6第四章 统计推断与预测

这些约束条件可以表示成为矩阵形式： Rβ = q
思想： 思想：假设检验的两种方法
对于参数约束的假设检验一般有两种方法。 一种是所估计的参数是否与约束条件接近， 另一种方法是给定约束条件下的最小二乘估计， 然后检验约束条件的成立程度。
(1) F - 统计量和最小二乘差异 统计量和最小二乘差异(least squares discrepancy) 下面我们以原假设的形式表示参数的 J 个线性约束：
本章对缩压模型参数约束假设检验的讲解， 本章对缩压模型参数约束假设检验的讲解， 采用由特殊到一般、由简单到复杂的原则。 采用由特殊到一般、由简单到复杂的原则。
（1）多个系数的联合检验 ）
上一章讲到的是系数显著性检验和系数组合 的假设检验，本质上为单个系数（ 的假设检验，本质上为单个系数（组合完后 仍为单个系数）的检验。 仍为单个系数）的检验。本部分主要介绍多 个系数是否显著的联合检验。要注意区别！ 个系数是否显著的联合检验。要注意区别！
有时需要同时检验若干个系数是否为0， 有时需要同时检验若干个系数是否为 ，这可以 通过建立单一的原假设来进行。 通过建立单一的原假设来进行。 设要检验g个系数是否为 ， 即与之相对应的g 设要检验 个系数是否为0， 即与之相对应的 个系数是否为 个解释变量对因变量是否有影响。 不失一般性， 个解释变量对因变量是否有影响 。 不失一般性 ， 可 设原假设和备择假设为： 设原假设和备择假设为： H0: β1 =β2 = … =βg =0 2 2 2 H1: H0不成立 或者 β12 + β2 + β3 +L+ βg ≠ 0
ln I t = β1 + β2 (it − ∆pt ) + β4 lnYt + β5 t + εt
约束条件： β2 + β3 = 0 。
（3）
这种假设利用第一个方程(1)表示，就是存在方程(1)的
上述例子说明，对于原模型的参数空间， 上述例子说明，对于原模型的参数空间，可 以通过参数约束进行一定程度的缩减或者压 缩，则称约束后的模型是原来模型的缩压模 型(nested model)。限制性条件意味着限制 。 性的参数空间小于非限制性参数空间， 性的参数空间小于非限制性参数空间，也就 是限制性模型被非限制性模型所包含。 是限制性模型被非限制性模型所包含。
一、限制性条件和缩压模型 (Restrictions and Nested Models)
其中，限制性条件是针对参数而言。 其中，限制性条件是针对参数而言。
考虑投资函数模型：
ln I t = β 1 + β 2 it + β 3 ∆pt + β 4 ln Yt + β 5 t + ε t
这个模型意味着投资者对名义利率 it ，通货膨胀 率 ∆p t ，实际产出对数 ln Yt ，以及时间趋势因素等变 量敏感。另外一种经济理论认为，投资者只对 “实际利率”反应敏感，则有对应的模型为：
S ≈ SR
如果H 为真，则由上一节中所讨论的残差平方和∑e 如果 1为真，则由上一节中所讨论的残差平方和 2的特 无约束回归增加了变量的个数， 点，无约束回归增加了变量的个数，应有
S < SR
通过检验二者差异是否显著地大， 通过检验二者差异是否显著地大，就能检验原假设是否成 立。
所使用的检验统计量是： 所使用的检验统计量是：
我们考虑线性模型：
y = Xβ + ε
我们考虑下述形式的线性约束(linear restrictions)： r11 β 1 + r12 β 2 + L + r1K β K = q1
r21 β 1 + r22 β 2 + L + r2 K β K = q 2 M rJ 1 β 1 + rJ 2 β 2 + L + rJK β K = q J
0.0710 21
用自由度（ ， ） 用自由度 （ 1，21）查 F表， 5%显著性水平 表 显著性水平 下， Fc=4.32 ∵F=0.18< Fc=4.32 故接受原假设H 故接受原假设 0:α+β＝1 （4）结论 ） 我们的数据支持规模收益不变的假设。 我们的数据支持规模收益不变的假设。
（2）更一般化的缩压模型 ）
Yt =β +βX1t +... +β XKt + ut 0 1 K
据此进行无约束回归（全回归） 据此进行无约束回归（全回归），得到残差平方和
ˆ 0 ˆ1 ˆk S = ∑ Yt −β −βX1t −... −βX Kt
S是H1为真时的残差平方和。 是 为真时的残差平方和。
(
)
2
如果H 为真，则不管X 如果 0为真 ， 则不管 1, …Xg 这 g个变量是否包括在模型 个变量是否包括在模型 所得到的结果不会有显著差别，因此应该有： 中，所得到的结果不会有显著差别，因此应该有：
