计算机图形学几何变换

几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。

在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。

本文将介绍几何变换的认识和基本原理。

一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。

平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。

旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。

三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。

缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。

四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。

对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。

五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。

仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。

计算机形学中的几何变换与投影技术计算机形学是计算机科学与计算机图形学中重要的一个领域，它研究如何在计算机上对图形进行表示、创建、编辑和呈现。

其中，几何变换和投影技术是计算机形学中常用且核心的技术之一，它们在计算机图形学领域中被广泛应用。

一、几何变换在计算机图形学中，几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和扭曲等操作，从而改变图形的位置、形状和大小，以满足特定需求。

1. 平移变换平移变换是对图形进行沿着指定方向和距离的移动。

在二维空间中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x', y')是平移后的坐标，(x, y)是原始坐标，(dx, dy)是平移的向量。

2. 旋转变换旋转变换是对图形进行绕指定点或绕原点的旋转操作。

在二维空间中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x', y')是旋转后的坐标，(x, y)是原始坐标，θ是旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换是对图形进行放大或缩小的操作。

在二维空间中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x', y')是缩放后的坐标，(x, y)是原始坐标，(sx, sy)是缩放因子。

4. 扭曲变换扭曲变换是对图形进行形状的变换，使得某些部分被拉伸或收缩。

扭曲变换可以通过矩阵运算进行表示，具体操作较为复杂。

二、投影技术在计算机图形学中，投影技术是指将三维空间中的图形映射到二维平面上的过程。

常见的投影技术包括平行投影和透视投影。

1. 平行投影平行投影是一种保持图形中平行线在投影后保持平行的投影方式。

在三维空间中，平行投影可以表示为：x' = xy' = y其中，(x', y')是投影平面上的坐标，(x, y)是三维空间中的坐标。

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

几何变换的基本概念和性质几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。

在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。

几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。

每种变换都有其独特的性质和特点。

1. 平移（Translation）平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。

平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。

平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。

2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。

旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。

旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。

旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。

3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。

缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。

缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。

4. 镜像（Reflection）镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。

镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。

镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。

这些几何变换具有一些重要的性质。

例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。

总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。

掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。

参考资料：。

计算机图形学图形的几何变换的实现算法实验二 图形的几何变换的实现算法班级 08信计 学号 59 姓名 分数一、实验目的和要求：1、掌握而为图形的基本几何变换，如平移，旋转，缩放，对称，错切变换；。

2、掌握OpenGL 中模型变换函数，实现简单的动画技术。

3、学习使用OpenGL 生成基本图形。

4、巩固所学理论知识，加深对二维变换的理解，加深理解利用变换矩阵可由简单图形得到复杂图形。

加深对变换矩阵算法的理解。

编制利用旋转变换绘制齿轮的程序。

编程实现变换矩阵算法，绘制给出形体的三视图。

调试程序及分析运行结果。

要求每位学生独立完成该实验，并上传实验报告。

二、实验原理和内容：. 原理:图像的几何变换包括:图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。

图像几何变换的实质:改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。

图像几何变换的一般表达式：[,][(,),(,)]u v X x y Y x y = ，其中，[,]u v 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， [,]x y 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。

这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。

平移变换：若图像像素点 (,)x y 平移到 00(,)x x y y ++，则变换函数为0(,)u X x y x x ==+，0(,)v Y x y y y ==+，写成矩阵表达式为：00x u x y v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，x 0和y 0分别为x 和y 的坐标平移量。

比例缩放：若图像坐标 (,)x y 缩放到（ ,x y s s ）倍，则变换函数为：00x y s u x s v y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中, ,x y s s 分别为x 和y 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。

旋转变换：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转θ角度，则变换后图像坐标为：cos sin sin cos u x v y θ-θ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥θθ⎣⎦⎣⎦⎣⎦内容：1、对一个三角形分别实现平移，缩放旋转等变化。

基本的几何变换几何变换是数学中一个重要的概念，指的是通过平移、旋转、缩放等操作来改变几何图形的形状、大小或位置。

在计算机图形学和计算机视觉领域，几何变换也扮演着至关重要的角色。

本文将介绍几个基本的几何变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。

1. 平移在几何变换中，平移是指通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离来改变图形的位置。

平移操作可以用以下公式表示：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是平移后的坐标，dx和dy 分别是在x和y方向上的平移量。

2. 旋转旋转是指通过围绕一个指定的点或轴旋转图形来改变图形的方向或角度。

旋转操作可以用以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是旋转后的坐标，θ表示旋转的角度。

3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来改变图形的大小。

缩放操作可以用以下公式表示：x' = x * scaleXy' = y * scaleY其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是缩放后的坐标，scaleX和scaleY分别表示在x和y方向上的缩放比例。

