四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为( )A.8B.6C.4D.3 【答案】B考点：三视图，几何体的体积.4.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( ) A.2=a B.1=a C.0=a D.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.5B.5log 8C.9D.9log 8 【答案】D【解析】试题分析： 由程序框图可知，程序在运行过程中各变量值变化如下表：x是否满足条件y第一次循环 2 5x >否 第二次循环 3 5x >否 第三次循环 5 5x >否第四次循环 95x >是9log 81y >是输出9log 8故选D .考点：算法与程序框图，对数函数的性质.6.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为( ) A.41 B.21 C.4πD.π 【答案】C 【解析】7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.0 【答案】B 【解析】8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】A 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.考点：三角函数的性质，三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，余弦定理的应用.9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为( ) A.41 B.51 C.22 D.42 【答案】B【解析】无法确定选项！考点：椭圆的几何性质，余弦定理的应用.10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为( ) A.2 B.310 C.316 D.320 【答案】C 【解析】考点：一元二次方程，一元二次不等式的解法，转化与化归思想.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.【答案】900 【解析】试题分析：由表知，第2组的频率为150.350=；平移直线2=0x y -，当直线经过点33A （，）时，m a x z 23-3=3=⨯. 考点：简单线性规划13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 【答案】12【解析】14.已知,a b 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-，若,a b 的夹角为60°则实数=k ___. 【答案】1 【解析】15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=， ........,若2332x x <-+>=，则=x ________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ； （Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.【答案】（Ⅰ）342q =-．（Ⅱ）证明：见解析. 【解析】解得：1q =（舍去），或342q =-．…………………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612q q +=，∴ 4325111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵ 78122a a q =，∴ 2582a a a +=，即582,,a a a 成等差数列． ……………………………………12分 考点：等比数列的求和公式，等差数列的性质.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙10 30 47 27 46 14 26 10 44 46的概率.根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分 （Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ， 从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：ABC Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共10个． ……8分其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：Aab Bab Cab ABa ACa BCa ABb ACb BCb ，，，，，，，，，共9个， ……………10分∴ 910P =．……………………………………………………………………………12分 考点：茎叶图，古典概型.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=4π，且(,)62ππα∈.（Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值；（Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.【答案】（Ⅰ）1277x =．（Ⅱ）max 3()34f παα==，． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，，结合角的取值范围，即得max 3()34f παα==，． 试题解析：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，， ……………………2分∵ 7cos()()31462πππαα+=-∈，，， ∴ 321sin()314πα+=， ………………………………………………………………4分 ∴ 1cos cos ()cos()cos sin()sin 333333x ππππππαααα⎡⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦，∴ 1277x =． …………………………………………………………………………6分19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）D ACEF B ACEF V V V --=+33316a =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB 的中点G ，连结CG ．得到DC//AG ． 又推知四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ， 得到AC ⊥BC ．进一步BC ⊥平面ACEF ． 得到 BC ⊥AF ．（Ⅱ）根据面面垂直、线面垂直得到BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 根据平行四边形、直角三角形，确定211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形，（Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH//BC ， ∴ DH ⊥面ACEF ．即BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高． 在Rt △ACB 中，2243AC a a a =-=，EF=32a ． 由EF//21AC//CH ，且∠ACE=90º，知四边形HCEF 是矩形， ∴ FH//EC ，于是FH ⊥AH ． 在Rt △FAH 中，222231()22CE FH AF AH a a a ==-=-=． ∴ 211333()(3)22228ACEFa a S EF AC CE a a =+⋅=+⋅=四边形， ∴ D ACEF B ACEFV V V --=+2213313338382a a a a =⨯⨯+⨯⨯33316a =．………12分 考点：平行关系，垂直关系，几何体体积计算.20.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值； （III ）试着讨论)(x f 的单调性.【答案】（Ⅰ）a=-1． （Ⅱ）a 的最大值为14-．（Ⅲ）①当a 1≤-时，)(x f 在(0)+∞，上是增函数； ② 当10a -<<时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在1111()a a a a+--+-，上是减函数，在11()a a-+-+∞，上是增函数；∵ (1，f(1))是)(x f 的一个极值点， ∴(1)120f a '=--=，解得a=-1．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由题意知x>0，且1()2f x ax x '=--≥-1恒成立，即a ≤211x x-. 令g(x)=211x x -，于是323212()x g x x x x--'=+=，∴ 当x ≥2时，()g x '0≥，即()g x 是[2+)∞，上的增函数，当0<x<2时，()g x '0<，即()g x 是(0，2)上的减函数，∴ 当x=2时，()g x 取最小值g(2)=14-，∴ a ≤14-，即a 的最大值为14-．…………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 1()2f x ax x'=-+=221ax x x --+，设2()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，，① 当a 0>时，③当a 0>时，)(x f 在11(0)a a +-，上是增函数，在11()a a+-+∞，上是减函数． ……………………………………………………13分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题，不等式解法. 21.（本小题满分14分） 已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为2y 2x =，圆的方程为()22x 1y 1-+=． （Ⅱ）S △PMN 的最小值为8．【解析】试题分析： （Ⅰ）设圆的标准方程为()()222x r y rr 0-+=>，由已知有F(2p ，0)，即|EF|=r-2p ．根据 l 截得的弦长为3，从而22200020448()(2)x y x b c x +--=-， 利用200y 2x =，化简得到220204()(2)x b c x -=-，即0022x b c x -=-．从而PMN S ∆=00000014()(2)4222x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--2=448≥+.又直线PM 与圆()22x 1y 1-+=相切，∴0022001()y b x b y b x -+=-+，化简得22200002()x x b y b x b =-+．按题意，0x 2>，上式化简得，2000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分 同理，由直线PC 与圆()22x 1y 1-+=相切，可得2000(2)20x c y c x -+-=．………9分∴ 由根与系数的关系知，0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，。

绵阳市高中2020级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDAC AADCB BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．2 15．116．21三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）抽取的3个销售终端中至少有2个销售终端的年销售额超过40万元的概率2134164320557C C C P C ． ········································································· 5分 （2）由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售终端，春季新款的年销售额超过40万元的概率是15，随机变量 ～B 1(3)5，． ··············································· 6分00331464(0)()()55125P C ， ······························································· 7分1231448(1)55125（）P C ，······························································ 8分2231412(2)(55125P C ， ································································ 9分3303141(3)()(55125P C ． ······························································ 10分的分布列为：·································································································· 11分∴的期望为：3()5E np ． ···························································· 12分18．解：（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．