2015年秋季线性代数作业

兰州大学《线性代数》15秋在线作业1满分答案一、单选题（共 16 道试题，共 80 分。

）1. 题面见图12A. AB. BC. CD. D正确答案：B2. 题面见图9线性代数习题答案A. AB. BC. CD. D正确答案：B3. 题面见图2A. AC. CD. D正确答案：C4. 题面见图4A. AB. BC. CD. D正确答案：D5. 题面见图15A. AB. BC. CD. D正确答案：C 6. 题面见图18B. BC. CD. D正确答案：D7. 题面见图9A. AB. BC. CD. D正确答案：C8. 题面见图22A. AB. BC. CD. D正确答案：C9. 题面见图26A. AB. BC. CD. D正确答案：B10. 题面见图1A. AB. BC. CD. D正确答案：B11. 题面见图30A. AB. BC. CD. D正确答案：C12. 题面见图13A. AB. BC. CD. D正确答案：C13. 题面见图15A. AB. BC. CD. D正确答案：C14. 题面见图19A. AB. BC. CD. D正确答案：D15. 题面见图21A. AB. BC. CD. D正确答案：C16. 题面见图17A. AB. BC. CD. D正确答案：C《线性代数》15秋在线作业1二、判断题（共 10 道试题，共 20 分。

）1. 题面见图1-5B. 正确正确答案：B2. 题面见图1-8A. 错误B. 正确正确答案：A3. 题面见图1-3A. 错误B. 正确正确答案：B4. 题面见图1-10A. 错误B. 正确正确答案：A5. 题面见图1-2A. 错误正确答案：B6. 题面见图1-1A. 错误B. 正确正确答案：B7. 题面见图1-4A. 错误B. 正确正确答案：B8. 题面见图1-5A. 错误B. 正确正确答案：B9. 题面见图1-7A. 错误B. 正确正确答案：A10. 题面见图1-6A. 错误B. 正确正确答案：BED7A766DD0189DD8。

2015~2016学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设123,,2a a a =，则1321223,43,a a a a a -+=．解析：132121312131231231212323,43,23,3,=323,,=33,,=9,,=9(1)(1),,18a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+=-------=-.注释本题知识点：行列式的性质（1）行列式的某一列乘以一个倍数加到另一列；（2）行列式的某一列提一个公因数；（3）行列式某两列互换.答案：-182.已知向量组1(1,2,3)Tα=,2(,2,3)Tk α=,3(1,,1)Tk α=，0k >，如果向量组123,,a a a 线性相关，则常数k =．解析：由123,,a a a 线性相关有，1122(1)(32)0331=--=k k k k 得21,3或k k ==.注释本题知识点：n 个n 维列向量组线性相关的充分必要条件是，由他们组成的行列式等于0.答案：21,3或k k ==,结果不唯一.3.已知三阶矩阵A 的特征值互不相同，且0=A ，又123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，则方程组0=Ax 的通解为．解析：由1230=A λλλ=得特征值123,,λλλ至少有一个为0.由A 的特征值互不相同，得123,,λλλ中一个为0另两个不为0，所以由A 的秩为2.从而0=Ax 的基础解系含一个向量.由123,,ηηη是非齐次方程组=Ax b 的三个不同解向量，得1213--ηηηη，或为0=Ax的基础解系。

所以，方程组0=Ax 的通解为11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.注释本题知识点：（1）矩阵行列式的值等于它的所有特征值的乘积；（2）齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩；（3）非齐次方程组和齐次方程组解之间的关系.答案：11221312()(),,k k k k --，或为任意实数ηηηη.4．设1(1,0,1)T α=和2(0,1,0)T α=都是方阵A 对应于特征值3的特征向量.又(3,2,3)T β=，则A β=．解析：11223, 3A A αααα==.1232βαα=+12123296(9,6,9)T A A A βαααα=+=+=.注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义；（2）把一个向量表示成其它向量的线性组合.答案：(9,6,9)T.5．若二次型123(,,)f x x x 222123122335224=---+-x x x ax x x x 为负定二次型，那么a 的取值范围是．解析：二次型的矩阵3052022-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭aA a .A 负定当且仅当-A 正定，当且仅当-A 的所有顺序主子式都大于0；当且仅当22150,90->->a a ，当且仅当33-<<a 或(3,3)∈-a .注释本题知识点：（1）二次型的矩阵；（2）矩阵正定与负定的关系；（3）矩阵正定的充分必要条件。

线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。

第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。

（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。

（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。

（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n x a aa x a D a a x=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3)123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