4. 镜像镜像是指通过将图形沿着一个轴对称折叠来改变图形的位置或方向。

镜像操作可以用以下公式表示：x' = -xy' = -y其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是镜像后的坐标。

这些基本的几何变换可以单独应用于图形，也可以组合在一起以实现更复杂的效果。

通过灵活组合这些变换操作，我们可以实现各种各样的几何变换，用于图像处理、游戏开发、计算机辅助设计等领域。

总结几何变换是一种重要的数学概念，可以通过平移、旋转、缩放和镜像等操作来改变几何图形的形状、大小和位置。

几何变换的基本概念与应用几何变换是指对图形或物体进行平移、旋转、缩放、对称等操作，从而改变其形状、大小或位置的过程。

在数学和计算机图形学中，几何变换是一种常见而重要的操作，广泛应用于建模、渲染、动画等领域。

本文将介绍几何变换的基本概念和常见应用。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着给定的平移向量进行移动的操作。

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。

在二维几何中，平移变换可以用以下公式表示：新坐标 = 旧坐标 + 平移向量平移变换在计算机界面的窗口移动、图像处理中的图像平移等方面得到广泛应用。

通过平移变换，我们能够调整图像或物体在屏幕上的位置，实现目标的定位和移动。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个固定点旋转一定角度的操作。

旋转变换可以改变图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。

在二维几何中，旋转变换可以用以下公式表示：新坐标 = 旧坐标 * 旋转矩阵旋转变换在计算机图形学领域常用于三维建模、动画制作、游戏设计等。

通过旋转变换，我们能够实现物体的自转、摄像机的视角变换等效果。

三、缩放变换缩放变换是指按照一定比例对图形进行放大或缩小的操作。

缩放变换会改变图形的大小和形状，但不改变其位置。

在二维几何中，缩放变换可以用以下公式表示：新坐标 = 旧坐标 * 缩放因子缩放变换在计算机辅助设计中广泛应用，可用于调整模型的比例、改变图像的尺寸等。

通过缩放变换，我们能够实现对图形的放大或缩小效果。

四、对称变换对称变换是指将图形按照某个轴线进行镜像翻转的操作。

对称变换不改变图形的位置、大小和形状，只改变图形的方向。

在二维几何中，对称变换可以用以下公式表示：新坐标 = 旧坐标 * 对称矩阵对称变换常用于计算机游戏中的镜像效果、平面图形的对称性处理等。

通过对称变换，我们能够实现图形的翻转、倒影等效果。

五、应用案例几何变换在计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助设计等领域有广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例：1. 计算机动画：通过组合平移、旋转、缩放等几何变换，可以实现物体的运动、旋转、放大缩小等动画效果。

计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。

通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。

本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。

一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。

在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。

1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。

在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。

平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。

通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。

2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。

在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。

旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。

旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。

通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。

3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。

在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。

缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。

缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。

几何变换的基本概念与操作几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以将一个图形对象从一个位置、方向或大小变换到另一个位置、方向或大小，通过不同的变换操作，可以实现各种形状和位置的变化。

本文将介绍几何变换的基本概念和操作，包括平移、旋转、缩放和反射四种变换。

一、平移平移是指将图形对象按照指定的向量在平面内沿着直线移动，其作用是改变图形对象的位置而不改变其形状和大小。

平移操作可以用一个向量表示，向量的坐标分别表示在x轴和y轴方向上的移动距离。

平移操作的数学表达式如下：```P' = P + T```其中，P表示原始点的坐标，P'表示平移后点的坐标，T表示平移向量的坐标。

二、旋转旋转是指将图形对象按照指定的角度围绕一个中心点旋转，其作用是改变图形对象的方向而不改变其形状和大小。

旋转操作可以用一个角度表示，角度的正负决定了旋转的方向。

旋转操作的数学表达式如下：P' = R * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示旋转后点的坐标，R表示旋转矩阵。

三、缩放缩放是指将图形对象按照指定的比例在水平和垂直方向上进行放大或缩小，其作用是改变图形对象的大小而不改变其形状。

缩放操作可以用一个缩放因子表示，缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。

缩放操作的数学表达式如下：```P' = S * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示缩放后点的坐标，S表示缩放矩阵。

四、反射反射是指将图形对象按照指定的轴线进行镜像翻转，其作用是改变图形对象的位置和方向而不改变其形状和大小。

反射操作可以用一个轴线表示，轴线可以是水平、垂直或任意一条直线。

反射操作的数学表达式如下：P' = M * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示反射后点的坐标，M表示反射矩阵。

