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第五章 一元线性回归

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【计量经济学】第五章精选题与答案解析

【计量经济学】第五章精选题与答案解析

第五章 异方差二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？ （1）OLS 估计量及其方差； （2）置信区间；（3）显著性t 检验和F 检验的使用。

2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS ）优于OLS 法。

4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？ （1）图示法 （2）Park 检验 （3）White 检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：()i i i x E 22σε=如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。

三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：t t t D GNP C 4398.0624.019.26-+=e s ：（2.73）（0.0060） （0.0736）R ²=0.999t t t GNP D GNP GNP C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4315.06246.0192.25 e s ： （2.22） （0.0068）（0.0597）R ²=0.875式中，C 为总私人消费支出；GNP 为国民生产总值；D 为国防支出；t 为时间。

研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。

（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？ （3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。

（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？ （5）能否将两个回归方程中的R ²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：资料来源：“The Structure of Economists’ Employment and Salaries”, Committee on the National Science Foundation Report on the Economics Profession, American Economics Review, vol.55, No.4, December 1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。

一元与多元线性回归

一元与多元线性回归
1 一元线性回归
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 预测与估计
什么是回归分析？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
2. 回归平方和(SSR—sum squares of regression)
3. 残差平方和(SSE—sum squares of error)
–
判定系数R2
1. 回归平方和占总误差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20， 说明回归方程拟合的越差
8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关系数
(例题分析)
用Excel计算相关系数
估计方程的求法
(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
ˆ 0 t 2 (n 2) S xy y 1 + n
x0 x n 2 xi x
2 i 1
式中： Sy 为估 计标准误差
利用回归方程进行估计和预测
（预测区间估计）
• y 的个别值的预测区间 估计 1. 利用估计的回归方程 ，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因 变量 y 的一个个别值 的估计区间，这一区 间称为预测区间 2. y0在1-置信水平下的 预测区间为

数值计算05-回归分析

数值计算05-回归分析

ˆ 的置信区间为 [0.6047,0.834]; 1
r =0.9282,
2
F=180.9531,
p=0.0000
p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而 第二个数据可视为异常点. 4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
数值计算 第五章 回归分析
Galton公式:
y 33.73 0.516x
其中x 表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。
y(cm) 160.07 168.23 173.39 178.55 x(cm) 150 160 170 180
183.71
188.87 194.03
190
200 210
回归分析的内容
回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量y与自变量x 1, x2 ,… , xm 之间的回归 模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量x i(i=1,2,…,m) 对y 的影响是否 显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对y 进行预报或控制。
一元回归的Matlab实现
1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）

5第五章 一元线性回归的假设检验

5第五章 一元线性回归的假设检验

（OLS)估计量有最小方差。这使得OLS估计 量有着优良的性质可以进行统计推断
完全满足这些假定的方程在现实中是不存 在的，但这些假定为我们提供了一个比较 的基准，本课其他部分主要是围绕假定不 被满足时，分析后果，提出解决办法。返 回
第二节 OLS估计量的性质：高斯-马 尔可夫定理 p127
一、高斯-马尔可夫定理
当X是非随机的时，该假定自动满足 X是抽样时候人为设定的：比如前例中把家庭收入分
组
假定5：正态性假定：随机误差项服从正态分布
i ~ N (0, )
2
假定6：样本容量N>待估参数个数 假定7：解释变量 X值有变异性
即X有一个相对较大的取值范围 如果X只在一个狭窄的范围内变动，则无法充分估计X
若
|t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；返回
4、例题：葡萄酒拍卖价格的回归分 析
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
b
i
(n 2) Sb2i
b2
i
~ 2 (n 2)
ˆ bi bi 则t ~ t (n 2), 可以利用该信息进行统计检验 Sbi
返回
第三节 一元线性回归模型的假设检验 p130
一、检验 二、参数的显著性检验 三、回归的拟合优度检验 四、回归分析结果的报告 五、综合实例：美国商业部门工资和生产 率的关系 返回

