八年级数学下册第19章一次函数192一次函数1922一次函数学案新人教版

19.2一次函数（第2课时）【教学任务分析】【教学环节安排】自主探究【问题3】画图：用描点法在同一平面直角坐标系中画出函数y=－6x，y=－6x－1（见教材第115页例2）【问题4】观察：比较上面两个函数图象的异同点，根据自己的观察结果完成下题：(1)两个函数的图象都是___，并且倾斜度___；(2)函数y=－6x的图象经过（0，0），y=－6x+5的图象与y轴交于点_____,即可以看作由直线y=－6x向_____平移___个单位长度得到的；(3)比较两个函数的解析式，解释两个函数的位置关系；【问题5】猜想：(1)所有一次函数的图象都是直线吗？(2)直线kxy=与)0(≠+=kbkxy有怎样的位置关系？(3)由直线kxy=怎样平移得到)0(≠+=kbkxy的图象？【问题6】例1画出21y x=-与0.51y x=-+－2（教材第116页例3）【问题7】认真观察前面画出的图象，分析并总结规律：当k＞0时，直线bkxy+=由_________上升；当k＜0时，直线bkxy+=由_________下降.归纳：一次函数bkxy+=（k,b是常数,k≠0）具有以下性质：当k＞0时，y随x的增大而____;当＜0时，y随x的增大而____教师多媒体（或学案）展示问题.学生画图.通过观察、比较两个函数图象完成问题4.结合问题4，独立完成问题5的猜想，并在小组内部进行讨论，形成统一意见.归纳：（1）一次函数bkxy+=的图象也是一条直线，我们称呼它为直线bkxy+=；（2）直线bkxy+=与直线kxy=互相平行；(3)直线bkxy+=可以看作由直线kxy=平移b个单位得到的. （当b＞0时，向_____平移；当b＜ 0时，向_________平移）尝试应用例题 1 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+1,y=－x+1,y=2x+1,y=－2x+1的图象.【分析】画图可用两点或利用正比例函数图象进行平移.例题2 观察上面4个函数的图象，类比正比例函数学生画出图象，完成例题1，例题2.y=kx中的k的正负对图象的影响，探究)0(≠+=kbkxy中的k，b对图象有怎样的影响？【分析】可以从经过的象限，直线的变化趋势，增减性等方面进行分析.成果展示1.怎样快速画一次函数图象？2.一次函数有哪些性质?3.同桌各举出一个一次函数，相互说出各自的性质.4.说出各自举出的一次函数与坐标轴的交点坐标.教师出示问题.学生按照要求进行练习,并进行组内交流.补偿提高23y x=-与x轴交点坐标为_______;与y轴交点坐标为_______;图像经过______象限，y随x的增大而_________.y kx b=+的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．0k>，0b>B．0k>，0b<C．0k<，0b>D．0k<，0b<y＝(2m－1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？教师投影所要展示的问题.学生独立思考后，合作交流，派代表展示.教师选择一个小组进行展示，其他小组若有不同意见，待其完成后进行补充.作业设计必做题：必做题让学生做完，教师要收起来进行批改或让学生进行互批.选做题只供学有余力的同学进行练习.小结与反思。

19.2.2 一次函数(3)教学目标知识技能:学会用待定系数法确定一次函数解析式．进一步感知数形结合和待定系数法的数学思想在一次函数中的应用.数学思考:通过学习用待定系数法求一次函数的解析式，体会数学研究方法的多样性．解决问题:经历待定系数法的应用过程，逐步学会利用待定系数法这一思想分析解决问题．情感态度:初步形成利用待定系数法的意识；通过学习，进一步体会待定系数法思想的重要性．教学重点:待定系数法确定一次函数解析式．教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题．教学过程设计活动一.提出问题，创设情境前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？活动二.分析思考,进入新课1.已知一次函数图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式．联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程，从而总结归纳两者转化的一般方法．在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．解:设这个一次函数解析式为y=kx+b．∵y=k+b的图象过点（3，5）与（－4，－9），∴ 解之，得故这个一次函数解析式为y=2x－1.2.归纳结论.定义:像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．从上面的过程中还反映出函数解析式与函数图象存在着如下相互转化的关系：活动三.知识巩固,课堂练习1.已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．2.已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．3.生物学家研究表明,某种蛇的长度y (CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM; 当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少?活动四.知识梳理,课堂小结请同学们回顾本节课学到了什么?活动五.知识反馈,布置作业(1)已知一次函数y=3x－b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点( )A.(－1,1)B.(2,2)C.(－2,2)D.(2,－2)(2)若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值．(3)点M（－2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（ ）A ．