∵PA =PC ，∴PO AC ． ···································································· 1分∵4PA PC AC ，∴90APC ， ················································································ 2分 ∴122PO AC，同理2BO ． ························································· 3分又PB 222PO OB PB ，即PO OB ． ·································· 4分∵AC OB O ，AC ，OB 平面ABC ， ∴PO 平面ABC ． ··········································································· 5分又PO 平面PAC ，∴平面PAC平面ABC ． ··································································· 6分（2）∵PO 平面ABC ，OB AC ，则PO OB ． 又PO OC ，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ，则(200)，，A ，(020)B ，，，(200)，，C ，(002)，，P ，24(0)33，，M ，············· 7分∴(202)，，AP uu u r， 220，，AB uu u r ．设平面PAB 的法向量为n ()，，x y z ，由0=0，，n AP n AB得220220，，x z x y 令1x ，得n (111)，，， ························· 9分 同理，平面APM 的法向量为m (121)，，， ············································· 10分∵cos cos 3，m n m n m n， ··················································· 11分∴二面角余弦值为3． ···································································12分 19．解：（1）由)n n S T ，令n =1，得11111))23=a S T b ，即12=a ， ·························· 2分又∵4134a a d ，∴等差数列{n a }的公差2 d ，42 n a n ， ··········································· 4分∴21()32n n n a a S n n， ································································ 5分 ∴nn n T 32)3( ． ············································································· 6分（2）当2≥n时，22(1)3(1)54-1n n nn n T ， ······································ 7分∴当2≥n时，24213n n nn n T b T，················································· 8分 当1n 时，311b 也满足上式，所以23n n b (n N )． ····························· 9分 ∴2243=n n n n a n c b， 要使11n n n c c c 成立，即321262422333n n n n n n ， ······························· 10分 解得n =4， ······················································································· 11分∴323c，449c ，529c ，满足：4c 为3c ，5c 的等差中项， ∴存在n =4符合题意． ······································································· 12分20．解：（1）221()x ax f x x， ······························································· 1分∵()f x 在1(2)2上即有极大值又有极小值，所以方程2210x ax 在1(2)2上有两不等实根， ·································· 2分令2()21g x x ax ，则280122413(0222(2)920a a a g g a， ············································ 3分解得：3a ，所以实数a的取值范围为：3a ． ················································ 5分（2）设切点为00()，x y ，其中22x ，则由题意可得： 200020000211ln ，，x ax x x a x x ax····································································· 6分 整理得：00121a x x， ··································································· 7分 ∴200001ln 220x x x x，（ ） 令21()ln 22h x x x x x)2（x ， 则22211(1)(21)()22x x h x x x x x ， ············································ 8分由2210x ， 易知：()h x在12（上单调递增，在1)（， 上单调递减． ························ 9分 ∴()(1)0≤h x h ，所以方程（ ）只有唯一解：01x ， ··························· 10分所以：2a ． ·················································································· 12分 21．解：（1）设M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，直线l ：y =x −2， ······························· 1分联立方程222x y y px，整理得：2240y py p ，···································· 2分由韦达定理：121224y y py y p ， ······························································· 3分12MN y························································· 4分解得：12p，故抛物线的方程为：y 2=x ．