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《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1

《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1

分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)

中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3

中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3

学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93

乘法公式ppt课件

乘法公式ppt课件

感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练


2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲


2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝


［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2

乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)

乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)

(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22

七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版

七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版

3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；

11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)

11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b⁠2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2

乘法公式ppt课件

乘法公式ppt课件

巴依老爷
阿凡提与财主
现在这块地跟原来那块正方形的 地相比，一边加5米，一边减5米，
你看你也不吃亏。
巴依老爷，您这可就是欺负人了 啊，背信弃义不说，还过来蒙我！
大伙评评理，我要去告官！
阿凡提
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
运用平方差公式进行相关计算。
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
动脑想一想
多项式和多项式怎样相乘？
(a+b)(m+n)
动脑想一想
计算： (-x+2y)(-x-2y)
• 解：原式=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
−x是同号项 2y是异号项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同号项的平方减异号项的平方
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
动脑想一想
计算：(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
• 解：原式= y2−22−(y2+4y−5) = y2−4−y2−4y+5 = −4y + 1
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简 化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。

乘法公式 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)

乘法公式 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)

归纳
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． 这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.
例1 计算：
(1) (x+3y )2；
(2)
1 3
ab
cm
2
;
(3) (－4a－3b)2 .
解：(1) (x+3y )2 = x 2+2x (3y )+(3y )2 =x 2+6xy+9y 2 .
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并
同类项；对于(2)可以把底数(a－b)、(a＋b)分别
看成一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算； 对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积， 再利用完全平方公式进行计算．
解：(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1) ＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1 ＝－5x 2－10x；
m
2
；
(6)
2 x
1 3
2
y
.
解： (1)(1＋a)2＝1＋2a＋a 2.
(2)(2a－1)2＝4a 2－4a＋1.
(3)(3a＋b)2＝9a 2＋6ab＋b 2.
(4)
2n
1 4
2
4n2
n
1 16
.
(5)
2n
2 3
2
m
4n2
8 3
n
4 9
m2.
(6)
2 x
1 3
y
2
4x2
4 3
b
形成四块实验田，以种植
不同的新品种(如图).

人教版八年级数学课件-乘法公式

人教版八年级数学课件-乘法公式

(1)(x 7)(x 7) x2 7 (2)(2a 5)(2a 5) 2a2 25 (3)(1 3m)(1 3m) 1 9m2
（ ×）
（ ×） （ ×）
(4)(ab 1)(ab 1) a2b2 1 (5)(a b)(b a) a2 b2
（ ×） （ ×）
(6)(1 4xy)(1 4xy) 1 16x2 y2 （ √）
解: (1) 可 以
(2) 不可以
(3) 可 以
(4) 可 以
(1)(a+3)(a-3) (3)(a2+5b)(a2-5b) (4)(- -14x)(4x - )
3
(2)(2a+3b)(2a-3b)
1 3
解:(1)原式=a2-32 =a2-9
(3)原式=(a2)2-(5b)2
=a4-25b2
(2)原式=(2a)2-(3b)2
3
3
9
(7)(4x 3b)(4x 3b) 16x2 9 （ ×）
(8)(3a bc)(bc 3a) 9a2 b2c2（ √）
思考題： （1）(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x-y)
（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
作業設計
１、計算：
(1)(a+2b)(a-2b) (2)( a2+5b)( a2-5b) (3)(-2a-3b)(-2a+3b) (4) ( 1 a 1 b)(1 a 1 b)
乘法公式
分別用代數式表示a與b的和 、差、平方差。
解：a與b的和：a+b a與b的差 ：a-b a與b的平方差：a2-b2
計算：