7B ．14C ．17D ．20【答案】C 【分析】本题主要涉及到了线段垂直平分线性质，代入题目相关数据，即可解题.【详解】解：在△ABC 中，以点A 和点B 为圆心，大于二分之一AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N ，则直线MN 为AB 的垂直平分线，则DA=DB,△ADC 的周长由线段AC,AD,DC 组成，△ABC 的周长由线段AB,BC,CA 组成而DA=DB,因此△ABC 的周长为10+7=17.故选C.【点睛】本题考察线段垂直平分线的根本性质，解题时要注意数形结合，从题目本身引发思考，以此为解题思路. 2．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论：①13∠=∠；②如果230∠=︒，则有//AC DE ；③如果230∠=︒，则有//BC AD ；④如果230∠=︒，必有4C ∠=∠；其中正确的有( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B 【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．【详解】解：①∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，∴∠1=∠3，故本选项正确．②∵∠2=30°，∴∠1=90°-30°=60°，∵∠E=60°，∴∠1=∠E ，∴AC∥DE，故本选项正确．③∵∠2=30°，∴∠3=90°-30°=60°，∵∠B=45°，∴BC不平行于AD，故本选项错误．④由∠2=30°可得AC∥DE，从而可得∠4=∠C，故本选项正确．故选B.【点睛】此题主要考查了学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数．3．下列图形中对称轴条数最多的是（）A．线段B．正方形C．圆D．等边三角形【答案】C【分析】先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【详解】解：A、线段有2条对称轴；B、正方形有4条对称轴；C、圆有无数条对称轴；D、等边三角形有3条对称轴；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．4．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3 B．5 C．4 D．不确定【答案】C【解析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=1．故选：C．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5．如图，在ABC ∆中，4AC =，BC 边上的垂直平分线DE 分别交BC 、AB 于点D 、E ，若AEC ∆的周长是11，则直线DE 上任意一点到A 、C 距离和最小为（ ）A ．28B ．18C ．10D ．7【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质和已知三角形的周长进行计算即可求得结果．【详解】解：∵DE 是BC 的中垂线，∴BE=EC ，则AB=EB+AE=CE+EA ，又∵△ACE 的周长为11，故AB=11−4=1，直线DE 上任意一点到A 、C 距离和最小为1．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）有关知识，难度简单．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若△ACD 的周长为50，DE 为AB 的垂直平分线，则AC +BC ＝（ ）A ．25cmB ．45cmC ．50cmD ．55cm【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质可求得AD ＝BD ，则△ACD 的周长可化为AC +CD +BD ，即AC +BC ，可求得答案．【详解】解：∵DE 为AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴AC +CD +AD ＝AC +CD +BD ＝AC +BC ＝50，故选：C ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．7．若3x ＝2，则x 的值为（ ）A ．4B ．8C ．﹣4D ．﹣5【答案】B【分析】根据立方根的定义，解答即可． 【详解】∵3x ＝2，∴x ＝23＝1．故选：B ． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，掌握“若3x =a ，则a 3=x ”是解题的关键．8．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积是15cm 2，AB ＝9cm ，BC ＝6cm ，则DE ＝（ ）cm ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，由角平分线的性质得DE=DF ，根据1122ABC ABD BCD S S S BC DF AB DE ∆∆∆=+=+即可解得DE 的长． 【详解】过D 作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，∴DF=DE ，∵△ABC 的面积是15cm 2，AB ＝9cm ，BC ＝6cm ，又1122ABC ABD BCD S S S BC DF AB DE ∆∆∆=+=+， ∴11156922DE DE =⨯+⨯， 解得：DE=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理，作出相应的辅助线是解答本题的关键．9．一个装有进水管和出水管的容器，开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数. 