··············································· 5分 （2）方法一：设y 1=a ，则2()，M a a ，联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ；由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a； ······················································ 7分 联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得：230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a． ······················································ 8分 ∴121=+=PMN PAN PAM PAMy y S S S S y121313111()()156()22y y y y y y y y3165=()2a aa ······························································· 10分 令365()h a a a a，∴224244(51822()a a a a h a a a由()0h a解得：a，由()0h a解得：0a ， ∴()h a在区间单调递减，在) 单调递增， ··········· 11分 ∴当252a时，h (a )取得最小值. 故M的横坐标为52． ············· 12分 （2）方法二：延长PN 交x 轴于点Q ， 设 P (x 3，y 3)，Q (x 4，0)，y 1=a ，则2()，M a a ， 联立直线MN 与抛物线C 方程可得：22x ty y x，整理得：220y ty ， 由韦达定理：y 1 y 2=−2，则y 2=2a ，故N (242a a)， ·································· 7分联立直线MP 与抛物线C 方程可得：23x ny y x，整理得: 230y ny ，由韦达定理：y 1 y 3=−3，则y 3=3a ，故P (293，a a)， ·································· 9分 ∵Q ，N ，P 三点共线，故QNNP k k ，代入得：4222145aa x a a，解得：426x a ，∴2102(QN a a，2153()，QP a a，即23QN QP ，故13NP QP ， 则1323111163165==(3)()=()33262MNP MQP S S QB y y a a a a a a ，········ 10分令365()h a a a a ，则424518()a a h a a ，当252a时，h (a )取得最小值， ···················································· 11分 故M的横坐标为52． ································································· 12分 22．解：（1）可得圆C 的标准方程为：22(2)4x y ，∴ 圆C 是以C （2，0）为圆心，2为半径的圆， ······································ 2分 ∴ 圆C 的参数方程为：22cos 2sin x y（ 为参数）． ····························· 5分（2）∵||AB ，可得2ACB， ·················································· 6分不妨设点A 所对应的参数为 ，则点B 所对应的参数为2，∴(22cos 2sin )，A ，则(22cos(2sin())22，B，即B 22sin 2cos ， ， ··································································· 7分∴ 1122cos 2sin x y，2222sin 2cos -x y，∴ 1212x x y y =22cos )(22sin )2sin 2cos （ ······························ 8分=44(cos sin ) =4+)4， ······························ 9分∵[02]， ，则9[]444，，∴ 当cos(4=1，即 =74时，1122x y x y 的最大值为4 ． ·········· 10分 23．解：（1）由a =1，则2b +3c =3，由柯西不等式，得222(]23)≥b c ，····························· 2分∴21153()232≤ ， ····························································· 3分∴2，当且仅当92105b c 时等号成立． ···························· 5分 （2）∵a +2b +3c =4，即2b +3c =4−a ，2 2 ， ············································· 6分又由（1）可知：222(23)≥b c ，···························· 7分∴25(4)(26≥a ，即1140≤a ， ········································· 8分t ，所以2112440≤t t ， 解得：2211≤≤t ，即44121≤≤a ， ························································· 9分 又2b +3c =4−a ，且b >0，c >0，∴4−a>0，即a<4，综上可得，44121≤a ． ···································································· 10分。

绵阳市高中2011级第三次诊断性考试数学（文科)本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至3页，第II卷3至4页。

满分150分。

考试时.间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5亳米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

参考公式：如果事件A、B互斥,那么；如果事件A、B相互独立，那么；如果事件J在一次试验中发生的概率为P，那么在A7次独立重复试验中恰好发生k次的概率：第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1如果集合A={},B={},那么=A. {—1, 0, 1 }B. { — 1, 1 }C. {0 }D.2. 函数y=2+l n(x+1)(x>-1)的反函数是A. B.C. D.3. 某单位有职工600人，其中30岁及以下职工180人，30岁以七40岁及以下职工200人，40岁以上50岁及以下职工140人，50岁以上职工80人.为了解职工的身体健康状况，决定釆用分层抽样的方法，从中抽取容量为30的样本，则从上述各层中依次抽取的人数是A. 9, 10, 7, 4B. 9, 10, 6, 5C. 8, 10, 7, 5D. 10, 11, 5， 44. 给出如下命题：①两条相交直线在同一平面内的射影必是相交直线②如果两条直线在同一平面内的射影是平行直线，那么这两条直线平行或异面③设a,b是直线，a是平面，若a丄b且a丄a，则b//a其中正确命题的个数是A. O个B.1个C. 2个D. 3个.5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B.