当前位置：文档之家 › 2011届高三数学二轮复习-专题4 课时训练

2011届高三数学二轮复习-专题4 课时训练

  • 格式：doc
  • 大小：180.50 KB
  • 文档页数：10

专题四 不等式、推理与证明第1讲 不等式1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤0－x ＋2 x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a b 2>a D.a b >a >a b2 3．设集合A ＝{x |2x 2－x －10≥0}，B ＝{x |xx ＋3≥0}，则A ∩B ＝( )A ．(－3，－2]B ．(－3，－2]∪[0，52]C ．(－∞，－3]∪[52，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[52，＋∞)4．(2010年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．(2010年高考四川卷)设a >b >0，则a 2＋1ab＋1a a －b 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2010年莱州第一中学质检)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32C ．1 D.127．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则不等式f (2x ＋1x －1)>0的解集为________．8．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．(2010年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．10．若a ∈[1,3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2>0恒成立，求实数x 的取值范围．11.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |132≤2－x ≤4，B ＝{x |(x －m ＋1)·(x －2m －1)<0}． (1)求A ∩Z ；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．12．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t )表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律，f (t )越大，表明学生注意力越集中，经过实验分析得知：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋24t ＋100 0<t ≤10，240 10<t ≤20，－7t ＋380 20<t ≤40.(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？第2讲推理与证明1．对a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋1x≥2x·1x(小前提)，所以x＋1x≥2(结论)．以上推理过程中的错误为( )A．大前提B．小前提C．结论 D．无错误2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A.a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除3．(2010年天津一中模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．34．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n ＝( )A.2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.22n－15．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…每组内各数之和与其组的编号数n的关系是( )A．等于n2 B．等于n3C．等于n4 D．等于n(n＋1)6．(2010年沈阳二中质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等A．① B．①②C．①②③ D．③7．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是________．8．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，由上可得出一般的结论为____________．9．(2009年高考浙江卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，__________，________，T16T12成等比数列．10．已知f (x )(x ∈R )恒不为0，对任意x 1，x 2∈R ，等式f (x 1)＋f (x 2)＝2f (x 1＋x 22)f (x 1－x 22)恒成立．求证：f (x )是偶函数．11.(2010年河北八校联考)已知a >0，b >0，且a ＋b >2.求证：1＋b a 、1＋a b中至少有一个小于2.12．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．专题四第1讲 不等式1．【解析】选A.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥x2x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2≥x 2x >0.解得－1≤x ≤1，∴解集为[－1,1]．2．【解析】选C.取特殊值，如令a ＝－1，b ＝－2，则可得a b >ab2>a ，故选C. 3．【解析】选D.由已知得，A ＝{x |x ≥52或x ≤－2}，B ＝{x |x ≥0或x <－3}．∴A ∩B ＝{x |x <－3或x ≥52}，故选D.4．【解析】选C.由约束条件可知可行域为图中的阴影部分．可知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2,2)、B (3,0)、C (6,0)．故当直线y ＝z －x 过点C (6,0)时，z 取最大值，z max ＝6＋0＝6.5．【解析】选 D.a 2＋1ab ＋1a a －b ＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a a －b ＝a (a －b )＋1a a －b ＋ab ＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 6．【解析】选C.因为a >1，b >1，a x ＝b y ＝3， a ＋b ＝23，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3. 