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2020/10/12
线性代数
2020/10/12
课程简介:
线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程， 它具有较强的抽象性和逻辑性，是高等学校各专业的 一门重要的基础理论课。对线性方程组的讨论，在理 论上和历史上都是线性代数这门学科的起点。由于线 性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线 性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本 课程所介绍的思想和方法广泛地应用于各个学科。
ann
或 diag(a11, a22,…, ann)
ann
2020/10/12 这里当然允许主对角线上的元为零.
2、数量矩阵
定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线上的元都相等，则称 此矩阵为n阶数量矩阵 (scalar matrix).
即
a
A
a O
O
或
a
a
a
a
或 diag(a, a,…, a)
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线性方程组的系数与常数项按原来位置可排
为矩形阵列
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的
研究可转化为对 这张表的研究.
这就是矩阵
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二、矩阵概念
定义1.2 由 m n个数aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一个m行
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引言
矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数 学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发 展，成为在经济学、物理学、生物学、地理学等中 有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学 中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西 勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远， 可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算 术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵， 所用的解法就是矩阵的初等变换。
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三、几种特殊矩阵（均为方阵）
1、对角矩阵
定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵(diagonal matrix).
1 0 0 0
是一个四阶对角矩阵。
0 9 0 0
0 0 9 0
0 0 0 9 a11 a22
O
a11 a22
n阶对角矩阵常记为
O
或
n列的矩形表，即
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
称为一个m n矩阵(matrix) .
简记为A (aij )mn , Amn 或 A (aij ),
其中 aij为矩阵的第i行第j列代表性元素.
i称为行标i 1, 2, , m，j称为列标j 1, 2, , n.
大学出版社 《线性代数》同济大学数学系编 高等教育
出版社 《实用线性代数》 郑昌明编 中国人民大
学出版社
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第1章 矩阵
§1.1 矩阵的概念 §1.2 矩阵的运算 §1.3 方阵的行列式 §1.4 矩阵的分块 §1.5 可逆矩阵 §1.6 矩阵的初等变换 §1.7 矩阵的秩 §1.8 矩阵应用的B 2 3 0 ,
0 4 1
A
0
a22
0 0
a1n
a2 n
ann
b11 0
B
b21
b22
bn1 bn2
0
0
bnn
A为n阶上三角形矩阵；B为n阶下三角形矩阵.
注 对角矩阵既是上三角形矩阵又是下三角形矩阵.
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练习1
A
5 0
1 C 0
0
在下列矩阵中,指出三角形矩阵、对角 矩阵、数量矩阵、单位矩阵：
特别地，如果n阶数量矩阵A中的元素a=1时，则称
A 为n阶单位矩阵，记作 En，有时简记为E.即
1
En
1
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1
3、三角形矩阵
定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 则称此矩阵为上三角形矩阵.
如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角形矩阵.
a11 a12
本章首先引入矩阵概念，继而介绍几个特殊矩 阵，矩阵的基本运算、方阵的行列式、可逆阵和矩 阵的初等变换、矩阵的秩等关于矩阵的基本理论。
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§1.1 矩阵的概念
一、引例
例1 某商场三个分厂的两类商品一天的营业额（万元）
彩电 冰箱
第一分厂 第二分厂 第三分厂
8
6
5
4
2
3
用矩形阵列表简明地表示为
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
(2，3，5，9) 是一个 1 4 矩阵,
4
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是一个 11 矩阵.
练习1 试写出4 5矩阵A,若其元aij 2i j.
1 0 1 2 3
答案
:
3 5 7
2 4 6
1 3 5
0 2 4
131.
从定义可以看出,确定一个矩阵的要素是行数列数及元素.
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8 4
6 2
53
例2 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项 bi i 1,2,,n
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本学期课程包括以下内容：
矩阵、行列式、向量、线性方程组、矩阵的特 征值与特征向量。
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课程特点:
1、是一门基础课程，为后续课程做准备. 2、定义、定理、推论繁多，必须理解记
忆和区别. 3、具有较强的抽象性和逻辑性.
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参考书目 ： 《线性代数》(第三版)赵树嫄编 中国人民
m=1 n=1 6’零矩阵O:元素都是零的矩阵.
7’主对角线（方阵）
a11 a21
a12 a22
an1 an2
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a1n a2n
ann
副对角线 主对角线
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
注： 1’数主要指实数，实数的全体称为实数
域，记为R.
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2’实(复)矩阵: 元素均为实(复)数的矩阵.
3’矩阵一般用大写字母A、B 、 …等表示. 4’方阵： m=n 时,称 A 为 n 阶方阵,也称为 n 阶矩阵. 5’行(列)矩阵:只有一行( 列 )的矩阵.也称为行( 列) 向量.
