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四边形变式题

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四边形变式题一、动点型例1、（2004•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s 的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．变式：在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）设四边形APQD的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是3cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？（直接写出答案，不必写过程）解：（1）∵AP=4t，DQ=20-t，当四边形APQD为矩形时，则AP=DQ，即4t=20-t，∴t=4．（2）①当P在AB上，S=1/2（DQ+AP）AD，=1/2（4t+20-t）×4=6t+40（0＜t≤5），②当P在CB上，S=S矩形ABCD-S△ABO-S△QCP，=4×20-1/2×20×（4t-20）-1/2×t×（24-4t）=80-40t+200-12t+2t2=2t2-52t+280（5＜t＜6），（3）t1=4-552；t2=4+552；t3=90/17；t4=6；t5=10．例2、如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边解：（1）设t秒时两点相遇，则有t+2t=24，解得t=8．答：经过8秒两点相遇．（4分）（2）由（1）知，点N一直在AD上运动，所以当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，设经过x秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：（1分）①8-x=10-2x，解得x=2，（4分）②8-x=2x-10，解得x=6，（4分）答：第2秒或6秒钟时，点A、E、M、N组成平行四边形．（1分）变式：如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，BE=1cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动．①经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？②经过几秒钟，点A、E、M、N组成等腰梯形？解：（1）设t秒时两点相遇，则有t+2t=24，解得t=8．答：经过8秒两点相遇．（2）①由（1）知，点N一直在AD上运动，所以当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，所以2＜t＜6，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右侧，t-（2t-4）=1，解得t=3，②当M点在B点与E点之间，则MC=2t-4，BM=8-（2t-4）=12-2t，∴ME=1-（12-2t）=2t-11，2t-11=8-t，解得t=19/3（舍去），∴t=3；②当点M在点E的右侧时，t=5，当点M在点E的左侧时t=5s（t=5时没有运动到E点左边，故舍去）例3、如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别是从A ，B 同时出发，求：（1）经过多少时间，△PBQ 的面积等于8cm2？（2）经过多少时间，五边形APQCD 的面积最小，最小值是多少？解：（1）设运动时间为t ，则PB=6-t ，BQ=2t ，则S △PBQ=1/2PB •BQ=1/2×（6-t ）×2t=8，解得t=2或t=4，故经过2秒或4秒时，△PBQ 的面积等于8cm2．（2）根据（1）中所求出的S △PBQ=1/2PB •BQ=1/2×（6-t ）×2t ，整理得S △PBQ=-t2+6t ．当t=-b/2a=3时，S △PBQ 最大=-)1(436 =9， 故S 五边形APQCD=S 矩形ABCD-S △PBQ 最大=6×12-9=63cm2．故当t=3秒，五边形APQCD 的面积最小，最小值是63cm2（4分）变式：如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 开始以1 cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以2 cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动的时间为t ．求：（1）当t 为多少时，△PBQ 的面积等于8 cm2？（2）当t 为多少时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形？解：（1）AP=t ，BP=6-t ，BQ=2t ，△PBQ 的面积等于8cm2则1/2（6-t ）×2t=8整理得t2-6t+8=0，解得t1=2，t2=4即当t 为2秒或4秒时，△PBQ 的面积等于8cm2；（2）易得PD2=t2+122，PQ2=（6-t ）2+（2t ）2，QD2=（12-2t ）2+62，∵△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=（6-t ）2+（2t ）2+（12-2t ）2+62，整理得2t2-15t+18=0，解之得t1=6，t2=3/2，即当t 为3/2秒或6秒时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形．二、变式型1、（2011•潍坊）已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别作直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F ．（1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE+PF 的值．（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE-PF 的值．解答：解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PF ⊥BD ，∴PF ∥AC ，同理PE ∥BD ，∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．2、（2011•来宾）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图）：①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE⊥BF；（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．解答：（1）解：①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，②证明：根据正方形的性质，∵，∴∠BAE=∠CBF，根据外角性质，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，又∵∠FAM=45°﹣∠BAE，∴∠AMF=180°﹣（∠FAM+∠AFM）=180°﹣（45°+∠CBF+45°﹣∠BAE）=90°，∴AE⊥BF；（2）AE⊥BF于点M，如图所示：∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，∴△BEM∽△AEO，∴==，即AO==，∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，∴△BEM∽△BOF，∴==，即BO==，∵AO=BO，BE=OF，∴BE=EO，∴当AE⊥BF时，点E在BO中点．3、（2011•宿迁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t （0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF ⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°∴四边形ABFM、AEQD都是矩形∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN又∵∠QEP＝∠MFN＝90°∴△PEQ≌△NFM．（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t∴P A＝1，PE＝1－t，QE＝2由勾股定理，得PQ ＝22PE QE +＝4)1(2+-t∵△PEQ ≌△NFM ∴MN ＝PQ ＝4)1(2+-t又∵PQ ⊥MN ∴S ＝MN PQ ⋅21＝[]4)1(212+-t ＝21t 2－t ＋25 ∵0≤t ≤2 ∴当t ＝1时，S 最小值＝2．综上：S ＝21t 2－t ＋25，S 的最小值为2． 4、（2010•汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G 、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．（1）求证：△EGB 是等腰三角形；（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．证明： E （1）如图（1），在Rt △DEF 中， ∵∠EFB=90°，∠Ｅ＝30°∴∠EDF=60° ------------------1分 又∵∠ABC=30° ∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=30° -------------------2分 则 ∠E=∠GBE -------------------3分 ∴EG=BG∴ △EGB 是等腰三角形。