1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3(ab ) ≤log 3(a ＋b2)2＝log 3(232)2＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 7．【解析】由题图知，f (x )在(－∞，1)上恒大于0，即2x ＋1x －1<1，∴x ＋2x －1<0，解得－2<x <1. 【答案】(－2,1) 8．【解析】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则f (x )＝|x ＋1|＋|3－x |≥|(x ＋1)＋(3－x )|＝4，即函数f (x )的最小值为4.不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，即a ＋4a ≤4恒成立，令f (a )＝a ＋4a ，当a >0时，f (a )＝a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝2时等号成立，即要使a ＋4a≤4恒成立，则a ＝2；当a <0时，f (a )＝a ＋4a为负数，那么a＋4a≤4必定恒成立．故a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．【答案】(－∞，0)∪{2} 9．【解析】(x ，y )满足可行域如图所示，∵abx ＋y 的最大值为8(a >0，b >0)，∴目标函数等值线l ：y ＝－abx ＋z 最大值时的最优解为⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，解得A (1,4)，∴8＝ab ＋4，ab ＝4.又∵a ＋b ≥2ab ；当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a ＋b ≥4. 【答案】410．【解】设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1,3]时f (a )>0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝x 2－x －2>0f 3＝3x 2＋x －2>0，解得x >2或x <－1. ∴实数x 的取值范围是x >2或x <－1. 11．【解】(1)化简可得，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， 则A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)集合B ＝{x |(x －m ＋1)·(x －2m －1)<0}， ①当m ＝－2时，B ＝∅，所以B ⊆A ；②当m <－2时，∵(2m ＋1)－(m －1)＝2＋m <0， ∴B ＝(2m ＋1，m －1)． 因此，要使B ⊆A ，只需⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5，解得－32≤m ≤6，所以m 值不存在．③当m >－2时，B ＝(m －1,2m ＋1)，要使B ⊆A ，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是m ＝－2或－1≤m ≤2.12．【解】(1)当0<t ≤10时，f (t )＝－t 2＋24t ＋100＝－(t －12)2＋244是增函数，且f (10)＝240， 当20<t ≤40时，f (t )＝－7t ＋380是减函数，且f (20)＝240，所以，讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．(2)f (5)＝195，f (25)＝205，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．(3)当0<t ≤10时，令f (t )＝－t 2＋24t ＋100＝180，解得t ＝4， 当20<t ≤40时，令f (t )＝－7t ＋380＝180，解得t ≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间为28.57－4＝24.57>24.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．第2讲 推理与证明 1．【解析】选B.x ＋1x≥2x ·1x成立则x 必大于0.2．【解析】选B.用反证法证明命题应先否定结论，故选B. 3．【解析】选C.∵a 、b 、c 是不全相等的正数，故①正确．③错误；对任意两个数a 、b ，a >b 与a <b 及a ＝b 三者必有其一成立，故②正确．4．【解析】选B.由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n n ＋1.5．【解析】选B.第1组中含有1个数1＝13，第2组中3＋5＝8＝23，第3组中三数和7＋9＋11＝27＝33，…由此归纳第n 组内各数之和为n 3.6．【解析】选C.由合情推理可知①②③全部正确． 7．【解析】∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 【答案】a ≥0，b ≥0且a ≠b8．【解析】注意到3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…因此1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1. 【答案】1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋19．【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】T 8T 4 T 12T 810．【证明】对于f (x 1)＋f (x 2)＝2f (x 1＋x 22)f (x 1－x 22)，令x 1＝x 2＝x ，则2f (x )＝2f (x )f (0)． 又∵f (x )≠0，∴f (0)＝1. 令x 1＝－x 2＝x ，则f (x )＋f (－x )＝2f (0)f (x )， ∴f (x )＋f (－x )＝2f (x )， 即f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．11．【证明】假设1＋b a ，1＋ab都不小于2，∴1＋ba≥2，1＋ab≥2，∵a>0，b>0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b. 这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立，即1＋ba、1＋ab中至少有一个小于2.12．【解】由条件得2b n＝a n＋a n＋1，a2n＋1＝b n b n＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2，n∈N*.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b k＋1＝a2k＋1b k＝k＋12k＋22k＋12＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切n∈N*都成立．所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．。