乘法公式课件ppt

乘法公式课件ppt
2023
乘法公式课件ppt
目 录
• 乘法公式概述 • 乘法公式的分类及运算规则 • 乘法公式的应用
01
乘法公式概述
乘法公式的定义
乘法公式的数学定义
乘法公式是指对于任意的整数a、b(a≠0)，都有唯一的乘积 ab和它对应，称为乘法公式。
常用乘法公式
常用的乘法公式包括(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²2ab+b²，a³+b³=a³+3a²b+3ab²+b³等。
小数乘法
总结词
小数乘法是在整数乘法的基础上拓展而来 的，它是指将两个或多个小数相乘得到另 一个小数的运算。
VS
详细描述
小数乘法的运算规则与整数乘法基本相同 ，但需注意小数点的位置。具体来说，小 数乘法是通过移动小数点来进行计算的， 移动的位数取决于因数小数点的位数，即 对于任意两个小数a和b，它们的积为 a×10^n×b，其中n为小数点向右移动的 位数。
03
乘法公式的应用
乘法公式在代数中的应用
求解线性方程
在代数中，乘法公式可以用来求解线性方程。比如，对于方程ax+b=c，可 以使用乘法公式得到x=(c-b)/a。
因式分解
乘法公式也可以用于因式分解。例如，对于多项式f(x)=x^2+x+1，我们可以 使用乘法公式得到f(x)=(x+1/2)^2+3/4。
THANK YOU.
集合乘法
总结词
集合乘法是一种特殊的乘法运算，它是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的运算。
详细描述
集合乘法是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的过程。它的运算规则是将两个集合的元素逐一组 合起来，形成一个新的集合。例如，对于集合A和集合B，它们的积A×B是一个新的集合，包含所有(a, b)对， 其中a属于A且b属于B。

乘法公式ppt课件

乘法公式ppt课件

乘法交换律
总结词
乘法交换律是数学中的基本定理之一，它描述了两个数相乘时，交换它们的顺序不会改变乘积的结果 。
详细描述
乘法交换律是指对于任何实数a和b，有a × b = b × a。这个定理说明了乘法的可交换性质，即两个 数的乘积与它们的顺序无关。
04
乘法公式的实例解析
实例一：整数乘法
总结词
整数乘法是乘法公式中最基础的形式，通过实例解析可以帮助学生更好地理解乘法的本 质。
详细描述
乘法分配律是指对于任何实数a、b和c，有a × (b + c) = a × b + a × c。这个定理在数学和物理中有广泛的应用，是学习 代数和微积分的基础。
乘法结合律
总结词
乘法结合律是数学中的基本定理之一 ，它描述了三个数相乘时，不论括号 如何组合，其结果都相同。
详细描述
乘法结合律是指对于任何实数a、b和 c，有(a × b) × c = a × (b × c)。这 个定理说明了乘法的结合性质，即乘 法的顺序不影响结果。
掌握同余式的性质和 运算规则
乘法公式的历史背景
古代数学中的乘法
在古代，人们通过重复加法来计算乘 法，随着数学的发展，逐渐形成了乘 法公式。
现代数学中的乘法
在现代数学中，乘法公式已经成为了 基础数学知识之一，被广泛应用于各 个领域。
乘法公式的应用场景
日常生活
在日常生活中，我们经常需要用到乘 法公式，比如购物时计算折扣、计算 利息等。
详细描述
分数乘法是指两个分数之间的相乘。在进行 分数乘法时，需要将分子和分母分别相乘， 然后化简得到最简分数形式。例如，1/2乘 以1/3等于1/6，表示为数学公式为 1/2x1/3=1/6。在进行分数乘法时，需要注 意分子和分母的约简问题，以确保结果的简 洁性和准确性。

乘法公式复习课课件

乘法公式复习课课件

乘法公式复习课课件一、教学目标1、复习巩固乘法公式，掌握常见乘法公式的应用。

2、提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3、培养学生的数学思维能力和创新能力。

二、教学内容及重点难点1、教学内容本节课复习乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等，同时结合实例进行讲解和练习。