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专题 平行四边形的性质和判定(原卷版)

专题 平行四边形的性质和判定(原卷版)

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，AE ＝3，EB ＝5，ED ＝4．则CE 的长是（ ）A ．2√2B ．6√2C ．5√5D ．4√5【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．2√6【变式1-2】如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 与BD 的交点，AC ⊥AB ，E 为AD 的中点，并且OF ⊥BC ，∠D ＝53°，则∠FOE 的度数是（ ）A ．143°B ．127°C ．53°D ．37°【变式1-3】如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是（1，3），点A 的坐标是（5，0），则点B 的坐标是（ ）A ．（5，3）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（8，1）【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD 中P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝EF ＝FC．（1）求证：DE∥BF；（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=√34，AD＝3√2，求四边形ADEB的周长．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【例题3】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是（写出一个即可）．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【变式5-1】如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，连接AF 、CE 、DE 、BF 、EF ，AF 与DE 交于点G ，CE 与BF 交于点H ，则图中共有平行四边形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【变式5-2】如图，已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点D 是线段BC 上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），△ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交线段AB ，AC 于点F ，G ，连接BE 和CF ．则下列结论中：①BE ＝CD ；②∠BDE ＝∠CAD ；③四边形BCGE 是平行四边形；④当CD ＝2时，S △AEF ＝23，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式5-3】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【变式5-4】（2022春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式5-5】（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．【变式5-6】（2021春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．（1）求证：AP＝CQ；（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【变式5-7】（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE ⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．【变式5-8】（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD ＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．。

四边形题型归纳

四边形题型归纳

A B CD B ()E A BC DE F 2()1()F ED ABC AB CD EF四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1、沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD ，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为____________.2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD 的边AB=2，AB≠BC ，矩形ABCD 的面积为S ，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD ， ∠B=60°，AD ∥BC ，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE=___________.4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD ，使点C 落在AB 上的点F 处，已知AB=10cm ， BC=8cm ，则EC 的长为________.KE FGBDACPQABCDN MEE 'A 'ABC DD 'C 'A BCD E F 5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别落在AB 上的D ′、C ′处，折痕为EF ，若CD=3cm ，EF=4cm ，则AD ′+BC ′=________cm.6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)【例6】如图，已知EF 为正方形ABCD 的对称轴，将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点处，则∠DKG=_____.7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将C 点折至MN 上，落在点P 的位置，折痕为BQ ，连结PQ.(1)求MP 的长度; ⑵求证：以PQ 为边长的正方形的面积等于13.8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后AB 与EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（ ）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能确定【变式1】在矩形ABCD中AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△EBD，BE交CD于点F，求S△BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD，使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处，求AE的长。

人教版八年级数学下册专题05 平行四边形(题型归纳) (原卷版)

人教版八年级数学下册专题05 平行四边形(题型归纳) (原卷版)