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(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为05、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 ．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，六、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0 ．2、设是矩阵，，，则 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设, 秩，则 -3 ．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，，但时显然，因此．5、设, 秩，则 1 ．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）．解：则当时，；当时，．四、讨论矩阵的秩．解：当且、、时，；其它情况，．第三章向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求，及.结果：2、已知,,满足，求.结果：3、设，其中，，，求．结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1） 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，，则向量可以由向量线性表示，．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3），因此向量组线性无关．4）线性相关．5）线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关．2、填空题设向量组线性相关，则 2说明：，则设向量组线性无关，则必满足关系式说明：若维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）向量组中必有两个向量的分量对应不成比例向量组中不含零向量向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C）向量组总线性相关向量组总线性相关向量组总线性无关向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关．(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关．证法2：由，得线性相关．5、已知，，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，，，因此可由向量组唯一线性表示，．3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关说明：由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关．（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ）向量组线性无关向量组线性相关存在一个向量可以由其余向量线性表示任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3．（2）（要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．（1）解：为极大线性无关组，且．（2）,,解：为极大线性无关组，，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．解：（1），（2）为极大线性无关组，．6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关．证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关．7、设，，，，证明：线性无关．证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关．8、设，若各向量组的秩分别为：，，证明：向量组的秩为4．证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表示，设为，即（1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾．因此向量组的秩为4．3.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间．（大家自己证明）2、向量在基，，下的坐标是．说明：设方程，解之即可．3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基．证：由，则线性无关，，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为．由施密特正交化法：，单位化得：，，，为空间的一个标准正交基．第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足＝4 ；线性方程组有解，且，则应满足＝32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是．说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 ．说明：解空间的维数+结果为．4）设为四元非齐次线性方程组，，是的三个非零解向量，，则的通解为．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则．说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出．2、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）2）线性方程组有唯一解的条件是（B）只有零解、、都不对3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解仅有零解的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，，基础解系为：2）解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组的特解．解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：．5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解：由知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数．6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，，，，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系．由解的结构知的通解为，其中为任意常数即．（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得，所以当时原方程组有非零解．当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，，得于是方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得或时原方程组有非零解．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，或者时，原方程组有无穷多解．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，或时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，且时，原方程组有无穷多解．当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系．证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的．设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系．（7）设方程组证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解．证明：由于，故对任意实数原方程组都有解．对，选为自由未知量，在对应的中令得，导出组的一个基础解系为在中令得，原方程组的一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关．证明：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足，整理得，从而向量组线性相关．第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 ．2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为全体n维非零实向量3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为．4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 ．2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数(3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ）4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．2）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．3）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数．5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则 24说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）相同的特征值互不相同的特征值线性无关的特征向量两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A）4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C相似于相似于相似于三者中有一个不正确3、设三阶方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1．3)4、判断下列矩阵是否相似1）与解：特征方程为特征值为故可对角化，2）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵．3）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵．5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵．1）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．2）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化．对此齐次方程组取一个基础解系对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系．取，有3）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．6、设阶方阵的特征值为，，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化．从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量．2、设，求正交矩阵，使得解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，，单位化：，，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2即，解得2)此时，，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，，，有5、设，求（为正整数）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即，，又，带入上式得，即，又，只有从而2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵．第六章二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 33、二次型的秩为 2 ．说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为2．4、矩阵为二次型的二次型矩阵．若该二次型的秩是,则 1说明：令，求得二、选择题二次型的矩阵是(D)(A) (B)(C) (D)说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D．三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（2）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（5）解：令令，它的逆变换，带入得，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值．从而有即，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则不是正定矩阵;式子不是二次型；式子不是二次型（填“是”或者“不是”）．（2）设是正定的，则．(3)若二次型是正定的，则t的取值范围是．二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A ．(A) 2,0,2 (B) 2,0,0(C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的（D）无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 C ．（A是A的伴随矩阵）(A) A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩阵(D) 无法确定（4）二次型是正定二次型的充要条件是 C（A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为（D）的负惯性指标为（5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A）合同于一个同阶单位阵（B）所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D）不能对角化（6）以下命题正确的是（题目错，无正确答案）（A）若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B）若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C）若阶实对称矩阵不是负定的，则是正定的（D）若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定．（2）解：该二次型的矩阵为，因为，，，，二次型正定．四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=．提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 ．提示：由得，则3、向量在基，，下的坐标为（1，2，3）．4、若向量组，，的秩为2，则 3 ．5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 ．二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）．。

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是（）(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠33．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式（）A.32B.1C.2D.385．下列行列式等于零的是（）A .100123123- B.031010300-C．100310-D．261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A．-2B．-1C．1D．27．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.28．（考研题）行列式0000000ab a bc dc d=（）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。

2.行列式1112344916中位于（3，2）元素的代数余子式A 32=。

3.设1578111120963437D --=--，则1424445A A A ++=。

4．已知行列式212300111a=-，则数a =。

5．若a ,b 是实数，则当a =且b =时，有000101ab ba-=--。

6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为。

7.五阶行列式000130003201830207530026=。