检验的方法仍是分别进行有约束回归和无约束回归， 检验的方法仍是分别进行有约束回归和无约束回归， 求出各自的残差平方和 SR 和 S，然后用 F 统计量进行检 ， 当然，单个系数的假设检验， 验。当然，单个系数的假设检验，如 H0： β3=1.0，亦可 ， 检验统计量进行检验。 用t检验统计量进行检验。 检验统计量进行检验
(SR − S) K F= = S (n − K −1) (SST − S) =
(SST − SSER − S) S n-k-1
k
k = k S S n-k-1 n-k-1
SSE
注意：以上在推导过程中，用到（1）所有解释变量前系数为 注意：以上在推导过程中，用到（ ） 零的缩压模型的回归平方和SSER=0；（ ）原模型和缩压模型 ；（2） 零的缩压模型的回归平方和 ；（ 的总离差平方和SST相同。 相同。 的总离差平方和 相同 可见，与上一章方程显著性检验所构造的 统计量完全相同 统计量完全相同。 可见，与上一章方程显著性检到约束回归和全回归的残差平方和分别为 SR=0.0716 S=0.0710 （3）检验 ） 原假设 H0:α+β＝1 备择假设 H1:α+β≠1 本例中， 本例中，g=1, K=2, n=24
F=
(SR − S) g
S (n − K −1)
(0.0716 − 0.0710) 1 = 0.18 =
的观测值， 例：假设，给定20组Y, X1, X2, X3的观测值，试检验 假设，给定 组 模型中X 是否有影响？ 模型中 1和X3对Y是否有影响？ 是否有影响 解：（1）全回归 ：（ ）
Yt =β +βX1t +βX2t +βX3t + ut 0 1 2 3
估计得到：S =∑e2 = 25 估计得到： （2）有约束回归 ）
χ 2 分布， S
σ2
服从自由度为 n-k-1 的 χ 2 分布。
设给定一个显著性水平为α，可得到一个 临界值 Fα (g,n-k-1)。根据样本求出 F 统计量， 则检验规则是： 若 F ≤ Fα (g,n-k-1)，接受 H0； 若 F > Fα (g,n-k-1) , 拒绝 H0。
0
Fα (g, n-k-1) F 检验示意图
中参数是否显著不为 0。
F检验统计量的构造
上一段结果的一个特例是所有斜率系数均为0的检验 上一段结果的一个特例是所有斜率系数均为 的检验 即回归方程的显著性检验： ，即回归方程的显著性检验：
H0： β1 =β2 = … = βK = 0
也就是说，所有解释变量对Y均无影响。 均无影响。 也就是说，所有解释变量对 均无影响 注意到 g=K， ， 则该检验的检验统计量为： 则该检验的检验统计量为：
（2）检验其他形式的系数约束条件 ）
上面所介绍的检验若干个系数显著性的方法， 上面所介绍的检验若干个系数显著性的方法 ， 也可 以应用于检验施加于系数的其他形式的约束条件， 以应用于检验施加于系数的其他形式的约束条件，如
β2 = −1.0, β3 = β4 ,
β4 = 2.5
β2 1 = , α + β = 1 β 1 3
据此进行回归（有约束回归） 据此进行回归（有约束回归），得到残差平方和
ˆ ˆ ˆ SR = ∑ Yt −β −β X g+1 t −... −β X Kt
R 0 R g+1 R k
(
)
2
SR是H0为真时的残差平方和。 为真时的残差平方和。 若H1为真，正确的模型即原模型： 为真，正确的模型即原模型：
第四章 统计推断与预测
线性回归模型主要有三大内容： 线性回归模型主要有三大内容： 第一个是参数估计（ 第一个是参数估计（前面已经进行了比较详细的讨 论）； 第二个是参数的假设检验（ 第二个是参数的假设检验（前一章已介绍参数显著 性检验和方程显著性检验， 性检验和方程显著性检验，本章将要继续讨论这一 内容）； 内容）； 第三个是利用模型进行推断和预测。 第三个是利用模型进行推断和预测。在本章中我们 主要讨论古典线性模型的假设检验和预测问题。 主要讨论古典线性模型的假设检验和预测问题。 假设检验 问题
（1）
ln I t = β 1 + β 2 (it − ∆p t ) + β 3 ∆p t + β 4 ln Yt + β 5 t + ε t （2）
虽然这样的模型包含了新的理论，但是这种理论 不具有“可以检验的含义”（如果在模型中包含着一些 可以检验的限制，则称相应的理论具有可以检验的含义）， 因为这个模型中仍然包含了名义利率和通货膨胀率。但是， 如果考虑更强的假设，即理论假设投资者仅仅关注实际利 率，则导致的模型为：
R2 = 0.96 F = 252
Y=AKαL1-α
为避免回归系数的不一致问题， 两边除以L， 为避免回归系数的不一致问题， 两边除以 ，模型 变换为： 变换为：