专题05 平行四边形（一题三变）【思维导图】◎考点题型1：利用性质求解例．（北京·八年级期中）在ABCD 中,若40A ∠=︒,则C ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．40︒C ．80︒D ．140︒变式1．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）下列∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．1：2：3：4B ．1：4：2：3C ．1：2：2：1D ．3：2：3：2变式2．（吉林珲春·八年级期中）ABCD 的周长为32cm,AB ：BC =3：5,则AB 、BC 的长分别为（ ）A ．20cm,12cmB ．10cm,6cmC ．6cm,10cmD ．12cm,20cm变式3．（广东·西南中学九年级阶段练习）如图,在▱ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG交BC 于点E ,若BF ＝6,AB ＝5,则AE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10◎考点题型2：利用性质证明例．（辽宁·沈阳市培英中学九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．顺次连接矩形各边中点形成的四边形仍为矩形D ．经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相筹的两部分变式1．（吉林朝阳·八年级期末）如图,ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,则下列结论一定成立的是（ ）A ．OA OB = B ．AC BD = C ．AB CD = D ．AC BD ⊥变式2．（湖南零陵·八年级期末）如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD ＝BCB ．∠DAB ＝∠BCDC ．S △AOB ＝S △COBD ．AC ＝BD变式3．（陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,下列结论错误的是（ ）A ．ABO CDO ∠=∠B ．BAD BCD ∠=∠C ．AB CD = D ．AC BD ⊥◎考点题型3：性质的其它应用例．（2022·全国·八年级）如图,在ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,则下列结论正确的是（ ）A ．AB ＝CD B ．OA ＝ODC ．AD ＝CD D ．AC ⊥BD变式1．（陕西榆阳·八年级期末）关于平行四边形,下列说法正确的是（ ）A ．既是轴对称图形,又是中心对称图形B ．是轴对称图形,但不是中心对称图形C ．不是轴对称图形,但是中心对称图形D ．不是轴对称图形,也不是中心对称图形变式2．（福建·厦门一中八年级期中）在平行四边形ABCD 中,下列结论一定正确的是（ ） A ．∠A ＝∠B B ．AB ＝AD C ．AC ＞BD D ．∠B +∠C ＝180°变式3．（2020·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）平行四边形的一边长为12,那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）A ．8和14B ．10和14C ．18和20D ．10和34◎考点题型4：平行四边形的判断例．（全国·八年级课时练习）下列条件中,不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行,另一组对边相等C ．对角线互相平分D ．一组对边平行,一组对角相等变式1．（宁夏同心·八年级期末）如图,下列条件中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．//AB CD ,AD BC = B ．AB CD =,AD BC = C ．A B ∠=∠,C D ∠=∠ D ．AB AD =,B D ∠=∠变式2．（河南川汇·八年级期末）在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,下列条件一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AD ∥BC ,AB ＝CD B ．AO ＝OC ,BO ＝OD C ．AD ＝CB ,AB ∥CD D ．∠A ＝∠B ,∠C ＝∠D 变式3．（宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）下列各组条件中,不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）A ．一组对边相等且平行的四边形B ．两条对角线互相平分的四边形C ．一组对边平行另一组对边相等的四边形D ．两组对角分别相等的四边形◎考点题型5：添加条件成为平行四边形例．（天津四十三中八年级阶段练习）如图,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,添加一个条件,可使四边形ABCD 是平行四边形．下列错误的是（ ）A．BC∥AD B．BC=AD C．AB=CD D．∠A+∠B=180°变式1．（2019·山东兰陵·八年级期中）如图,在四边形ABCD中,BC∥AD,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD变式2．（全国·八年级课时练习）如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E、F分别是对角线BD上的两点,给出下列四个条件：①BE DF=；③BAE DAF=；②DE BF∠=∠；④BCE DAF∠=∠.其中能判断四边形AECF是平行四边形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式3．（陕西宁强·八年级期末）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、AD上的点,有下列条件：①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF,若要添加其中一个条件,使四边形AECF一定是平行四边形,则添加的条件可以是() A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④◎考点题型6：数图形中平行四边形的个数例．（2019·山东·德州市第九中学八年级期中）如图,点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、EF、FD,则图中平行四边形的个数为（）A．0B．2C．1D．3变式1．（2019·全国全国·八年级专题练习）如图,ABCD中,EG∥AB,FH∥CD,则图中平行四边形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个变式2．（内蒙古青山·八年级期末）如图,平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中有平行四边形（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个变式3．（2016·江苏省前黄高级中学八年级期中）如图,由25个点构成的5×5的正方形点阵中,横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A,B 为顶点,面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．9◎考点题型7：求与已知三点组成平行四边形的个数例．（2020·北京·101中学八年级期末）在平面直角坐标系中,A,B,C 三点的坐标分别为(0,0),(0,－5),(－2,－2),以这三点为平行四边形的三个顶点,则第四个顶点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式1．（陕西长安·九年级期中）如图,在平面直角坐标系中,1,0A ,()1,3B -,()2,1C --,找一点D ,使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形,则点D 的坐标不可能是（ ）A ．()2,4B ．()4,2-C ．()0,4-D ．()3,2-变式2．（河南商丘·模拟预测）如图,在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 的坐标分别是1,0A ,()1,3B -,()2,1C --,再找一点D ,使它与点A ,B ,C 构成的四边形是平行四边形,则点D 的坐标不可能是（ ）A ．()4,2-B ．()0,4-C ．()2,4D ．()3,2-◎考点题型8：平行四边形的证明例．（2022·全国·八年级）如图,在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．//AB CD ,AD BC ＝B ．BAD ABC BCD ADC ∠∠∠∠＝，＝ C ．//，＝AB CD AB CD D ．AB AD CB CD ＝，＝变式1．（黑龙江·哈尔滨市光华中学校八年级阶段练习）在四边形ABCD 中,O 是对角线交点,下列条件中,不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．//AD BC ,AD BC =B ．AB DC =,AD BC = C ．OA OC =,OD OB = D ．