4.3.1 用“边边边”判定三角形全等
基础训练
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
2.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是
( )
A.AD=FB
B.DE=BD
C.BF=DB
D.以上都不对
3.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是( )
A.有一边相等的两个等边三角形
B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C.周长相等的两个三角形
D.斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形
4.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC 和△FED全等时,下面的4个条件中:
①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是( )
A.①或②
B.②或③
C.①或③
D.①或④。
北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1．如图，AD =BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ）A ．AB //CD B ．△ABC =△CDA C ．△A =△CD ．AD //BC2．如图，PD △AB ，PE △AC ，垂足分别为D 、E ，且P A 平分△BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA3．如图1，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，△A=△1=△C ，DE=DF ，下面的结论一定成立的是（ ）A ．AE=FCB ．AE=DEC ．AE+FC=ACD ．AD+FC=AB 4．如图，AB CD ，//AB CD ，判定ABC △CDA 的依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，AD△CD，AE△BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN：△△ABN△△ACM；△BO=EO;其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．△A=△D D．BF=EC7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则△BFD的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△1＝25°，△2＝30°，则△3＝()A．60°B．55°C．50°D．无法计算9．如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC△△DEF的是A．AB＝DE B．△B＝△E C．EF＝BC D．EF//BC10．如图所示，Rt△ABE△Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：△AE=ED；△AE△DE；△BC=AB+CD；△AB△DC中成立的是（）A．仅△B．仅△△C．仅△△△D．仅△△△△11．如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB12．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE△△BCD B．△BGC△△AFC C．△DCG△△ECF D．△ADB△△CEA13．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙14．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，△APE的度数为（）.A．45B．55C．60D．7515．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则△1+△2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°16．如图，在下列条件中，不能证明△ABD△△ACD的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．△ADB =△ADC ，BD =DC C ．△B =△C ，△BAD =△CAD D ．△B =△C ，BD =DC17．如图，已知12AC AD ∠=∠=，，从下列条件：△AB AE =；△BC ED =；△C D ∠=∠；△B E ∠=∠中添加一个条件，能使ABC △△AED 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图，在Rt△AEB 和Rt△AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于N ，△E ＝△F ＝90°，△EAC ＝△FAB ，AE ＝AF,给出下列结论：△△B ＝△C ；△CD ＝DN ；△BE ＝CF ；△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中△1+△2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°20．如图，已知△DCE=90°，△DAC=90°，BE△AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3B．5C．4D．不确定21．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：△△APE△△CPF；△AE=CF；△△EAF是等腰直角三角形；△S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图，△ABC中，AB△BC，BE△AC，△1=△2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．△1=△EFD C．BF>EF D．FD△BC23．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，△EAF ＝△BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）△△AFB△△AEC ；△BF ＝CE ；△△BFC ＝△EAF ；△AB ＝BC ．A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△△二、填空题 24．如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．25．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．26．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF△a 于点F ，DE△a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为____．27．如图，△ACB=90°，AC=BC，AD△CE于D，BE△CD于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，则BE的长度为________．28．如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29．如图所示，AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE，△1=25°，△2=30°，则△3=__________．30．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．31．如图，CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则△CHE=__________．32．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，BE△CE，AD△CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝______．33．如图，在△ABC中，AD△BC于D，BE△AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则△ABC ＝_____度．34．如图，AC△BC，AD△DB，要使△ABC△△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）35．如图AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△BAD＝25°，△ACE＝30°，则△ADE＝_____．36．如图，等边△ABC 边长为10，P 在AB 上，Q 在BC 延长线，CQ ＝P A ，过点P 作PE △AC 点E ，过点P 作PF △BQ ，交AC 边于点F ，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为_____．37．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ△DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.38．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．39．如图，AB ＝BC 且AB △BC ，点P 为线段BC 上一点，P A △PD 且P A ＝PD ，若△A ＝22°，则△D 的度数为_________．40．如图，在△ABC中，△A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则△EDF=____________度。