容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图，则6分钟时容器内的水量（单位：升）为（ ）A ．22B ．22.5C ．23D ．25【答案】B 【分析】由题意结合图象，设后8分钟的函数解析式为y=kx+b ，将x=4时，y=20；x=12时，y=30代入求得k 、b 值，可得函数解析式，再将x=6代入求得对应的y 值即可．【详解】设当4≤x ≤12时函数的解析式为y=kx+b(k ≠0)，由图象，将x=4时，y=20；x=12时，y=30代入，得：2043012k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：5415k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴5154y x =+， 当x=6时，56157.51522.54y =⨯+=+=， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答的关键是从图象上获取相关联的量，会用待定系数法求函数的解析式，特别要注意分段函数自变量的取值范围的划分．10．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 的长5cm ，则BC 的长为（ ）A ．2.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【答案】A【分析】根据30°角的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：在Rt ABC 中，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 的长5cm ， ∴1 2.52BC AB cm ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握30°角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．二、填空题11．如果一粒芝麻约有0.000002千克，那么10粒芝麻用科学记数法表示为_______千克．【答案】2×10-1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000002×10=0.000020.00002用科学记数法表示为 2×10-1千克，故答案为：2×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．如图7，已知P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP=QC=PQ=AP=AQ ，则∠BAC=________【答案】120°【解析】识记三角形中的角边转换因为 PQ=AP=AQ△APQ 为等边三角形 ∠APQ=60°它互补角∠APB=120°BP="AP"△ APB 为等腰三角形∠PAB=30°同理 ∠CAQ=30°所以 ∠BAC=∠CAQ+∠PAB+∠PAQ=30°+30°+60°=120°13．如图，在ABC 中，AD 垂直平分,BC 交BC 于点E CD AC ⊥，，若43AB CD ==，，5AD =，则BE =_________________．【答案】125 【分析】由勾股定理得到AC 的长度，利用等面积法求CE ，结合已知条件得到答案．【详解】解：5,3,,AD CD AC DC ==⊥22534,AC ∴=-=1346,2ACD S ∆∴=⨯⨯= AD 垂直平分,BC,,AD BC BE CE ∴⊥=156,2ACD S CE ∆=⨯⨯= 12,5CE ∴= 125BE ∴=， 故答案为：125． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．如图，△ABC ≌△DEC ，其中AB 与DE 是对应边，AC 与DC 是对应边，若∠A=∠30°，∠CEB=70°，则∠ACD=_____°.【答案】40【分析】根据全等三角形的性质可得CE=BC ，∠ACB=∠DCE ，根据等腰三角形的性质可得∠B 的度数，进而可得∠ECB 的度数，根据等量代换可证明∠ACD=∠ECB ，即可得答案.【详解】∵△ABC ≌△DEC ，其中AB 与DE 是对应边，AC 与DC 是对应边，∴∠ACB=∠DCE ，CE 与BC 是对应边，即CE=BC ，∴∠B=∠CEB=70°，∴∠ECB=180°-2×70°=40°，∵∠ACD+∠ACE=∠ECB+∠ACE，∴∠ACD=∠ECB=40°.故答案为40【点睛】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.15．某单位定期对员工按照专业能力、工作业绩、考勤情况三方面进行考核（每项满分100分），三者权重之比为3:5:2，小明经过考核后三项分数分别为90分，86分，83分，则小明的最后得分为_________分．【答案】82.2【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分．【详解】解：小明的最后得分=352 908683101010⨯+⨯+⨯=27+43+1．2=82.2（分），故答案为：82.2．【点睛】此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算方法．若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则112212n nnx w x w x ww w w++⋯+++⋯+叫做这n个数的加权平均数．16．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．【答案】612.【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案【详解】如图，∵∠C=90︒，AB=13m，AC=5m，∴BC=2222135AB AC-=-=12m，∴()218611252⨯⨯=+（元），故填：612.