综上所述，几何变换是计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和反射四种基本操作，可以实现对图形对象的位置、方向和大小的变化。

几何变换的认识与计算方法几何变换是指通过一系列的转换操作对几何图形进行位置、形状或大小的改变。

在计算机图形学和计算机视觉中，对几何图形进行变换是非常重要的。

本文将介绍几何变换的基本认识和常用的计算方法。

一、几何变换的基本认识1. 平移变换：平移变换是将图形沿着平行于原来位置的方向移动，只改变了图形的位置不改变其形状和大小。

平移变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都加上一个平移向量来实现。

2. 旋转变换：旋转变换是将图形绕某个旋转中心按一定角度进行旋转，改变了图形的位置和形状。

旋转变换的计算方法可以使用旋转矩阵或三角函数来实现。

3. 缩放变换：缩放变换是通过改变图形的大小实现的。

缩放变换可以按照比例进行放大或缩小，也可以按照不同方向进行不等比例变换。

缩放变换的计算方法是将图形的每个点的坐标都乘上一个缩放因子来实现。

4. 对称变换：对称变换是通过图形的镜像对称来实现的。

对称变换可以是关于一个点、一条直线或一个平面的对称。

对称变换的计算方法是将图形的每个点的坐标按照对称轴进行变换来实现。

二、几何变换的计算方法1. 点的表示：在进行几何变换计算时，需要使用点的坐标来表示图形的位置。

通常使用二维坐标系中的(x, y)来表示点的位置，或者使用齐次坐标来表示点的位置。

2. 矩阵表示：几何变换可以通过矩阵的形式来表示和计算。

不同的几何变换对应着不同的变换矩阵，通过将变换矩阵与点的坐标进行相乘，可以得到变换后的点的坐标。

3. 坐标变换：在进行几何变换计算时，需要将图形的坐标系进行变换，使得变换后的点和变换前的点保持相对位置不变。

常见的坐标变换包括平移变换、旋转变换和缩放变换。

4. 变换顺序：多个几何变换可以按照不同的顺序进行组合，得到不同的效果。

在进行几何变换时，需要注意变换的顺序对最终结果的影响。

5. 变换矩阵的求解：针对不同的几何变换，可以通过数学方法求解得到相应的变换矩阵。

例如，对于平移变换，只需要将平移向量作为变换矩阵的一部分；对于旋转变换，可以使用旋转矩阵或三角函数来求解变换矩阵。

几何变换的概念与分类几何变换（Geometric transformation）是指在几何空间中，通过一系列数学操作改变图形的形状、大小、位置或方向的过程。

几何变换是解决计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中的重要问题之一。

本文将介绍几何变换的概念与分类，以及具体的应用案例。

一、概念几何变换是通过对图形进行一系列数学操作来改变其属性的方法。

常见的几何变换包括平移（Translation）、旋转（Rotation）、缩放（Scaling）和翻转（Reflection）等。

其中，平移是指在平面或者空间中保持图形大小和形状不变的情况下，仅改变图形的位置；旋转是指绕某一点或某一轴将图形按一定角度进行旋转；缩放是指通过乘以一个比例因子来改变图形的大小；翻转是指将图形关于某一轴进行对称。

二、分类根据几何变换的性质和特点，可以将几何变换分为刚体变换和仿射变换两大类。

1. 刚体变换刚体变换（Rigid transformation）是指变换过程中保持图形大小、形状和相对位置不变的几何变换。

常见的刚体变换包括平移和旋转。

平移是通过改变图形的位置来实现，旋转则是通过围绕某一点进行旋转来实现。

刚体变换可以应用于很多领域。

例如，在计算机动画中，通过对角色模型进行平移和旋转，可以实现动作的平移和旋转效果；在机器人运动规划中，通过对机器人进行平移和旋转来规划其路径。

2. 仿射变换仿射变换（Affine transformation）是指在变换过程中图形的边长比例和平行性质保持不变的几何变换。

除了平移和旋转，仿射变换还包括缩放和翻转。

缩放是通过改变图形的大小来实现，翻转则是通过关于某一轴进行对称来实现。

仿射变换是计算机图形学、计算机视觉和几何建模等领域中非常重要的变换方式。

例如，在图像处理中，通过对图像进行仿射变换可以实现图像的旋转、缩放和翻转效果；在地理信息系统（GIS）中，通过对地图进行仿射变换可以实现地图的伸缩和旋转。