合集下载

高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时测试 文

高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时测试 文

高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第4课时测试 文(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．(2011·福建卷)⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析： ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)| 01＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e ，故选C.答案： C2．(2011·江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析： 由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x>0，∴x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2. 答案： C3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 011(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析： ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.答案： A4．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m <1 C ．m ≤0D ．m ≤1解析： ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )≤0. ∵f ′(x )＝3mx 2－1，∴3mx 2－1≤0恒成立，∴m ≤13x2恒成立．∵13x2>0，且m ≠0，∴m <0，故选A. 答案： A5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析： 依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0.选B.答案： B6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析： 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案： C 二、填空题7．(2011·陕西卷)设f (x )＝错误!)，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析： 由题意知f (1)＝lg 1＝0，∴f (0)＝0＋a 3－03＝1， ∴a ＝1. 答案： 18．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析： 由f (x )＝x 3－3x 2＋1得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值．答案： 29．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2，令f ′(x )＝0，即3x 2－3a 2＝0， 解得x ＝－a 或x ＝a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (－a )为极大值，f (a )为极小值， 有{ －a 3＋3a 3＋a >0，a 3－3a 3＋a <0，a >0，解得a >22. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫22，∞ 三、解答题10．设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．解析： 由已知得f ′(x )＝6x [x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >1时，f ′(x )＝6x [x －(a －1)]．f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，a －1)a －1(a －1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f (x )没有极值．当a >1时，函数f (x )在x ＝0处取得极大值1，在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3. 11．已知函数f (x )＝ax 2－3x ＋4＋2ln x (a >0)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值； (2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝12时，f (x )＝12x 2－3x ＋4＋2ln x ，f ′(x )＝x －1x －2x，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1和(2,3]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减， 比较f (1)＝32，f (3)＝2ln 3－12，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最大值为f (3)＝2ln 3－12. (2)f ′(x )＝2ax －3＋2x ＝2ax 2－3x ＋2x，因为f (x )在其定义域上是单调递增函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，得2ax 2－3x ＋2≥0恒成立， 因为a >0，x ＝34a>0，所以Δ＝9－16a ≤0，所以，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫916，＋∞. 12．已知函数f (x )＝e x＋ax ，g (x )＝e xln x ．(e≈2.718 28)(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围． 解析： (1)由题知，f ′(x )＝e x＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ， 又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e ，∴(e ＋a )11－e ＝－1.∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x＋ax >0恒成立．∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x＋ax >0恒成立． 若x >0，f (x )＝e x＋ax >0恒成立， 即当x >0时，a >－ex x恒成立．设Q (x )＝－exx.Q ′(x )＝－e xx －e x x 2＝1－x exx2. 当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e ，∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)．。

解答题专练5——高三二轮数学复习课时作业

解答题专练5——高三二轮数学复习课时作业


数学(理)
综上所述，若 a＝－1，当 x∈12，1时， －1<h(x)<0， 即 n≥0，m≤－1，(n，m∈Z)，所以 n－m 的最小值为 1.
第 25 页
数学(理)
第 26 页
(二)选考题 6．(选修 4－4：坐标系与参数方程)已知椭圆 C：x32＋y2＝1，和一条过定点 H(－ 1,0)且不与 x 轴重合的直线 l 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为点 E. (1)求点 E 的轨迹方程； (2)射线 OE 交椭圆于点 G，F 为直线 OE 上一点，且|OG|为|OF|，|OE|的等比中项， 过点 F 作圆 D：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点为 M，N，求△FMN 面积的最小值．
数学(理)
解 (1)设椭圆 C 的左焦点为 F1，依题意得 FH⊥F1F. 所以|FH|2＋|F1F|2＝|F1H|2，而|FH|＝32，|F1F|＝2，所以|F1H|＝52， 根据椭圆的定义得 2a＝|F1H|＋|FH|＝4，即 a＝2， 又因为 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3； 所以 C 的方程为x42＋y32＝1.
考前冲刺 组合特训
解答题专练5
数学(理)
第2 页
(一)必考题 1．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若点(an，Sn)在直线 5x－4y－1＝0 上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足 bn＝an·(4log5an＋1－3)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
数学(理)
第3 页
解 (1)因为点(an，Sn)在直线 5x－4y－1＝0 上，所以 5an－4Sn－1＝0(n∈N*)， 当 n＝1 时，5a1－4S1－1＝a1－1＝0， 解得 a1＝1， 当 n≥2，n∈N*时，5an－1－4Sn－1－1＝0， 所以 5an－5an－1－4Sn＋4Sn－1＝an－5an－1＝0， 所以aan－n 1＝5， 所以可知数列{an}是首项为 1，公比为 5 的等比数列，所以 an＝5n－1.
高三数学(理科)二轮复习课时作业 1-4-2