【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积.17．如图，已知ABC ∆中，5AC AB ==，3BC =，DE 垂直平分AB ，点D 为垂足，交AC 于点E ．那么EBC ∆的周长为__________．【答案】8【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE ，再根据AB=AC 即可得出AC 的长，进而得出结论．【详解】AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，AE BE ∴=，BE CE AE CE AC ∴+=+=，AB AC =，5AB =，3BC =，EBC ∴∆的周长()538BE CE BC AC BC =++=+=+=．故答案为：8．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．三、解答题18．为了比较5+1与10的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究.（1）小伍同学利用计算器得到了5 2.236≈，10 3.162≈，所以确定5+110 （填“＞”或“＜”或“=”）（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC 上且BD=AC=1.请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对5+1和10的大小做出准确的判断.【答案】（1）> ；（2）见解析.【解析】（1）根据题目给出的数值判断大小即可；（2）根据勾股定理求出AB，再根据三角形的三边关系判断即可.【详解】（1）> ；（2）2222在中，，=+=+=Rt ACD AD AC CD1252222=+=+=在中，，Rt ABC AB BC AC3110在中，即.+>>,5+110ABD AD BD AB【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算与三角形的三边关系.19．某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：项目服装普通话主题演讲技巧选手李明85 70 80 85张华90 75 75 80结合以上信息，回答下列问题：（1）求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）求李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．【答案】（1）服装项目的权数是10%，普通话项目对应扇形的圆心角是72°；（2）众数是85，中位数是82.5；（3）选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，理由见解析.【解析】（1）根据扇形图用1减去其它项目的权重可求得服装项目的权重，用360度乘以普通话项目的权重即可求得普通话项目对应扇形的圆心角大小；（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．【详解】（1）服装项目的权数是：1﹣20%﹣30%﹣40%=10%，普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%=72°；（2）明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2=82.5；（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%=80.5，张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%=78.5，∵80.5＞78.5，∴李明的演讲成绩好，故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛．【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，明确题意，结合统计表和统计图找出所求问题需要的条件，运用数形结合的思想进行解答是解题的关键．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：13y x b=-+交y轴于点A(0，1)，交x轴于点B．直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P(1，n)．(1)求直线AB的解析式和点B的坐标；(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；(3)当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．【答案】(1) AB的解析式是y=-13x+1．点B（3，0）．(2)32n-1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）．【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐标；（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；（3）当S△ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解．试题解析：（1）∵y=-13x+b经过A（0，1），∴b=1，∴直线AB的解析式是y=-13x+1．当y=0时，0=-13x+1，解得x=3，∴点B（3，0）．（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，∵x=1时，y=-13x+1=23，P在点D的上方，∴PD=n-23，S△APD=12PD•AM=12×1×(n-23)=12n-13由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD=12PD×2=n-23，∴S△PAB=S△APD+S△BPD=12n-13+n-23=32n-1；（3）当S△ABP=2时，32n-1=2，解得n=2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE=BE=2，∴∠EPB=∠EBP=45°．