//AB DC ,AD BC =变式2．（陕西·西安市第三中学八年级期末）如图,四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ,下列能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AO OC =,AC BD =B ．BO OD =,AC BD = C ．AO BO =,CO DO = D ．AO OC =,BO OD =变式3．（山东南区·八年级期末）四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,下列选项中,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AD AB =,BC CD =B ．//AD BC ,AB CD = C ．AD BC =,//AD BC D ．AO BO =,CO DO =◎考点题型9：全等三角形拼平行四边形问题例．（2020·浙江杭州·八年级阶段练习）用两块全等的含30角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．②④⑤变式1．（全国·九年级专题练习）如图,有两块全等的含30角的直角三角板,将它们拼成形状不同的平行四边形,则最多可以拼成（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种变式2．（2020·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级期中）如图,某校区内有甲、乙两块大小一样的长方形地块,地块长30m,宽25m,现要在长方形地块内分别修筑如图所示的两条平行四边形小路(图中阴影部分),余下的部分绿化．现已知AB &#ξΦ03∆;CD &#ξΦ03∆;1m ,EF &#ξΦ03∆;GH &#ξΦ03∆;1m ,记甲、乙地块的绿化面积分别为S 1、S 2,则S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1=S 2C ．S 1>S 2D ．无法确定变式3．（2012·浙江·八年级阶段练习）在下列图形中,沿着虚线将矩形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是 ( )A ．B ．C ．D ．◎考点题型10：利用判定与性质求解例．（山东临沂·八年级期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④变式1．（上海市川沙中学南校八年级期中）以下条件能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．一组对边平行,另一组对边相等B ．一组对边平行,一组对角相等C ．一组对边相等,一组对角相等D ．一组对边平行,一组邻角互补变式2．（北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图,在▱ABCD 中,已知AD ＝8cm ,AB ＝6cm ,DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ,则BE 等于（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm变式3．（2019·广西覃塘·八年级期中）如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分BCD ∠与AB 交于点E ,DF 平分ADC ∠与AB 交于点F ,若8AD =,3EF =,则CD 长为（ ）A ．8B ．10C ．13D ．16◎考点题型11：利用判定与性质证明例．（湖南株洲·中考真题）如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在线段BC 的延长线上,若132DCE ∠=︒,则A ∠=（ ）A．38︒B．48︒C．58︒D．66︒变式1．（2019·山东阳谷·八年级期中）如图,两条平行线l1,l2被另外一组平行线l3,l4,l5所截,交点分别为A,B,C,D,E,F．则下列结论错误的是（）A．AB＝DE B．AD＝CF C．AB＝BC D．AC＝DF变式2．（湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习）如图所示,AB＝CD,AD＝BC,则图中的全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对、、的中点,则下列变式3．（全国·八年级课时练习）如图,ABC中,点D、E、F分别为边BC CA AB关于线段AD和EF之间关系的说法中正确的是（）A．AD EF⊥C．AD和EF互相平分D．以上答案都不对=B．AD EF◎考点题型12：性质和判定的实际应用例．（安徽太湖·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC、BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形变式1．（河南淮滨·八年级期中）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等,对角线互相垂直的四边形是平行四边形变式2．（2019·全国·八年级课时练习）如图,EF过▱ABCD的对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是▱ABCD面积的()A．16B．15C．14D．13变式3．（2020·甘肃·甘州中学八年级阶段练习）下列说法不正确的是（）A．平行四边形对边平行B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．平行四边形对角相等D．两组邻角互补的四边形是平行四边形◎考点题型13：与三角形中位线有关的求解问题例．（2022·全国·八年级课前预习）如图,点D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC＝3,则DE的长为（）A．2B．43C．3D．32变式1．（北京·八年级期中）如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定变式2．（河北·石家庄二十三中八年级期末）如图,DE是ABC的中位线,若4DE ,则BC的长为（）A．8B．7C．6D．7.5变式3．（湖南永兴·八年级期末）△ABC中,AB＝6,BC＝5,AC＝7,点D、E、F分别是三边的中点,则△DEF的周长为（）A．5B．9C．10D．18◎考点题型14：中位线与三角形的面积问题例．（辽宁皇姑·九年级期末）如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的面积是1,则四边形BCED的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式1．（2018·山东·八年级期末）如图,在ABC ∆中,8cm 6cm 10cm AC BC AB D E F ===，，，，，分别是AB BC CA ，，的中点,则DEF ∆的面积是（ ）A ．26cmB ．212cmC ．224cmD ．248cm◎考点题型15：中位线有关的证明例．（全国·九年级专题练习）如图,已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,E 、F 分别是P A 、PR 的中点,点P 在BC 上从B 向C 移动,点R 不动,那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定变式1．（2020·河北·东城实验学校九年级开学考试）在ABC 中,D E 、分别是AB AC 、的中点,则下列说法正确的是（ ）A ．CE BC =B ．12DE AB =C ．AED C ∠=∠ D ．A C ∠=∠变式2．（2020·重庆市大坪中学校八年级阶段练习）如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,将△ADE 沿线段DE 向下折叠,得到图2,下列关于图2的结论中,不一定成立的是（ ）A ．DE ∥BCB ．△DBA 是等腰三角形C ．点A 落在BC 边的中点D ．∠B+∠C+∠1＝180°变式3．（2019·福建·福州三牧中学八年级期中）在四边形ABCD 中,AD＝BC,E、M,F 分别为AB,BD,CD 的中点,若∠EMF＝120°,则∠MEF 等于()A．20°B．25°C．30°D．35°◎考点题型16：与中位线有关的实际应用例．（浙江温州·八年级期末）如图,为测量BC两地的距离,小明在池塘外取点A,得到线段AB,AC,并取AB,AC的中点D,E,连结DE．测得DE的长为6米,则B,C两地相距（）A．9米B．10米C．11米D．12米变式1．（广东中山·八年级期末）如图,为测量池塘边A,B两点的距离,小明在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别是点C、点D,且CD＝12米,则A,B两点间的距离是（）A．24米B．12米C．6米D．36米变式2．（辽宁抚顺·八年级期末）如图,要测定被池塘隔开的A、B两点的距离,可以在AB外选一点C,连接AC、BC,并分别找出它们的中点D、E,连接DE．现测得30mAC=,40mBC=,24mDE=,则A、B两点间的距离为（）A．35m B．45m C．48m D．50m变式3．（广东惠来·八年级期末）如图,为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD＝10m,则A,B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m。