高三数学(理科)二轮复习课时作业 1-4-2

课时跟踪训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当a ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1， 又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)∵a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110 ＝n 10(10－3n ). 3．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ·a n ＋1的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－1b n 的大小． 解：(1)因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列， 所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )， 所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)，所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列． 所以b n －1＝2×2n －1＝2n . 所以b n ＝2n ＋1.(2)因为2a n ·a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1， 于是S n －⎝⎛⎭⎫1－1b n ＝1－12n ＋1－1＋12n ＋1＝12n ＋1－12n ＋1＝2n －2n(2n ＋1)(2n ＋1). 所以，当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－1b n； 当n ≥3时，2n ＜2n ，S n ＜1－1b n. 4．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2. 令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.5．已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ＋2n ＋2≥116的最大值n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1＝12， 又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列，∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3，变形得S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3，即得3a 2＝a 1＋2a 3，∴32q ＝12＋q 2，解得q ＝1或q ＝12， 又{a n }为递减数列，于是q ＝12， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝－n ⎝⎛⎭⎫12n ，∴T n ＝－⎣⎡1×12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋ ⎦⎤n ×⎝⎛⎭⎫12n ，于是12T n ＝－⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得：12T n ＝－⎣⎡ 12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n × ⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝－12×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴T n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2，∴T n ＋2n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ≥116，解得n ≤4，∴n 的最大值为4.。

高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练第4练(解析版)(新高考专用)

高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练第4练(解析版)(新高考专用)

