n次方根与分数指数幂的说课课件

[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号

计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)

2．已知 m10＝2，则 m 等于( )
10 A. 2
B．－10 2
C. 210
D．±10 2
【答案】D [∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数， ∴2 的 10 次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±10 2.]
3. 把根式 a a化成分数指数幂是( )
3
A．(－a) 2
6．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
答案 1 a3 3 a2
2
a3 a3
32
a3
11
a3,
2 a 4b2 3 ab2
1
a 4b2 ab2 3
12
11 4
a 4b2a3b3 a 6 b3 .
7. (1)若 x<0，则 x＋|x|＋ xx2＝________. (2)若－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值. 思路探究：(1)由 x<0，先计算|x|及 x2，再化简． (2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值． (1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x， x2＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋ xx2＝x－x－1＝－1.]
（1）3 x2 (x 0)；（2）5 (m n)4 (m n)；（3） p6 p5 ( p 0)；（4）a3 (a 0).
a
2
4
解（：1）3 x2 x 3 (x 0)；（2）5 (m n)4 (m n)5 (m n)；
（3） p6
p5
65
p2 p2
11
p2
(
p
0)；（4）a3
a
随堂检测

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题型二 利用根式的性质化简或求值
例 2 化简：(1) 3＋2 2＋ 3－2 2；
(2) 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3；
3
(3)
2＋
5＋3 2－
5.
• [分析] (1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．
• (3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．
[解析] (1)原式＝ 22＋2 2＋1＋ 22－2 2＋1
1
(2)原式＝ a2 a－2 ÷ a－3 a 3 ÷ a－2 a－2
＝3 a2÷
7
a3
3
÷
a－2
2
71
1
＝a3 ÷(a3 )2 ÷(a－2)3
2
7
2
＝a3 ÷a6 ÷a－3
27
2
12
1
＝a3 －6 ÷a－3 ＝a－2 ＋3 ＝a6 .
• [归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
• (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)已知
x7＝6，则
7
x＝___6___；
(3)若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是____[2_，__＋__∞__)____.
[分析] 解答此类问题应明确 n 次方根中根指数对被开方数的要求 及 n 次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16 的平方根为±4.－27 的 5 次方根为 5 －27.
基础自测
3
1.
－8等于(
B
)
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] 3 －8＝3 －23＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．(3 a)3＝a

（2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘.
新知运用
例4 （1）用分数指数幂的形式表示 .
（2）计算 .
方法指导 （1）把根式转化为分数指数幂，可以从外向里（也可以从里向外）化为分数指数幂.（2）利用指数幂的运算性质计算.
[解析] （1） .（2）原式 .
2.根式的性质
（1） （ 为奇数时， ； 为偶数时， ，且 ）.
（2）
新知运用
一、n次方根的概念
例1 （1）若81的平方根为 ， 的立方根为 ，则 __________.
（2）若 有意义，求 的取值范围.
7或
[解析] （1） 的平方根为 或 ， 的立方根为 ， 或 ， ， 或 .（2） 有意义， ， ，即 的取值范围是 .
方法总结 指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
3.0的正分数指数幂等于____， 的负分数指数幂___________.
新知运用
例3 （1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ).A. B. C. D. （2）将下列根式化成分数指数幂的形式.（其中 ， ）① ；② ；③ .
C
[解析] （1） ； ； ； .故选C.（2）①原式 .②原式 .③原式 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
课时1 次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解 次方根、 次根式的概念.（数学抽象）
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值.（数学运算）

6
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；

[规律方法]
正确区分n an与n an
n 1
an已暗含了n
a有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
2n an中的a可以是全体实数，n an的值取决于n的奇偶性.
跟踪训练
2．若 9a2－6a＋1＝3a－1，求 a 的取值范围． [解] ∵ 9a2－6a＋1＝ 3a－12＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1 可知 3a－1≥0，∴a≥13.
6．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
答案 1 a3 3 a2
2
a3 a3
32
a3
11
a3,
2 a 4b2 3 ab2
1
a 4b2 ab2 3
12
11 4
a 4b2a3b 3 a 6 b 3 .
7. (1)若 x<0，则 x＋|x|＋ xx2＝________. (2)若－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值. 思路探究：(1)由 x<0，先计算|x|及 x2，再化简． (2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值． (1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x， x2＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋ xx2＝x－x－1＝－1.]
人教2019A版必修 第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
温故知新
1．思考辨析 (1)实数 a 的奇次方根只有一个．( ) (2)当 n∈N*时，(n －2)n＝－2.( ) (3) π－42＝π－4.( )