平行四边形周练

平行四边形周练

例1、如图所示，E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE，CE，CF，AF，请你用两种不同方法证明四边形AECF是平行四边形。

变式一：如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和F，使BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。

变式二、如图，E,，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，BE=DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE，EH，HF，FG。

四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？变式三：已知，四边形ABCD是平行四边形，ACDF⊥于F，求证：BE=DF.BE⊥于E，AC变式四：如图，平行四边形ABCD中，AE，CF平分DAC∠，则四边形AFCE是平行四∠、BCA边形吗？为什么？变式五：已知：四边形ABCD是平行四边形，ADE∆都是等边三角形。

求证：BD和EF∆和BCF互相平分。

补充： 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形．如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 有在同一条直线上． 求证：EF 和GH 互相平分．如图所示，延长▱ABCD 的边BC 至E ，DA 至F ，使CE=AF ，EF 与BD 交于O ．求证：EF 与BD 互相平分．例二：（2005•贵阳）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（如图（a ）），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（如图（b ））； （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S 1S 2，S 3S 4；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？变式一：如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线b x y +=31恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=__________如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点坐标B （17，6），C （5，6），直线b x y +=21恰好将平行四边形OABC 的面积分成相等的两部分，那么b=________如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是．四边形的面积第一部分如图，点P 是平行四边形ABCD 内一点，已知S △PAB =7，S △PAD =4求S △PAC如图，已知P 为平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB=5，S △PAD=2，则S △PAC如图所示，设P 为▱ABCD 内的一点，△PAB ，△PBC ，△PDC ，△PDA 的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，则有___________如图所示，P 为平行四边形ABCD 外一点，已知三角形PAB 的面积为10平方厘米，三角形PDC的面积为7平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。