高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(4)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|320}A x x x =-+-≤，3{|log (2)1}B x x =+<，则A B = （）A．∅B．{1x x ≤或}2x ≥C．{}1x x <D．{}21x x -<<【答案】D【解析】()()22320,32120x x x x x x -+-≤-+=--≥，解得1x ≤或2x ≥，所以{|1A x x =≤或}2x ≥.由3log y x =在()0,∞+上递增，且()33log 21log 3x +<=，所以023,21x x <+<-<<，所以{}|21B x x =-<<，所以{}21A B x x ⋂=-<<，故选：D 2.若复数312iz =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意可知：()()3112i 2i 21i 2i 2i 2i 2i 555z --=====--++-，所以复数z 在复平面上对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.位于第四象限.故选:D.3.下列函数中，最小值为4的是（）A.4y x x =+B.()4sin 0πsin y x x x=+<<C.e 4e x x y -=+D.y =【答案】C【解析】A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误；B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数，所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =，即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e x x y -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥，当且仅当==时，等号成立，所以函数y =+的最小值为，故D 项错误．故选：C．4.若函数()2f x +为偶函数，对任意的[12,2,+)x x ∈∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则（）A．()()212log 60log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B．()()122log 0.20log 6f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C．()()122log 0.2log 60f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D．()()2120log 6log 0.2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意知函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 关于直线=2x 对称，由对任意的[12,2,+)x x ∈∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，可知函数()f x 在[2,+)x ∈∞时单调递减，而()()1220(4),log 0.52log f f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2252<log log 64<<，故()()2120(4)log 6log 0.2f f f f ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，故选：D5.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t 倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m 的取值范围是（）A．(5，6)B．(6，7)C．(7，8)D．(8，9)【答案】D【解析】由题意可设，模式A 的函数关系为：y ＝－300t ＋3000，模式B 的函数关系为：y ＝p ⋅12t ，其中p 为初始电量，在模式A 下使用m 小时，其电量为3000－300m ，在模式B 下使用10－m 小时，则可得到(3000－300m )⋅1210－m ＞3000⋅5%，可化为2m －10(10－m )＞12，令x ＝10－m ，可得2－x ⋅x ＞12，即2x －1＜x ，可结合图形得到1＜x ＜2，即1＜10－m ＜2，解得8＜m ＜9，即m ∈(8，9)，故答案选D．6.已知正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，若215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，则9n mmn+的最小值为（）A．43B．138C．85D．3421【答案】A【解析】正项等比数列{}n a 满足2022202120202a a a =+，所以22q q =+，且0q >，解得2q =，又因为215log a +是2log m a 和2log n a 的等差中项，所以()212225log log log m n a a a +=+，得102222121log (2)log (2)m n a a +-=，即12m n +=，()9119191410101212123n m m n m n mn m n n m ⎛+⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当39n m ==时，等号成立.故选：A.7.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A．4π3B．π3C．32π3【答案】B【解析】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,当且仅当AC BC =时等号成立,又阳马11B ACC A -体积的最大值为43,所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R =所以外接球的体积343V r π==,故选:B8.已知ln 22ln a a =，ln 33ln b b =，ln 55ln c c =，且(),,0,e ∈a b c 则（）A．c ＜a ＜b B．a ＜c ＜b C．b ＜a ＜c D．b ＜c ＜a【答案】A 【解析】由已知得ln 2ln 2a a =，ln 3ln 3b b=，ln ln 55c c =，令()()()ln 0e ，=∈x f x x x ，()21ln xf x x -'=，可得()f x 在()0e ，∈x 上单调递增，在()e ，+∈∞x 上单调递减，()()25lnln 5ln 23205210-=-=<f c f a ，且(),0,e ∈a c ，所以c a <，()()8lnln 2ln 390236-=-=<f a f b ，且(),0,e ∈a b ，所以a b <，所以c a b <<.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.已知()831f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的展开式中的常数项是56B.()f x 的展开式中的各项系数之和为0C.()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D.()f x 的展开式中不含4x 的项【答案】BC【解析】二项展开式通项公式为382441881()(1)rr rr r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2440r -=，6r =，常数项为6678(1)28T C =-=，A 错；2444r -=，=5r ，第6项是含4x 的项，D 错；令1x =得(1)0f =所有项系数和，B 正确；8n =，因此二项式系数的最大值为4870C =，C 正确．故选：BC．10.已知某物体作简谐运动，位移函数为()2sin()(0,)2f t t t πϕϕ=+><，且4()23f π=-，则下列说法正确的是（）A.该简谐运动的初相为6πB.函数()f t 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.若[0,]2t π∈，则(),2[]1f t ∈D.