且C. D.6. 若m〉0,n>0,点(-m, n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x—y+2=0上，那么的最小值等于A. B. C. 9 D. 187. 8名志愿者分成4组到四个不同场所服务，每组2人，其中志愿者甲和志愿者乙分在同一组，则不同的分配方案有A. 2160 种B: 60 种 C. 2520 种 D. 360 种8. 已知函数，则下列结论错误的是A. 函数的图象的一条对称轴为x=B. 点（，0)是函数图象上的一个对称中心C. 函数在区间（)上的最大值为3D. 函数的图象可以由函数图象向右平移个单位得到9. 某企业生产4、S两种产品，J产品的利润为60元/件，5产品的利润为80元/件，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产.每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和 2.4 h，每件B 产品在加工车间和装配车间都需经过 1.6h.在一个生产周期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h，在销路顺畅无障碍的情况下，该企业在一个生产周期内可获得的最大利润是A. 12400 元B. 12600 元C. 12800 元D. 13000 元10. 数列{}为等差数列，其前n项和为S…，己知，若对任意n，都有成立，则的值等于A. 7B. 8C. 9D. 1011. 已知点P、A、B、C是球面上的四个点，P A、P B、P C两两垂直，且P A=P B=P C=2,则A b两点间的球面距离等于A. B.C. D.12. 考查下列四个命题：①已知直线l,二次函数的图象（抛物线）C,则“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”是“直线l与抛物线C相切”的必要不充分条件②“a+b=O”是“直线y= x+ 2与圆相切”的充分不必要条件③“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件④的最小正周期为6”是"函数对于任意实数X，有”的充分必要条件其中所有正确的命题是A.①②B.①③C.③④D.①②④第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13. 展开式的常数项是_________.(用数字作答）14. 已知正三棱柱中，.，M为C C1的中点，则直线B M与平面所成角的正弦值是_________.15. P是双曲线.右支上一点，F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，若,且，则点P到双曲线右准线的距离是_________.16. 设集合,对任意，运算“”具有如下性质：(1)； (2)； (3).给出下列命题：①：②若，则；③若，且，则a=0;④若，，且，，则a= c.其中正确命题的序号是_________(把你认为正确的命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证阱过程或演算步骤.17. (本题满分12分）在中，角A, B, C所对的边分别为a, b，c,向量»且满足.(3) 求角C的大小；(4) 若a-b= 2, C =,求的面积.18. (本题满分12分）甲、乙两同学进行投篮比赛，每一局每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立.(2) 求一局比赛甲进两球获胜的概率；(3) 求一局比赛的结果不是平局的概率.19.(本题满分12分）如图1,E, F，G分别是边长为2的正方形所A B C D 所在边的中点，沿E F将ΔC E F截去后，又沿E G将多边形A B E F D折起，使得平面D G E F丄平面A B E G得到如图2所示的多面体.(3) 求证：F G丄平面B E F；(4) 求二面角A-B F-E的大小；(5) 求多面体A D G—B F E的体积.20. (本题满分12分)设椭圆C:(“a>b〉0)的左焦点为，椭圆过点P（).(1)求椭圆C的方程；(2)已知点D(1, 0),直线l:与椭圆C交于a、B两点,以D A和D B 为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.21. (本题满分12分)已知是函数()的导函数，数列{}满足.(1)求数列{}的通项公式；(2) 若，为数列{}的前n项和，求22. (本题满分14分)设a为实数，函数,x(1) 当a=0时，求的极大值、极小值；(2) 若x>0时，，求a的取值范围；.(3) 若函数在区间（0,1)上是减函数，求a的取值范围.绵阳市高中2011级第三次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBAB DADD BBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．15 14．4615．2 16．①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （1）∵ m ·n =21)22cos(2sin 2sin 2cos 2cos -=+-=+-B A B A B A ， ……… 3分∴ 212cos=+B A ．注意到 220π<+<B A ，∴ 32π=+B A ，得 3π=C ．……… 6分 （2）由 c 2= a 2+ b 2－2ab cos3π，得 5 =（a －b ）2+ ab ，ab = 1， ……… 9分 因此△ABC 的面积43sin 21==∆C ab S ABC ． ………………… 12分 18．解 （1）设“一局比赛甲进两球获胜”为事件A ，则221222111()()[()()]3223P A C =⋅+⋅=． ………………… 6分（2）设“一局比赛出现平局”为事件B ，则221122222112112113()()()()()()323323236P B C C =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=， ………………… 10分 所以 23()1()36P B P B =-=，即一局比赛的结果不是平局的概率为2336．…………………12分19．解 （1）证明 ∵ 面DGEF ⊥面ABEG ，且BE ⊥GE ，∴ BE ⊥面DGEF ，得 BE ⊥FG ．又 ∵ GF 2 + EF 2 =（2）2 +（2）2 = 4 = EG 2∴ ∠EFG = 90︒，有 EF ⊥FG ．而 BE ∩EF = E ，因此 FG ⊥平面BEF ．………… 4（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A （1，0B （1，2，0），E （0，2，0），F （0，1，1），于是，FA(1,－1,－1)，FB = (1,1,－1)，FE = (0,1,－1)．设相交两向量FA 、FB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1)，则由n 1⊥FA ，得 x 1－y 1－z 1 = 0；由n 1⊥FB ，得 x 1 + y 1－z 1 = 0． 解得 y 1 = 0，x 1 = z 1，因此令 n 1 =（1，0，1）．