概率论与数理统计第五章习题解答

概率论与数理统计第五章习题解答

第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解解：这是检验正态总体数学期望μ是否为提出假设：0.32:,0.32:10≠=μμH H由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61.10.320N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(61=+++++⨯=x89.061.10.326.310-=-=-=n x u σμ因 0.89 1.96u =<它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显着为32.0kg/cm 2。

解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10提出假设：10:,10:10>≤μμH H 即：10:,10:10>=μμH H由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，km x 万1.10=，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51.010N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251.0101.100=-=-=n x u σμ 因 2.24 1.64u =>它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。

解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240提出假设：240:,240:10<≥μμH H即：240:,240:10<=μμH H由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625240N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.16252402200-=-=-=n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-它落入拒绝域，于是拒绝H 0，而接受H 1，即可以认为240<μ 所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量μ显着减少。

一元线性回归方程

一元线性回归方程

一元线性回归方程
一元线性回归方程:当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。

一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系
一元线性回归方程反映一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。

经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。

注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。

1. 根据提供的n对数据在直角坐标系中作散点图，从直观上看有无成直线分布的趋势。

即两变量具有直线关系时，才能建立一元线性回归方程。

2. 依据两个变量之间的数据关系构建直线回归方程：Y=a+bx。

简单线性回归（Simple linear regression）也称为一元线性回归，是分析一个自变量（x）与因变量（y）之间线性关系的方法，它的目的是拟合出一个线性函数或公式来描述x与y之间的关系。

一元线性回归分析PPT课件

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拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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第五章回归预测法(教材第五到八章)


yi y 2
i 1
n
b
i 1 n
xi x
n
2
i 1
yi y
2
3 、 回归方程的显著性检验
• 在求出回归系数后，需进行显著性 检验。回归系数的显著性检验有t 检验和F检验，前者是检验单个系 数是否显著的异于零，即对应的自 变量的变化是否显著地影响因变量 的变化，后者是检验所有系数是否 同时为零，但是对于一元线性回归 有 Fα(n-2)=tα/22(n-2), 因 此 只 需 做t检验或F检验即可。
二、变量间的关系
2 、相关关系
1. 变量间关系不能用函数关 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几 个 4. 各观测点分布在直线周围
y



x
二、变量间的关系
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
第五章
一元线性回归预测法
• 一、建立一元线性回归模型： • 例：下表给出了某市从90年以来人均 收入和人均消费支出的七组数据
年份 90 91 510 450 92 545 490 93 590 530 94 640 580 95 700 620 96 760 680
人均收入 480 人均消费 420
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关关系的类型
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 正 相 关 负 相 关 不相关

一元线性回归模型检验

§2.4 一元线性回归的模型检验一、经济意义检验。

二、在一元回归模型的统计检验主要包括如下几种检验1、拟合优度检验(R2检验;2、自变量显著性检验(t检验;3、残差标准差检验(SE检验。

•主要检验模型参数的符号、大小和变量之间的相关关系是否与经济理论和实际经验相符合。

一、经济意义检验i•二、统计检验•回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数,或者说是用样本回归线代替总体回归线。

•尽管从统计性质上已知,如果有足够多的重复抽样,参数的估计值的期望(均值就等于其总体的参数真值,但在一次抽样中,估计值不一定就等于该真值。

那么,在一次抽样中,参数的估计值与真值的差异有多大,是否显著,这就需要进一步进行统计检验。

1、拟合优度检验拟合优度检验:对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

度量拟合优度的指标:判定系数(可决系数R2(1、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值(X i ,Y i ,通过估计得到如下样本回归直线ii X Y 10ˆˆˆββ+=i i i i i i i y e Y Y Y Y Y Y y ˆˆ(ˆ(+=-+-=-=总离差平方和的分解ii X Y 10ˆˆˆββ+=ˆ(ˆY Y y i i -=i i i i i i i ye Y Y Y Y Y Y y ˆˆ(ˆ(+=-+-=-=Y 的i 个观测值与样本均值的离差由回归直线解释的部分回归直线不能解释的部分离差分解为两部分之和总离差平方和的分解公式:TSS=RSS+ESS,TSS 总离差平方和,ESS 为回归平方和,RSS 为残差平方和.((((((((0ˆˆˆ,0.0ˆˆ(ˆ(ˆˆ(2ˆˆ: 1022222222ˆˆˆˆˆˆ=+===-=-=--+=+=-+-=-+--+-=-+-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ii i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i X e e Y e e e Y Y e Y Y e Y Y ESS RSS y e Y Y Y Y TSS Y Y Y YY Y Y YY Y Y Y Y Y Y Y ββ而因为证明TSS=ESS+RSSY的观测值围绕其均值的总离差(total variation可分解为两部分:一部分来自回归线(ESS,另一部分则来自随机部分(RSS。

