线性代数课件3-2

线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。

AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵.
二、逆矩阵的概念与性质
第三章 矩阵的运算
定义3.2.1 设A是一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵.
例如
1 2 5 2
A 2 5 , B 2
2
2
A1 1 3E A
2
第三章 矩阵的运算
小结
1.逆矩阵概念 若AB=E，则 A1 B, B1 A.
2.伴随矩阵概念与性质定理
A1 1 A * A
3. 矩阵可逆的充要条件 A可逆 A 0
4.逆矩阵的性质 ( A1 )1 A ( AT )1 ( A1 )T
1

有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵.
第三章 矩阵的运算
说明: 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明:
记作 A-1
若设B和C是A的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的 , 记作 A-1
An1
只A 要aA21

a022，就有a2An (

1 AA* *)A(12 A
1 AA22* ) A A

EAn
2



an1
an2
ann


A1n
A2n
Ann

第三章 矩阵的运算
定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A | 0，而且A1 1 A. | A|

3 2 5 1 6 1 r 3 2 6 0 4 1 ~ B A0 0 2 0 5 0 0 4 1 6 1 0 0 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
3
6 11 3 2 6 6 0 11 2 16 0 2 5 2 0 5 2 0 5
证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．
例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ．
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
k k 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm 个． Cn
可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) < n ;
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．

若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．
a11 A a21 a 31
a12 a13 a22 a23 a32 a33
a14 a24 a34
a11 a12 T A a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式

Ps P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps P2P1 )E A1
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps P2P1 E,
E Ps P2P1 A1,
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即，

A E

综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
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19
推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。

0
1
0

0 0 1

212源自 0 0 1

1
2
2

0 1 0
1
12
c2 ( 110)

0
2


1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
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初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
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A Ps P2P1 1 P11P21 Ps1