． 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m ）解析：在直角三角形ABC 中，已知了坡度即角ɑ的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC 的长．解：用α 表示坡角的大小，由题意可得 所以α ≈26.57° 1tan ==0.52a .240sin BC BC a =AC =在Rt △ABC 中， ∠B =90°，∠A = 26.57°，AC =240， 所以 BC =240×sin26.57°≈107.3（m ）答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m ．例5．如图，海中有一个小岛A ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？解析：过A 作AF ⊥BD 于点C ，求出∠FAD 、∠FAB 的度数，求出∠BAD 和∠ABD ，根据等边对等角得出AD ＝BD ＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出FD ，根据勾股定理求出AF 即可．解：由点A 作BD 的垂线交BD 的延长线于点F ，垂足为F ，∠AFD =90° 由题意图示可知∠DAF =30°设DF =x ，AD =2x 则在Rt △ADF 中， AF ===在Rt △ABF 中，3tan 3012x=+tan AFABF BF∠=解得x =6BAD60°==≈AF x610.410.4 > 8没有触礁危险三、尝试之知识巩固1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是______米．2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔m，则下面结论中准确的是（C ）高CD为+50)A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=1.5)m．4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，+（根号保留）．点C在BD上，则树高AB等于1)m5．(2019·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24 海里．6．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( C )B30︒AC．60︒D．,30︒7．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( C )A．20海里B．C．D．30海里8．如图，小华同学在距离某建筑物6 m的点A处测得广告牌B点，C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为 3.5 m ．四、【培优之达标测试】1．如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为2400米．2．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C，此时小霞在营地A的( C )A．北偏东20°方向上B．北偏东30°方向上C．北偏东40°方向上D．北偏西30°方向上3．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，因为受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B4．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1∶，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，则旗杆BC的高度是6 米．5．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是210 cm．6．如图，河堤横断面是梯形，上底为4 m，堤高为6 m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡BC的坡角为45 °，则河堤的横断面积是( A )．A．96 m2B．48 m2C．192 m2D．84 m27．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为( C )A．4km B．C．D．1)km8．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行海里．9．(2019·上海)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26 米．五、课堂小结：1．仰角、俯角当我们实行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》28.2 解直角三角形教学设计教学目标：1、知识与技能熟练使用直角三角形的三边关系，锐角三角函数的基本知识，将实际问题转化为求解直角三角形问题。

通过观察、思考、实践、交流等数学活动，让学生在实际应用中将实际问题转化为求解直角三角形问题。

3、情感态度与价值观通过小组交流，讨论学习，增强同学们的合作意识，培养积极向上的团队精神；通过观察、欣赏，通过对实际问题的转化，让学生体验生活中处处有数学，生活离不开数学。

教学重点：解直角三角形教学难点：应用锐角三角函数解直角三角形教学工具：多媒体教学课件教学课时：4课时教学过程：一、回顾解直角三角形的依据（1）三边之间的关系222c b a =+ （2）两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系正弦 c aA sinA =∠=斜边的对边余弦 c bA cos =∠=斜边的邻边A正切 baA A tan =∠∠=的邻边的对边A教师活动：引导学生回顾上节所学解直角三角形的要素，求解问题。

学生活动：通过解直角三角形，熟悉解直角三角形的一般步骤。

二、应用1.一个钢球沿坡角31 °的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）A. 5cos31 °B.5sin31 °C. 5tan31 °D. 5cot31 °2.如图：在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=2,AC=3.则sinB=_____.3105米ABCD学生活动：通过教师的引导，实际问题转化为解直角三角形，找到问题的突破口，求解问题。

基本概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1）仰角和俯角：（2）方位角：教师活动：给学生讲解仰角和俯角以及方位角的概念，使学生在后面的问题中能熟练使用。

应用3.如图：一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西200的方向行驶40海里到达水平线铅垂线仰角 俯角 视线视线30°45° BO A 东西 北 南C 地,则A,C 两地的距离为________。

28.2.2解直角三角形应用举例教学设计第二课时：航海——方位角一、学生知识状况分析：在本章内容里，学生已经学习了解直角三角形的基本方法，会用锐角的三角函数解直角三角形，但是对生活中解直角三角形的应用并没有一个系统的认识。

通过本节的航海问题，可以让学生对这个数学知识的实际应用有更深刻的认识。

二、教学任务分析：本节课通过航海问题中的两个实际问题的探究，让学生体会将实际问题转化为数学问题的转化思想，并且学会构造适当的直角三角形，熟练应用锐角的三角函数解直角三角形。

三、教学过程分析：本节课通过复习回顾、新课引入、探究、思考、讨论、归纳、小结、反思等环节的扎实推进，对航海中的方位角这个实际问题进行深度剖析，转化，从而归结出一般性的解决此类实际问题的方法。

【一】教学目标:①知识技能：了解方位角的概念；会将实际问题转化为解直角三角形的数学问题；会根据已知条件构造直角三角形。

②数学思考：学会将实际问题转化为数学模型，借助于几何图形建立直观思考模式，体现数形结合的数学思想。

③问题解决：对于含特殊角的非直角三角形，要想办法构造直角三角形，然后利用已经学过的解直角三角形的知识解答。

④情感态度：通过实际问题的探讨，培养学生的探索思考能力，小组分工合作能力和自我展现能力。

【二】教学重点：解直角三角形；【三】教学难点：①从实际问题中建立数学模型；②构造直角三角形。

【四】授课类型：新授课；【五】教学步骤：（1）复习回顾：①在直角三角形中,由求的过程,叫解直角三角形.②解直角三角形需要什么条件？（已知∠C=90°）; .③解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系？三边之间的关系： ； 两锐角之间的关系： ；边角之间的关系：（2）新课引入：1、 方位角的定义：方向线与 方向线所成的的 的角叫做方位角。

2、对方位角的定义理解：(1)若A 在B 的北偏东25°方向上，则B 在A 的（ ）；（2）若B 在A 的北偏西30°方向上，C 在A 的东北方向上，则锐角 =∠BAC ( )（3）探究一：如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）=A sin =A cos =A tan①根据已知在图中标出方向角：②根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A=，∠B=，PA=.③作高构造直角三角形：④写出解答过程：(4)探究二：如图，海中有一个小岛A，它周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在东北方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？(5)想一想：在“探究二”中，将“周围18海里”改为“周围10海里”，将“在B点测得小岛A在东北方向上”改为“在B点测得小岛A在北偏东60°方向上”，其他条件均不变，有没有触礁的危险？(6)试一试：在下列三角形中，根据已知条件如何构造直角三角形？（1）①如图，已知AB=2，求BC的长；②如图，已知BC=6，求AB的长。