从统计学看线性回归（1）——一元线性回归

从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。

⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。

⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。

该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。

式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。

⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。

ε表⽰其他随机因素的影响。

⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。

E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。

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以上假设也称为线性回归模型的经典假设或
高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模 型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
5.2.2普通最小二乘估计量的方差与标准误
b1和b2的方差和标准误分别是：
Var (b1 ) b21 n xi
2 2 i i 2 2 i i 2 i i
2
同理可得： E(b1 )=E(B1 + wi i )=E(B1 )+ wi E (i ) B1
（3）有效性（最小方差性，即在所有线性无偏 估计量中，最小二乘估计量 b1 , b2 具有最小方差
Var (b2 ) Var ( kiYi ) ki2Var ( B1 B2 X i i ) xi 2 2 2 k Var ( i ) ( ) 2 2 x x i i
i i i i 2 i 2 i i i 2 i 2 i i
因为 xi = ( X i X ) 0 xi 故b2 Y kiYi 2 i xi 1 1 b1 Y b2 X Yi kiYi X ( Xki )Yi wiYi n n
随机样本回归函数：
Yi b1 b2 xi ei
ei称为残差项，是ui的估计量
ˆ ei Yi Y i

回归分析的主要目的是根据样本回归函数来估计总体回 归函数。
5.1.6线性回归的特殊意义
（1）变量线性，其含义是，应变量的条件均值是 自变量的线性函数。 （2）参数线性，其含义是，应变量的条件均值是 参数B的线性函数，而变量之间不一定是线性的 。
(2)即使模型中包括了所有决定数学分数的有关变量，其内 在随机性也不可避免，这是做何种努力都无法解释的。 (3) 代表测量误差。 (4)“奥卡姆剃刀原则”，即描述应该尽可能简单，只要不 遗漏重要的信息。



5.1.5样本回归函数

样本回归线
样本回归函数

ˆ b b x Y i 1 2 i

当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或 渐近性质： （ 4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的 均值序列趋于总体真值； （ 5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值； （ 6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在
所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
2 X i 2 2
se(b1 ) Var (b1 ) Var (b2 )
2 b2 2 x i

2
se(b2 ) Var (b2 )
由于随机项i不可观测，只能从i的估计——残 差ei出发，对总体方差进行估计。 随机误差项
i的方差估计量为：
2 e i ˆ2 n2
的方差估计量为：
2
ei 2 ˆ n2
通过变化可得：
E(
2 e i
n2
) 2
5.2.4 OLS估计量的抽样分布或概率分布
中心极限定理： 随着变量个数的无限增加，独立同分布随机变量近似服从正态 分布。
b1,b2的均值和方差分别是：
b1 ~ N ( B1 , )
2 b1

2 b1
2 i
先求b1 , b2的方差
Var (b1 ) Var ( wiYi ) wi2Var ( B1 B2 X i i )
2 1 2 2 1 1 2 2 2 Xki 2 Xki X ki n n n 2 1 2 xi 2 2 X ki X 2 xi n n
xi 令 ki , 2 xi
（2）无偏性，即估计量 b1 , b2 的均值等于总体回 归参数真值 B1, B2
证明：b2 kiYi ki ( B1 B2 X i i ) B1 ki B2 ki X i ki i
i i 2 i i i
x 因为 k = 0, k X 1 x 故 b B k E(b )=E(B + k )=B + k E ( ) B
i 2 i 2
ˆ i Y i b1 b2 X i e Y i Y
min
2
e
2 i
Y i b1 b2 X i min
2
ei2 2 Y i b1 b2 X i 0 b1 2 ei 2 Y i b1 b2 X i X i 0 b2