第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，过点C作CN⊥直线x=1于点N．∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，∴∠NPC=∠EPB=45°．又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，∴△CNP≌△BEP，∴PN=NC=EB=PE=2，∴NE=NP+PE=2+2=4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC=90°，BP=BC，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ．∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，∴∠CBF=∠PBE=45°．又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP ，∴△CBF ≌△PBE ．∴BF=CF=PE=EB=2，∴OF=OB+BF=3+2=5，∴C （5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB ，∴∠CPB=∠EBP=45°，在△PCB 和△PEB 中，{CP EBCPB EBP BP BP=∠=∠=∴△PCB ≌△PEB （SAS ），∴PC=CB=PE=EB=2，∴C （3，2）．∴以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，点C 的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）． 考点：一次函数综合题．21．甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题（1）甲登山的速度是每分钟 米；乙在A 地提速时，甲距地面的高度为 米；（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数解析式；②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；（3）当x为多少时，甲、乙两人距地面的高度差为80米？【答案】（1）10，1；（2）①15(02)3030(211)x xyx x≤≤⎧=⎨-<≤⎩，②能够实现．理由见解析；（3）当x为2.5或10.5或3时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．【分析】（1）由时间，速度，路程的基本关系式可解；（2）①分段代入相关点的坐标，利用待定系数法来求解即可；②分别计算甲乙距离地面的高度再比较即可；（3）求出甲的函数解析式，分0≤x≤2时，2＜x≤11时，11＜x≤20时来讨论即可求解．【详解】（1）甲登山的速度为：（300﹣2）÷20＝10米/分，2+10×2＝1米，故答案为10，1．（2）①V乙＝3V甲＝30米/分，t＝2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），设2到11分钟，乙的函数解析式为y＝kx+b，∵直线经过A（2，30），（11，300），∴30230011k bk b=+⎧⎨=+⎩解得3030kb=⎧⎨=-⎩∴当2＜x≤11时，y＝30x﹣30设当0≤x≤2时，乙的函数关系式为y＝ax，∵直线经过A（2，30）∴30＝2a解得a＝15，∴当0≤x≤2时，y＝15x，综上，15(02)3030(211)x xyx x≤≤⎧=⎨-<≤⎩②能够实现．理由如下：提速5分钟后，乙距地面高度为30×7﹣30＝180米．此时，甲距地面高度为7×10+2＝170米．180米＞170米，所以此时，乙已经超过甲．（3）设甲的函数解析式为：y ＝mx+2，将（20，300）代入得：300＝20m+2∴m ＝10，∴y ＝10x+2．∴当0≤x ≤2时，由（10x+2）﹣15x ＝80，解得x ＝4＞2矛盾，故此时没有符合题意的解；当2＜x ≤11时，由|（10x+2）﹣（30x ﹣30）|＝80得|130﹣20x|＝80∴x ＝2.5或x ＝10.5；当11＜x ≤20时，由300﹣（10x+2）＝80得x ＝3∴x ＝2.5或10.5或3．∴当x 为2.5或10.5或3时，甲、乙两人距地面的高度差为80米．【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题中路程＝速度×时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法．在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取值范围． 22．探索与证明：（1）如图①，直线m 经过正三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取点D ，E ，使得60ADB ∠=︒，60AEC ∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，120ADB ∠=︒，120AEC ∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）DE=BD ＋CE ，证明见解析；（2）CE =BD ＋DE ，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=CA ，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得ADB CEA ∠=∠，并且可证出∠ABD=∠CAE ，利用AAS 即可证出△ABD ≌△CAE ，从而得出BD=AE ，AD= CE ，然后根据DE=AE ＋AD 和等量代换即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得AB=CA ，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得ADB CEA ∠=∠，并且可证出∠ABD=∠CAE ，利用AAS 即可证出△ABD ≌△CAE ，从而得出BD=AE ，AD= CE ，然后根据AD= AE ＋DE 和等量代换即可得出结论；【详解】解：（1）DE=BD ＋CE ，证明如下∵△ABC 为等边三角形∴AB=CA ，∠BAC=60°∵60ADB ∠=︒，60AEC ∠=︒∴ADB CEA ∠=∠∴∠ABD ＋∠BAD=180°－∠ADB=120°∠CAE ＋∠BAD=180°－∠BAC=120°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 和△CAE 中ADB CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE∴BD=AE ，AD= CE∴DE=AE ＋AD= BD ＋CE ；（2）CE =BD ＋DE ，证明如下∵△ABC 为等边三角形∴AB=CA ，∠BAC=60°∵120ADB ∠=︒，120AEC ∠=︒∴ADB CEA ∠=∠∴∠ABD ＋∠BAD=180°－∠ADB=60°∠CAE ＋∠BAD=∠BAC=60°∴∠ABD=∠CAE在△ABD 和△CAE 中ADB CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE∴BD=AE ，AD= CE∵AD= AE ＋DE∴CE= BD ＋DE ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的性质、利用AAS 判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．23．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB ，其中点A 、B 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以BC 为底的钝角等腰三角形ABC ，且点C 在小正方形的顶点上；（2）将（1）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到△DEC （点A 的对应点是点D ，点B 的对应点是点E ），画出△CDE ；（3）在（2）的条件下，连接BE ，请直接写出△BCE 的面积．【答案】 (1)详见解析;(2)详见解析;(3)1【分析】（1）依据BC 为等腰三角形的底边，AB 的长为5，即可得到点C 的位置，进而得出钝角等腰三角形ABC ；（2）依据△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，即可得到△DEC ；（3）连接BE ，运用割补法即可得出△BCE 的面积．【详解】（1）如图所示，等腰三角形ABC 即为所求；（2）如图所示，△DEC 即为所求；（3）如图，连接BE ，△BCE 的面积为8×12-12×4×8×2-12×4×12=96-32-24=1． 【点睛】 此题考查作图-旋转，等腰三角形的性质，解题关键在于根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24．如图，在ABC 中，点M 为BC 边上的中点，连结AM ，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）.过点D 作//DE AB ，过点C 作//CE AM ，连结AE ．（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：①ABD EDC △≌△；②四边形ABDE 是平行四边形．（2）如图2，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且2BH AM =，求CAM ∠的度数．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）45CAM ∠=︒．【分析】（1）①根据平行线的性质和中点性质即可得到ASA 证明ABD EDC △≌△； ②根据一组对边平行且相等即可证明四边形ABDE 是平行四边形；（2）取线段HC 的中点I ，连接MI ，根据中位线的判断与性质，可得2MI AM =，MI AC ⊥，即可求解．【详解】（1）①如图1中，∵//DE AB ，∴EDC ABM ∠=∠，∵//CE AM ，∴ECD ADB ∠=∠，∵AM 是ABC 的中线，且D 与M 重合，∴BD DC =，∴ABD EDC △≌△.②由①得ABD EDC △≌△，∴AB ED =，∵//AB ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形.（2）如图2中，取线段HC 的中点I ，连接MI ，∵BM MC =，∴MI 是BHC △的中位线，∴//MI BH ，12MI BH =， ∵BH AC ⊥，且2BH AM =.∴2MI AM =，MI AC ⊥， ∴45CAM ∠=︒．【点睛】此题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、中位线和三角函数，熟练掌握逻辑推理是解题关键．25．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC 的外心时，只作出两边BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，就认定点O 是△ABC 的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC 的三边上，分别取点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ，连接DE ，EF ，DF ，得到△DEF ．