而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a

a
p
q

q
1
a
p
q

无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数

②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1

③若a<0，则a的n次方根不存在.
为什么负数没有偶
次方根？
一般地，如果x a，那
n
么x叫做a的n次方根( nth root )，
其中n 1，且n N

式子 a叫做根式(radical )
n
n 根指数，a 被开方数
例(1)27的立方根是
;16的4次方根是
(2)已知x6=2 019,则x=
____(


_____
> ,

=


____
> , , ∈ ∗ , > )
> .
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：


=

> , , ∈ ∗ , >

所以，在条件 > , , ∈ ∗ , > 的下，根式都可以写成分数指数
质推广到有理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。（重点）
● 3. 通过具体的实例，说明n次根式表示为分数指数幂的过程中，保证指数幂的运算性质
仍然成立，说明了其合理性。（难点）
核心素养：
● 1.理解n次方根、根式的概念；理解分数指数幂的意义，培养学生数学抽象的核心素养。
● 2.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养学生逻辑推理的核心素养。
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数 - 4.1.1 n次方根与分数指数幂
n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
x a;
n
x a
n
x a.
n
(当n是奇数)
(当n是偶数,且a＞0)

4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；

- ≤ ,
所以需满足
解得 a∈[-3,3].
+ ≥ ,
答案:(1)-2
(2)[-3,3]
实数指数幂的扩充
复习回顾
1.计算下列各式，并指出它们是哪一类计算
1

2
2
3
1

2
an
1

2
a a
4
1

2
a
n N
2.正整数指数幂：
rs
r
r
a r a
（5）
（ ）= r
b
b
r
(a 0, b 0, r , s Q)
(a 0, b 0, r , s Q)
n N
nZ
a
n
正整数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
n Q
有理数指数幂
nR
实数指数幂
根式与分数指数幂的互换(其中字母都为正数)
5
4
3
a a;
3
3
2
3
a 4b 2 a b a

11
6
4
3
b .
Topic. 03
03 课堂小结
课堂小结
无理数指数幂
2. 计算下列各式．
7 0.5
10 2
2
2
37
－
(1) 9 ＋0.1 2＋ 27 3－3π0＋ ；
48
－
1
2 2
－ 2
×（ 2 2） 3
(2) 2
2
2
.
25 1
64 2
37
(1)原式＝ 9 2＋102＋ 27 3－3＋

核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【知识导学】
知识点一 根式的定义
(1)a 的 n 次方根的定义：
□01 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N* .
(2)a 的 n 次方根的表示
4.1.1 n次方根与分数指数幂
(教师独具内容)
课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负 整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．
教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数 幂与负分数指数幂的联系．
教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.n an与(n a)n 的区别与联 系．
．
知识点二 根式的性质
n (1)(
a)n＝
□01 a(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，且 n＞1)
．
n (2)
an＝
□02 a|a|nn为为奇偶数数，，且且nn＞＞11，
.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
知识点三 分数指数幂的意义 □02 1 (其中 a>0，m，n∈N*，且 n>1)
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4
(3)x≥1
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习

[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1)
x－πn(x＜π，n∈N*)；
6
(2)
4a2－4a＋1
a≤12
.
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当 n 为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；
当 n 为奇数时，n x－πn＝x－π.
综上可知，n
x－πn＝
π－x，n x－π，n
为偶数，n∈N*， 为奇数，n∈N*.
a
相乘．
n
(5)0 的任何指数幂都等于 0.
(√) (√) ( √)
(×) ( ×)
2. 5 a-2 可化为(
A．a
-
2 5
)
5
B．a 2
2
C．a 5
答案：A
3
3．化简 25 2 的结果是( )
A．5 答案：D
B．15
C ．25
4．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：11 8
-23 ;
(2)0.008-
2 3
;
(3)
81 2 401
-
3 4
;
(4)(2a+1)0;
(5)
5 6
-
3 5
-1
-1
.
解:(1)
125 27
-
2 3
53
-
2 3
33
5-2 3-2
32 52
295.
(2)0.
008-
2 3
=
(0.23
)-
2 3
=0.2-2=
1
-2
=52=25.
5
(3)