北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（）A．0根B．1根C．2根D．3根2．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C B．AD＝BC C．∠BAD＝∠ABC D．BD＝AC3．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED4．已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°6．有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④7．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN ＝AK．若∠MKN＝48°，则∠P的度数为（）A．48°B．66°C．84°D．92°二．填空题（共7小题）8．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是利用三角形的性．9．如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：能使用“AAS”方法判定△ABC ≌△DEC．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件．（只要求写出一个）11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝20，CF＝12，则BD＝．12．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF．若AC ＝5，则DF＝．13．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．已知AC＝6，BD＝4，则CD＝．14．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．16．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（）A．0根B．1根C．2根D．3根【分析】根据三角形的稳定性可得答案．【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．2．如图，已知∠ABD＝∠BAC，添加下列条件不能判断△ABD≌△BAC的条件是（）A．∠D＝∠C B．AD＝BC C．∠BAD＝∠ABC D．BD＝AC【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．【解答】解：由题意得，∠ABD＝∠BAC，A、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS），故A选项能判定全等；B、在△ABC与△BAD中，由BC＝AD，AB＝BA，∠BAC＝∠ABD，可知△ABC与△BAD不全等，故B选项不能判定全等；C、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（ASA），故C选项能判定全等；D、在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），故D选项能判定全等；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边对应相等．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∴当∠BAD＝∠EAC或∠BAC＝∠EAD，依据SAS即可得到△ABC≌△AED；当BC＝ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，不能判定△ABC≌△AED．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．【解答】解：如图：在△ABC和△MNK中，，∴△ABC≌△NKM（SAS）；在△ABC和△HIG中，，∴△ABC≌△GHI（AAS）．∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙和丙．故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠BFC＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，证明△FDB ≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠FBD＝∠CAD，在△FDB和△CAD中，，∴△FDB≌△CDA，∴DA＝DB，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【分析】根据全等三角形的定义以及性质一一判断即可．【解答】解：①两个三角形全等，它们的形状一定相同，此说法正确；②两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，此说法错误；③两个三角形全等，它们的面积一定相等，此说法正确；④两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，此说法错误；综上，正确说法的是①③，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的定义和性质．7．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN ＝AK．若∠MKN＝48°，则∠P的度数为（）A．48°B．66°C．84°D．92°【分析】由△MAK≌△KBN，推出∠AMK＝∠BKN，由∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，推出∠A＝∠MKN＝48°，推出∠A＝∠B＝48°，由此即可解决问题．【解答】解：∵P A＝PB，∴∠A＝∠B，在△MAK和△KBN中，，∴△MAK≌△KBN（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝48°，∴∠A＝∠B＝48°，∴∠P＝180°﹣2×48°＝84°．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共7小题）8．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是利用三角形的稳定性．【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故答案为：稳定．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．9．如图，∠1＝∠2，BC＝EC，请补充一个条件：∠A＝∠D能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC．【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，则根据三角形的判定定理AAS即可证得．【解答】解：可以添加∠A＝∠D，理由是：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠DCE，∴在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．故答案是：∠A＝∠D．【点评】本题考查了三角形全等的判定，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件AD＝AE．（只要求写出一个）【分析】添加条件：AD＝AE，再由已知条件AB＝AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．【解答】解：添加条件：AD＝AE，在△AEB和△ADC中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），故答案为：AD＝AE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．11．如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝20，CF＝12，则BD＝8．【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝20，CF＝12，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键在于求证△ADE≌△CFE．12．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF．若AC ＝5，则DF＝5．【分析】根据BE＝CF，求出BC＝EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出对应边相等即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF＝5（全等三角形对应边相等）．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．13．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．已知AC＝6，BD＝4，则CD＝2．【分析】根据同角的余角相等求出∠A＝∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等推知AC＝OD，OC＝BD，则CD＝OD﹣OC．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠A+∠AOC＝90°，∴∠A＝∠BOD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC＝OD＝6，OC＝BD＝4，则CD＝OD﹣OC＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5．【分析】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，能够熟练掌握．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠C＝∠GBD，BD＝DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．（2）根据全等得出BG＝CF，根据三角形三边关系定理求出即可．【解答】（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵由（2）知：GD＝GD，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．16．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA．（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE ＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．。