若点O 为△ABC 的外心，求证：点O 也是△DEF 的外心．【答案】（1）定点O 是△ABC 的外心有道理，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OA 、OB 、OC ，如图①，根据线段垂直平分线的性质得到OB OC =，OC OA =，则OA OB OC ==，从而根据三角形的外心的定义判断点O 是ABC ∆的外心；（2）连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，利用等边三角形的性质得到OA OC =，2120AOC B ∠=∠=︒，再计算出30OAD OCF OAD ∠=∠=∠=︒，接着证明AOD COF ∆≅∆得到OD OC =，同理可得OD OE =，所以OD OE OF ==，然后根据三角形外心的定义得到点O 是DEF ∆的外心．【详解】（1）解：定点O 是ABC ∆的外心有道理．理由如下：连接OA 、OB 、OC ，如图①，BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，OB OC ∴=，OC OA =，OA OB OC ∴==，∴点O 是ABC ∆的外心；（2）证明：连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，点O 为等边ABC ∆的外心，OA OC ∴=，2120AOC B ∠=∠=︒，30OAD OCF ∴∠=∠=︒，30OAD ∴∠=︒，在AOD ∆和COF ∆中OA OC OAD OCF AD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD COF SAS ∴∆≅∆，OD OC ∴=，同理可得OD OE =，OD OE OF ∴==，∴点O 是DEF ∆的外心．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质和全等三角形的判定、等边三角形的性质．掌握线段垂直平分线性质和构造三角形全等是解题关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2012m停下，则这个微型机器人停在（）A．点A处B．点B处C．点C处D．点E处【答案】C【分析】根据等边三角形和全等三角形的性质，可以推出，每行走一圈一共走了6个1m，2012÷6=335…2，行走了335圈又两米，即落到C点．【详解】解：∵两个全等的等边三角形的边长为1m，∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6m，∵2012÷6=335…2，即正好行走了335圈又两米，回到第三个点，∴行走2012m停下，则这个微型机器人停在C点．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于求出2012为6的倍数余数是几．2．计算(-a)2n•(-a n)3的结果是()A．a5n B．-a5n C．26na D．26a-6n【答案】B【分析】先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，即可求解．【详解】(-a)2n•(-a n)3=a2n•(-a3n)=-a5n．故选：B．【点睛】本题主要考查幂的乘方以及同底数幂的乘法法则，掌握上述运算法则，是解题的关键．3．根据下列表述，不能确定具体位置的是（）A．教室内的3排4列B．渠江镇胜利街道15号C．南偏西30D．东经108︒，北纬53︒【答案】C【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对各选项进行判断．【详解】A、教室内的3排4列，可以确定具体位置，不合题意；B 、渠江镇胜利街道15号，可以确定具体位置，不合题意；C 、南偏西30，不能确定具体位置，符合题意；D 、东经108°，北纬53°，可以确定具体位置，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S =．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】①连接NP ，MP ，根据SSS 定理可得ANP AMP ≌，故可得出结论；②根据三角形的外角的性质即可得出结论；③先根据三角形内角和定理求出CAB ∠的度数，再由AD 是BAC ∠的平分线得出30BAD CAD ∠=∠=︒，根据BAD B =∠∠可知AD BD =，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出30CAD ∠=︒，12CD AD =，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①证明：连接NP ，MP ，在ANP 与AMP 中，AN AM NP MP AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ANP AMP SSS ∴△≌△，则CAD BAD ∠=∠，故AD 是BAC ∠的平分线，故此结论正确；②在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，。

小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内钱数y(元)与存钱月数x(月)之间的关系如图所示,根据下图回答下列问题：
①求出y关于x的函数解析式.②根据关系式计算,小明经过几个月才能存够200元?
教师投影（或利用学案）所要展示的问题.
让学生独立思考后，小组内交流思路.
教师选择四个小组同时进行板练.
成
果
展
示
【归纳】对以上各种情况进行汇总：
1.确定正比例函数的表达式需要1个条件,
2.确定一次函数的表达式需要2个条件.
这些条件都是以什么形式出现的？
学生先独立思考，然后小组内进行交流.
教师安排一个小组展示，其他小组若有不同意见，待其完成后进行补充.
补
偿
提
高
1.已知一次函数，当x=5时，y的值为4当x=6时，y的值为8，求k的值.