2、教学重点与难点重点：熟练掌握乘法公式的应用。

难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。

三、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动。

2、教学手段：PPT演示、黑板板书、实物展示。

四、教学步骤1、导入新课：通过实例引入，引导学生回忆所学乘法公式，明确本节课复习目标。

2、知识梳理：系统梳理乘法公式的推导过程和常见应用，强调注意事项。

3、实例解析：结合实例进行讲解，加深学生对乘法公式的理解，并掌握解题方法。

4、课堂练习：分组练习，互相讨论，教师巡回指导，发现问题及时纠正。

5、总结评价：对本节课所学内容进行总结，对学生表现进行评价，激励学生进步。

五、教学反思与改进1、对本节课所学内容进行反思，总结教学过程中的优点和不足之处。

2、根据学生实际情况进行改进，优化教学方法和手段。

3、及时跟进学生的反馈情况，调整教学策略，提高教学效果。

勾股定理复习课课件一、引言在数学的世界中，有一个非常著名的定理，它连接了直角三角形三边的关系，这个定理就是勾股定理。

今天，我们一起来复习这个重要的定理，为我们的数学学习打下坚实的基础。

二、勾股定理的表述勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，它的基本表述是：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。

用我们熟悉的字母表示，如果一个直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么c² = a² + b²。

三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，其中最著名的可能是赵爽的“勾股圆方图”。

在这个证明方法中，赵爽利用了圆和方形的性质，通过构造一个正方形和一个圆形，将它们的一部分切割下来，然后拼接成一个新的正方形，从而证明了勾股定理。

人教版八年级数学上册课件：14.2.2 乘法公式(完全平方公式)(共22张PPT)

人教版八年级数学上册课件：14.2.2 乘法公式(完全平方公式)(共22张PPT)

公式右边特点：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。
4.简记为：首平方，尾平方，积的二倍在
中央，加减看前方。
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
点拨：(a－b＋c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b －c)2＝a2－b2＋2bc－c2.
4．计算：
3a
12b
2
3a
12b
2
＝_8_1_a_4－ __92_a_2_b_2_＋__11_6_b_4 _.
点拨：
3a
12b
2
3a
1 2
b
2
＝
3a
Hale Waihona Puke 12b把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？
1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
1．计算：
(1)2 0022;
(2)1 9992.
能力拓展,我能行！ (a ± b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式与平方差公式一样即可以正
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变

乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)

乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)

= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特

乘法公式第2课时课件初中数学冀教版七年级下册

乘法公式第2课时课件初中数学冀教版七年级下册
=30×20002 =600 060 问题解决：一个99×99方阵人数为 9801 ，一个101×101方阵人数为 12001 ；
总人数 超过 (填“超过”或“不超过”)60万.
四、合作探究
练一练
1.运用完全平方公式简便运算： (1)982
解：(1)原式 =(100-2)2 =10000-400+4 =9604
个正方形的原边长. 解： 设原正方形的边长为x m. 由题意可得(x+3)2-x2=39
(单位：m) 3
[x2+6x+9]-x2=39
6x+9=39
x=5
3
故原正方形的边长为5 m.
六、课堂总结
符号描述 完全平方公式
语言描述
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
两数的和(或差)的平方，等于 这它们的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍.
五、当堂检测
2.运用完全平方公式简便运算：
(1)8982
(2）1022-400
解：(1)原式 =(900-2)2 =810000-3600+4 =806404
(2)原式 =(100+2)2-400 =10000+400+4-400 =10004
五、当堂检测
3.如图，一个正方形，如果边长都增加3 m，它的面积就增加39 m2，求这
猜想： （a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
三、自主学习
验证： (a+b)2 =(a+b)(a+b)
=a2+ab +ab+b2 . (多项式乘多项式的法则)
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巧记
特别 提醒
首平方,尾平方,积的2倍在中央
(1)公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可表示单项式或多项式. (2)运用完全平方公式计算时,要注意2ab项的符号,更不能漏掉该项. (3)运算时要注意公式的变形巧用.如(-a-b)2=(a+b)2,(-a+b)2=(a-b)2
14.2 乘法公式
例2 运用完全平方公式计算: (1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2; (3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).
2
14.2 乘法公式
栏目索引
题型三 利用完全平方公式变形求值 例3 (2019湖北武汉江汉期中)已知x2+y2=25,x+y=7,求xy和x-y的值.
分析 先根据完全平方公式求出xy的值,再根据完全平方公式求出(x-y)2 的值,最后求x-y的值.
解析 ∵x2+y2=(x+y)2-2xy, ∴25=72-2xy,∴xy=12, ∴(x-y)2=x2-2xy+y2=25-2×12=1, ∴x-y=±1.
(1)公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可表示单项式或多项式.公式中的a与b不是单 个数或字母时,运用公式计算时要加括号. (2)运用平方差公式的关键是确定公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a和b,完全相同的项是a,符号 相反的项是b,确定a和b后套用公式即可
14.2 乘法公式
栏目索引
例1 下列两个多项式相乘,哪些可以用平方差公式计算,哪些不能?能 用平方差公式计算的,写出计算结果. (1)(2a-3b)(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b); (3)(-2a+3b)(-2a-3b);(4)(2a+3b)(2a-3b); (5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b).
14.2 乘法公式
栏目索引
知识点二 完全平方公式
公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和加上(或减去)它们 的积的2倍
特征
公式的左边是两个相同的二项式相乘(即二项式的平方);公式的右边是一个三项式,首尾两项分别是 二项式两项的平方,中间一项是二项式两项积的2倍
解析 (1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2 =a2+6ab+9b2. (2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2×3y·x+x2 =9y2-6xy+x2. (3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2. (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9) =-4x2-12x-9.
解析 (2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算. (1)(6)不能用平方差公式计算. (2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2. (3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.
解析 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1=216.故选D. 答案 D
14.2 乘法公式
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题型二 先利用乘法公式化简,再求值
14.2 乘法公式
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知识点一 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差
特征
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一ห้องสมุดไป่ตู้完全相同,另一项互为相反数; (2)右边是两项的平方差,即相同项的平方减去互为相反数项的平方
巧记 特别 提醒
两数和乘两数差,等于两数平方差
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14.2 乘法公式
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知识点三 添括号法则
添括号 法则
知识详解
内容
字母表示
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里 的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括 到括号里的各项都改变符号
a+b+c=a+(b+c); a-b-c=a-(b+c)
(1)添括号与去括号是互逆的,符号的变化是一致的,在掌握添括号法则时,可与去括号法则相 比较,括号前为正号,括到括号里的各项都不改变符号;括号前为负号,括到括号里的各项都改 变符号,不可只改变部分项的符号.添括号是否正确可用去括号检验. (2)无论怎样添加括号,原式的值都不能改变,添括号法则在利用乘法公式进行计算的题目中应 用较多
14.2 乘法公式
栏目索引
例3 在括号内填上适当的项.
(1)a-2b+c+d=a-(
);
(2)-a-3b+c=-( (3)x2-2y2+2x-3y=( (4)x2-y2-x-y=x2-x-(
); )+2x-3y; ).
解析 所添括号前面是“+”,括到括号里的各项都不改变符号;所添括 号前面是“-”,括到括号里的各项都改变符号.
14.2 乘法公式
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点拨 a+b,a-b,ab,a2+b2四个量中,只要知道其中两个量,就可以求出另外 两个量.将完全平方公式进行变形可得到一些新的公式,主要有:a2+b2=(a ±b)2∓2ab;(a±b)2=(a∓b)2±4ab;(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab, 解题时,可以充分利用这些公式.
答案 (1)2b-c-d (2)a+3b-c (3)x2-2y2 (4)y2+y
14.2 乘法公式
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题型一 平方差公式的重复运用 例1 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是 ( ) A.1 024 B.28+1 C.216+1 D.216
分析 先在原式前面配上(2-1)这个因数,再依次利用平方差公式计算即可.
例2 (2018湖南邵阳中考)先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中 a=-2,b= 1 .
2
分析 先利用平方差公式以及完全平方公式运算,再合并同类项得出化 简结果,最后代入求值.
解析 原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab, 当a=-2,b= 1 时,原式=-4.