事实上，由（1）知，平面BEF 的一个法向量为n 2 =（0，1，1）．所以 cos< n 1, n 2> =211111111001||||2121=+⋅+⨯+⨯+⨯=⋅⋅n n n n ，两法向量所成的角为3π， 从而图2中二面角A －BF －E 大小为32π．……………… 8分另法 如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角H －BF －E 的大小为3π，进而求得二面角A －BF －E 的大小为32π．（3）连结BD 、BG 将多面体ADG －BFE 分割成一个四棱锥B －EFDG 和一个三棱锥D －ABG ，则多面体的体积= V B －EFDG + V D －ABG ．653121112213111)21(2131=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅． ……………… 12分另法 补成直三棱柱或过F 作ADG 的平行截面FKM ，则多面体的体积 = V 柱－V F －BEH =65 或 = V 柱 + V F －BEMK =65．20．解 （1）由题意知3=c ，b 2 = a 2－3，由2212213a a +=- 得 2a 4－11a 2+ 12 = 0，所以（a 2－4）（2a 2－3）= 0，得 a 2= 4或2232a c =<（舍去），因此椭圆C 的方程为1422=+y x ． ……………… 4分（2）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 所以4k 2+ 1＞0，0161664)1)(14(166422222>+-=-+-=∆m k m k m k ，得 4k 2 + 1＞m 2． ① ……………… 6分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x 0，y 0），则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -⋅=+，于是 02441km x k -=+，02244141km m y k m k k -=⋅+=++，224(,)4141km m M k k -∴++． 设菱形一条对角线的方程为1(1)y x k=--，则有 x =－ky + 1．将点M 的坐标代入，得 22414141km km k k --=+++，所以2413k m k+=-． ② ……………… 9分将②代入①，得2222(41)419k k k ++>，所以9k 2＞4k 2+ 1，解得 k ∈),55()55,(+∞⋃--∞． ……………… 12分 法2 11221212(1,)(1,)(2,)DA DB DQ x y x y x x y y +==-+-=+-+FDGB EA H2228822(,)4141km k m k k ++=-++．直线l 的方向向量为（1，k ），则由菱形对角线互相垂直得2228822(1,)(,)04141km k m k k k ++⋅-=++，即228822041km k km k ---+=+，－3km = 4k 2 + 1，2413k m k+=-， 代入①即得． 法3 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x 0，y 0），则142121=+y x ，142222=+y x ，于是，两式相减可得 1422212221=-+-y y x x ，即 x 0 + 4ky 0 = 0． ①因为 QD ⊥AB ，所以 1100-=-=x y k k QD ． ②由①②可解得 340=x ，031y k -=，表明点M 的轨迹为线段340=x （35||0<<y ）．当350<<y ，k ∈（35，+∞）；当035<<-y ，k ∈（－∞,35）．综上，k 的取值范围是k ∈),55()55,(+∞⋃--∞． 21．解 （1）∵ x x x f 221)(2+=，n ∈N *， ∴ nx x f 21)(+='，于是 a n+1 = f ′ (a n ) = a n +n 21，从而 a n+1－a n =n 21,n ∈N *，3分 ∴ a n －a 1 =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+ … +（a 3－a 2）+（a 2－a 1）=1221)21(121212121----=++++n n n ，即 1)21(2--=n n a ，n ∈N *． 6分（2）∵ b n =（2n －1）（2－a n ）=（2n －1）·1)21(-n ，∴ 211111135()(21)()222n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，12n S =21111113()(23)()(21)()2222n n n n -⨯+⨯++-⋅+-⋅，211111112[()()](21)()22222n n n S n -∴=++++--⋅， ……………… 9分 113111[1()]1112224(21)()6()(21)()22212n n n n n S n n -----=+⋅--=---⋅-=12326-+-n n .12分 22．解 （1）当 a = 0时，f （x ）= x 3－3x 2－9x ，f '（x ）= 3x 2－6x －9 = 3（x + 1）（x －3），列表如下：（2）f （x ）= x 3－3（1－a ）x 2 +（a 2 + 8a －9）x = x ， 令 g （x ）= x 2－3（1－a ）x + a 2 + 8a －9，则问题等价于当x ＞0时，g （x ）= x 2－3（1－a ）x + a 2+ 8a －9≥0，求a 的取值范围．ⅰ）若二次函数g （x ）的对称轴2)1(3a x -=＜0，即a ＞1时，根据图象，只需g （0）≥0，即a 2+ 8a －9≥0，解得a ≤－9或a ≥1．结合a ＞1，得a ＞1．ⅱ）若二次函数g （x ）的对称轴2)1(3a x -=≥0，即a ≤1时，根据图象，只需△= 9（1－a ）2－4（a 2+ 8a －9）≤0，解得1≤a ≤9．结合a ≤1，得a = 1．故当x ＞0时，f （x ）≥0，实数a 的取值范围是a ≥1． ……………… 9分 （3）要使函数f （x ）在（0，1）上是减函数，只需f '（x ）在（0，1）上恒小于0，因为 f '（x ）= 3x 2－6（1－a ）x + a 2+ 8a －9，其二次项系数为3，从而只需f （0）≤0，且 f （1）≤0，即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--=≤-+=,098)1(63)1(,098)0(22a a a f a a f 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-.761617,19a a易知761-＜1， 所以 －9≤a ≤761-．综上所述，若函数f （x ）在（0，1）上是减函数，则a 的取值范围是－9≤a ≤761-．……………… 14分。

绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．ABCD EF O而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --， 显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。