【分析】求一次函数的解析式的解析式，关键是求出k,b的值，分析已知条件可以列出关于k,b的二元一次方程组，求出k,b即可
【总结】这种先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.
【问题4】感悟利用简便方法画一次函数图象的过程以及利用待定系数法求一次函数解析式的过程，仔细体会数与形是怎样转化的？
例2（补充）函数当自变量x＝－2时，函数值y＝－1；当x＝3时，y＝－3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
【分析】x＝－2时，y＝－1；当x＝3时，y＝－3．即直线经过（－2，－1），（3，－3）两个点，代入解析式中，组成方程组求出即可.
教师出示例题.学生尝试独立解决，完成后在小组里交流.
教师安排两个小组进行板练.教师关注讲解时是否能够从“形”和“数”两个方面理解.

一次函数（5）知识技术目标1.使学生明白得待定系数法；2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．进程性目标1.感受待定系数法是求函数解析式的大体方式, 体会用“数”和“形”结合的方式求函数式；2.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化．教学进程一、创设情境一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，若是明白了k与b的值，函数解析式就确信了，那么有如何的条件才能求出k和b呢？问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．可否写出那个一次函数的解析式呢？依照一次函数的概念，能够设那个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值．由已知条件x＝-2时，y＝-1，得 -1＝-2k＋b．由已知条件x＝3时，y＝-3，得 -3＝3k＋b．两个条件都要知足，即解关于x的二元一次方程解得因此，一次函数解析式为．问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在必然的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求那个一次函数的关系式．考虑那个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？二、探讨归纳上题可作如下分析：已知y是x的函数关系式是一次函数，那么关系式必是y＝kx＋b的形式，因此要求的确实是系数k和b 的值．而两个已知条件确实是x和y的两组对应值，也确实是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．能够别离将它们代入函数式，转化为求k与b 的二元一次方程组，进而求得k与b的值．解设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得解那个方程组，得因此所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有必然的范围)讨论 1．此题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的进程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．2．那个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有必然的范围．问题3 假设一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．分析考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，那个地址尽管已知条件中没有直接给出x和y 的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．因此此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．解当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再依照条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而取得所求结果的方式，叫做待定系数法(method of undetermined coefficient)．三、实践应用例1已知一次函数y＝kx＋b的图象通过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．分析 1．图象通过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．2．尽管题意并无要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．解由题意，得解那个方程组，得那个函数解析式为y＝-3x-2．当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．例2 已知一次函数的图象如以下图，写出它的关系式．分析从“形”看，图象通过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)知足解析式．解设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．直线通过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得解得因此所求的一次函数的关系式是．例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．分析两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时知足两个函数关系式．而两个函数关系式确实是方程组中的两个方程．因此交点坐标确实是方程组的解．解两个函数关系式组成的方程组为解那个方程组，得因此直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．例4 已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．(1)在同一坐标系内作出它们的图象；(2)求出它们的交点A坐标；(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．分析 (1)这两个都是一次函数，因此它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．(4)先求出交点坐标，依照第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．解(1)(2)解得因此两条直线的交点坐标A为．(3)当y1＝0时，x＝因此直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B(，0)，当y2＝0时，x＝5，因此直线y2＝5-x 与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，那么．(4)两个解析式组成的方程组为解那个关于x、y的方程组，得由于交点在第四象限，因此x＞0,y＜0．即解得．四、交流反思本节课，咱们讨论了一次函数解析式的求法1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即依照题目中给出的两个条件确信一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值；2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解．五、检测反馈1.依照以下条件写出相应的函数关系式．(1)直线y＝kx＋5通过点(-2,-1)；(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7．2.写出两个一次函数，使它们的图象都通过点(-2,3)．3.如图是某远程汽车站旅客携带行李费用示用意．试说明收费方式，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象通过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．5.陈华暑假去某地旅行，导游要大伙儿上山时多带一件衣服，并介绍本地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发觉温度为32.2℃．求山高．。