总体回归线
总体回归函数： E(Y｜Xi)=B1+B2X
E(Y｜Xi)表示给定X值相应的(或条件的)Y的均值。 B1称为截距，B2称为斜率。

5.1.3总体回归函数的统计或随机设定
随机或统计总体回归函数： Yi=B1+B2Xi+ui ui表示随机误差项

5.1.4随机误差项的性质

(1)随机误差项代表了模型中并未包括的变量的影响。
i 2 2
X X
(6)
拟合直线的性质

拟合直线过Y和X的平均数点
估计残差和为零
Y的真实值和拟合值有共同的均值
估计残差与自变量不相关
估计残差与拟合值不相关
拟合值与残差不相关
自变量与残差不相关
ˆ Y Y
i
i
ei b1 b2 X i ei
注意：这里的残差与 随机扰动项不是一个 概念。随机扰动项是 总体的残差。

纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不
好，差异小拟合好，所以又称为拟合误差或残差。

将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最 好”直线就是使误差平方和最小的直线。

于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题
转换为求误差平方和最小。
数学推证过程
ei Y i Y ˆ Y i b1 b2 X i
(1) (2)
nb1 x b2 Y i (3) i 2 b b2 X iY i (4) 1 x x i i


或
n Xi
b2
nXY X Y X n X
i i 2 i
b1 Y i b2 X iY i i ˆX b1 Y b (5) 2
残差和=0
平均数相等
估计残差与自变量不相关

x ,e

cov x, e 1 n
xi x
2
1 n
ei e
2
0 cov x, e 0
1 ˆ x i x e i e cov x, u n x i x e i x ie i x e i 由(2)式

线性回归是指参数线性的回归，而解释变量并不 一定是线性的。
5.1.7 最小二乘法的基本思想及参数估计
一、问题的提出——必要性

如果两个变量之间存在线性变化关系，那么这种关系 的具体表现形式是什么？

最好用数学表达式将这种关系尽可能准确、严谨的表 示出来——y=a+bx+u——把它们之间的内在联系挖掘 出来。也就是直线中的截距a=Fra bibliotek；直线的斜率b=？
* 2
同理，可证明B1的最小二乘估计量b1具有最小的方差。
普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE）
（4）随机误差项估计量的无偏性问题
因为随机误差项
i

已知b2是服从均值为B2，方差为
x
2
2 i
的正态分布。

可以选择置信区间法和显著性检验法对B2,B1的参数进行假 设检验。
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计 量 经 济 学
第五章 一元线性回归
5.1 线性回归的基本思想： 双变量模型
5.1.1回归的含义
回归分析是用来研究一个被解释变量或应变量与另一 个或多个解释变量或自变量之间的关系。
回归并不意味着存在因果关系，因果关系的判定或推 断必须依据经过实践检验的相关理论。


5.1.2总体回归函数
x ie i x e i x ie i x 0
cov x, e 0
xe
i
i
0
估计残差与拟合值不相关
1 ˆ, e y ˆy ˆ e cov y n
ˆy ˆ e ye ˆ ye ˆ y ˆ y ˆ e ye ˆ ye b b x e b e b x e b e b x e 0
1 2 i 1 2 i 1 2 i


5.1.8对数学S.A.T分数回归结果的解释

数学S.A.T分数回归结果：
ˆ 432.4138 0.0013X Y i i

斜率系数0.0013表示在其他条件保持不变的情况下，家 庭年收入每增加1美元，数学SAT分数平均提高0.0013分 。截距432.4138表示，当家庭年收入为0时，数学平均分 大约为432.4138。
注意：在这里对截距的解释没有经济意义。

5. 2 双变量模型：假设检验
5.2.1 线性回归模型的基本假设
（1）回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性 的。 （2）解释变量X与随机误差项之间不相关。 （3）随机误差项具有零均值。 （4）随机误差项同方差。 （5）随机误差项之间不相关。 （6）回归模型是正确设定的。