若对于任意12,0t t >，12t t ≠，都有12()()f t f t =，则12()2f t t +=【答案】ACD【解析】因为()2sin()(0,)2f t t t πϕϕ=+><，且4()23f π=-，所以422sin 3πϕ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即432,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ所以()2sin 6f t t π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以对于A 选项，简谐运动的初相为6π，故正确；对于B 选项，函数()f t 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故错误；对于C 选项，当0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663t πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin sin sin 662t πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即1sin 126t π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以(),2[]1f t ∈，故正确；对于D 选项，对于任意12,0t t >，12t t ≠，都有12()()f t f t =，则12,2t t k k Z ππ+=+∈，所以12()2f t t +=，故正确.故选：ACD11.已知正三棱锥S ABC -的底面边长为6，侧棱长为则下列说法中正确的有（）A.侧棱SA 与底面ABC 所成的角为4πB.侧面SAB 与底面ABC 所成角的正切值为C.正三棱锥S ABC -外接球的表面积为64πD.正三棱锥S ABC -1【答案】BC【解析】若,E F 分别是,BC AB 的中点，连接,AE SE ，易知AES ∠为侧棱SA 与底面ABC 所成角，由题设，SE =，AE =，SA =，则1cos2AES ∠==，∴3AES π∠=，故A 错误；若O 是底面中心，易知：SO ⊥面ABC ，连接OF 、SF ，则侧面SAB 与底面ABC 所成角为SFO ∠，又6SO =，OF =，则tan SFO ∠=B 正确.若外接球的半径为R ，则R ==，解得4R =，∴正三棱锥S ABC -外接球的表面积为2464R ππ=，故C 正确.由题设易知：S ABC V -=，若内切球的半径为r ，则()3SABSACSBCABCr SSS S+++=，又SABSAC SBCSSS===ABCS=，则93)2r ==，故D 错误.故选：BC12.关于函数()sin xf x e x =+，(),x ππ∈-.下列说法正确的是（）A.()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y -+=B.()f x 有两个零点C.()f x 有两个极值点D.()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<【答案】ABD【解析】()sin xf x e x =+，()00sin 01f e =+=，()cos xf x e x '=+，()00cos02f e '=+=，切线方程为()120y x -=-,即210x y -+=,故A 正确；()sin x f x e x ''=-⎡⎤⎣⎦，当0x >时，()0sin 110x x f x e x e e ''=≥-->-=⎡⎤⎣⎦，当π0x -<≤时，sin 0x ≤，0x e >,∴()sin 0x f x e x ''=>⎡⎤⎣⎦-，∴(),x ππ∈-时，()0f x ''>⎡⎤⎣⎦，∴()cos xf x e x '=+单调递增，32430422f e e --⎛⎫'-=-<-< ⎪⎝⎭ππ，2002f e -⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭ππ，在(),ππ-内，()cos xf x e x '=+存在唯一的零点0x ,且03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且在()0,x x π∈-内，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，∴0x 为极值点，且为极小值点.由()000cos 0x f x e x '=+=，∴()00000sin sin cos xf x e x x x =+=-，∵03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴00001sin 0,1cos 0,sin cos x x x x -<<-<<<，∴001sin cos 0x x -<-<，∴()f x 有唯一的极值点，且为极小值点0x ，且()010f x -<<，故C 错误，D 正确；又∵()()ππ0,sin 0f ef e e ππππ--=>=+=>,结合函数()f x 的单调性可知∴()f x 有两个零点，故B 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()()1f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则μ=_______.【答案】C【解析】因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()11P x x P x x ξξ-≤≤-+=≤≤+，所以，1122x x μ-++==.故答案为：1214.为调查新冠疫苗的接种情况，需从5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有_____________.【答案】54【解析】①若甲乙两人恰有一人入选，志愿者有12236C C =种选法，再分配到3个社区，有336A =种方案，故由分步乘法计数原理知，共有6636⨯=种选派方法；②若甲乙两人都入选，志愿者有21233C C =种选法，再分配到3个社区，有336A =种方案，故由分步乘法计数原理知，共有1863=⨯种选派方法综上，由分类加法计数原理知，共有361854+=种选派方法.故答案为：54.15.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则n a =__________.【答案】【解析】由1111112a S a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得111a S ==.当n>1时，由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭①1112n n n n S a a a -⎛⎫⇒+=+ ⎪⎝⎭1112n n nS a a -⎛⎫⇒=-+ ⎪⎝⎭.②①+②得11n n n S S a -+=.③又1n n n S S a --=，④③⨯④得2211n n S S --=.则{}2n S 成等差数列，2n S n =，n S =.于是，1n n n a S S -=-=当1n =时，也满足上式.综上，n a =.故答案为16.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C ：()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 为其左､右焦点.M 是C 上的动点，点(N ，若1MN MF +的最大值为6.动直线l 为此椭圆C 的切线，右焦点2F 关于直线l 的对称点()11,P x y ，113424S x y =+-，则：（1）椭圆C 的离心率为___________；（2）S 的取值范围为___________.【答案】12[]7,47【解析】根据椭圆定义得：122MF MF a +=，所以12222MN MF MN MF a NF a +=-+≤+，因为1MN MF +的最大值为6，因为2a =，所以22NF =2=，解得1c =，所以离心率为12c a =.右焦点()21,0F 关于直线的对称点()11,P x y ，设切点为A ，由椭圆的光学性质可得：P ，A ，1F 三点共线，所以111224FP F A AP F A AF a =+=+==，即点()11,P x y 的轨迹是以()1,0-为圆心，半径为4的圆，圆心()1,0-到直线34240x y +-=275=，则圆上的点到直线34240x y +-=的距离最小值277455-=，最大值2747455+=，所以点()11,P x y 到直线34240x y +-=的距离为：1134245x y +-，所以113424S x y =+-表示点()11,P x y 到直线34240x y +-=的距离的5倍，则1174734245,555S x y ⎡⎤=+-∈⨯⨯⎢⎥⎣⎦，即[]7,47S ∈.故答案为：12，[]7,47.。