北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；C．三角形一定具有稳定性，错误；D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：A．【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD【分析】依据AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．【解答】解：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，且∠ABC＝∠DEF，∴当AC＝DF时，满足SSA，无法判定△ABC≌△DEF，故B不能；当AB＝DE时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，故B可以；当∠ACB＝∠F时，满足ASA，可以判定△ABC≌△DEF，故C可以；当∠A＝∠D时，满足AAS，可以判定△ABC≌△DEF，故D可以；故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF【分析】根据条件求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF，当AB∥DE时，∠B＝∠DEF，依据SAS即可得到△ABC≌△DEF；当∠A＝∠D或BE＝EC或AC∥DF时，不能使△ABC≌△DEF；故选：B．【点评】本题全等三角形的判定的应用，全等三角形的5种判定方法中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边对应相等．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∴当∠BAD＝∠EAC或∠BAC＝∠EAD，依据SAS即可得到△ABC≌△AED；当BC＝ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，不能判定△ABC≌△AED．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．【分析】根据趋势进行的判定定理判断即可．【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理（SSS）A选项中的三角形与△ABC全等，B、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（SAS）B选项中的三角形与△ABC全等；C、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（AAS）C选项中的三角形与△ABC全等；D、D项中的三角形与△ABC不一定全等；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 【分析】依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），故D选项正确；∴∠B＝∠C，故A选项正确；∵AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE，故B选项正确；∵∠AEB不一定是直角，∴BE⊥CD不一定成立，故C选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性．【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED（填对其中一个均可）．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴根据SAS只要添加AC＝AE即可，根据ASA只要添加∠B＝∠D即可，根据AAS只要添加∠C＝∠E即可．故答案为：AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．【分析】依据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．【分析】根据“SSS”进行证明．【解答】证明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．（2）首先证明△ABC≌△EBD（SAS），AC＝ED，∠A＝∠E，再证明△ACD≌△EDC（SAS）．【解答】（1）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝20°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝BDC，∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC，∴∠CDB＝∠DCB＝50°．（2）证明：在△ABC和△EBD中，，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝ED，∠A＝∠E，∵AB＝EB，BD＝BC，∴AD＝EC，在△CAD和△DEC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．【分析】根据SAS证明△ABF≌△DEC即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝FD，∴AF＝DC，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS）．【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．【分析】在△ADC与△CBA中，AC是公共边，根据SAS即可证明△ADC≌△CBA．【解答】证明：在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．【分析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF，可得∠ABD＝∠CDB，由“SAS”可证△ABD ≌△CDB，可得AD＝BC．【解答】证明：∵BF＝DE∴BE+EF＝EF+DF∴BE＝DF在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SSS）∴∠ABD＝∠CDB在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SAS）∴AD＝BC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．【分析】根据全等三角形的判定定理，很容易确定SAS的条件，即证△ABC≌△DEF，进而证明即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC．即BC＝EF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴∠ACB＝∠F．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得∠ABD＝∠ACD；（2）由三角形内角和定理可求∠BDC的度数．【解答】证明：（1）∵∠EAD＝∠BAC∴∠BAE＝∠CAD，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠ABD＝∠ACD（2）∵AB＝AC，∠ACB＝62°∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣62°﹣62°＝56°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB＝180°，∠DCA+∠DOC+∠BDC＝180°∴∠BAC＝∠BDC＝56°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得∠ACB＝∠DCE，则可得结论．【解答】证明：∵CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEC（SAS）∴∠ACB＝∠DCE∴∠BCE＝∠ACD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定和性质是本题的关键．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．【分析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A＝∠C，可证AB∥CD．【解答】证明：∵DE∥BF∴∠DEF＝∠BFE∵AE＝CF∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE∴△AFB≌△CED（SAS）∴∠A＝∠C∴AB∥CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．。
