(计算机图形学)关于任意直线的对称变换

第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。

在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。

本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。

设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。

在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。

旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。

设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。

通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。

三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。

缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。

设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。

几何变换的对称与旋转几何变换是对图形进行改变的一种方法，其中对称和旋转是两种常见的变换方式。

在这篇文章中，我们将探讨几何变换中的对称和旋转，并深入了解它们的定义、性质以及在实际生活中的应用。

一、对称变换对称变换是指将一个图形进行镜像翻转的操作。

具体来说，对称变换将图形中的每个点关于某一条直线、平面或中心点翻转，使得原图形与翻转后的图形完全重合。

对称变换有以下几个重要的性质：1. 线对称：当图形的每个点关于某一条直线进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

2. 平面对称：当图形的每个点关于某一平面进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

对称变换在生活中广泛应用，例如在建筑设计中，对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性。

另外，在艺术和设计领域，对称变换也经常被运用于图案设计和装饰。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕某一中心点进行旋转的操作。

旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，具体角度可以是任意值。

通过旋转变换，图形将保持形状不变，但位置及方向发生改变。

旋转变换有以下几个重要的性质：1. 中心旋转：旋转变换是以一个中心点为基准进行的，图形中的每个点都绕着该中心点进行旋转。

2. 旋转角度：通过改变旋转的角度，可以实现不同程度的旋转变换，包括90度、180度、270度以及任意角度。

旋转变换在科学研究和实践中具有广泛的应用。

例如，在地图制作中，通过旋转变换可以将地图上的各个实际位置与相对方向准确展示出来。

此外，在计算机图形学中，旋转变换也是三维模型呈现和动画效果实现的重要手段之一。

三、对称与旋转的联系和区别对称变换与旋转变换在几何变换中有着密切的关系，同时也存在一些区别。

对称变换是将图形镜像翻转，通过直线或平面来实现；而旋转变换是围绕中心点进行旋转，改变图形的位置和方向。

对称变换保持图形的形状不变，只是改变了位置；而旋转变换保持图形的形状和位置不变，只是改变了方向。

四、几何变换的实际应用几何变换在现实生活中有着广泛的应用，以下是部分例子：1. 建筑设计：对称变换可以帮助设计师创造对称美感的建筑结构，旋转变换可以实现建筑物在不同角度的呈现。

空间直线方程转化为对称式空间直线方程转化为对称式在解决三维空间中的几何问题时，我们常常需要将空间直线方程转化为对称式来简化问题的求解。

本文将介绍如何将空间直线方程转化为对称式。

一、空间直线方程的一般形式空间直线的一般形式可以表示为P(x,y,z) = A + tB，其中A和B分别是直线上的一点和方向向量，t为实数。

这个方程包含三个未知数x, y和z，难以直观地表示空间直线在三维空间中的位置和形态。

二、空间直线对称式的定义对称式是一种更加简单且直观的方式来表示空间直线的位置和形态。

空间直线的对称式可以表示为{(x-x0)/l = (y-y0)/m = (z-z0)/n}，其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，l, m和n是直线的方向比。

这个方程只包含了两个未知数l和n，更加方便求解问题。

三、空间直线方程转换成对称式的步骤1. 求出直线的方向向量B和一点A的坐标。

2. 将空间直线方程中的(x,y,z)表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式。

3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}。

4. 化简得到直线的对称式。

四、实例演示以直线P(x,y,z) = (1,-3,3) + t(2,1,-1)为例，演示如何将其转化为对称式。

1. 直线的方向向量为B = (2,1,-1)，一点A的坐标为(1,-3,3)。

2. 将直线方程表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式，得到x=1+2t, y=-3+t, z=3-t。

3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}，得到{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。

4. 化简得到直线的对称式为{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。

五、总结转换成对称式的空间直线方程相对于一般形式更加简单，易于处理。

简单的几何变换与对称性几何变换是几何学中重要的概念，可以通过对图形的平移、旋转、镜像和缩放等操作，使得图形在平面或空间中发生形状和位置的变化。

与此同时，对称性作为几何学的一个重要性质，描述了图形在某种操作下保持不变的特点。

本文将探讨简单的几何变换与对称性的关系，以及它们在实际生活中的应用。

一、平移变换与平移对称性平移变换是指将图形沿着某一方向移动一定距离的操作。

在平面几何中，平移变换可以理解为将图形整体平行地移动，而不改变其形状和大小。

平移对称性则指的是对于一个图形，将其整体平移一段距离后，仍然与原图形完全重合。

平移操作和平移对称性的实际应用非常广泛。

例如，在地图上测量两个地点之间的距离时，我们需要考虑地球表面的曲率，通过平移操作将地图上的两个点同步平移到平面上进行测量，以保证精确性。

二、旋转变换与旋转对称性旋转变换是指将图形绕一个固定点旋转一定角度的操作。

在平面几何中，旋转变换可以理解为将图形绕着中心点进行旋转，从而改变其方向或位置。

旋转对称性则指的是对于一个图形，在不同角度下进行旋转，旋转后的图形与原图形完全重合。

旋转变换和旋转对称性的应用也非常广泛。

例如，在机器人技术中，通过旋转关节和电机等装置，可以使机器人的手臂或身体在空间中进行各种形式的旋转，从而实现人体动作的模拟。

三、镜像变换与镜像对称性镜像变换是指通过镜面反射将图形关于某一直线对称翻转的操作。

在平面几何中，镜像变换可以理解为将图形沿着镜面进行翻转，从而改变其左右或上下关系。

镜像对称性则指的是对于一个图形，在镜面对称下，反射后的图形与原图形完全重合。

镜像变换和镜像对称性的应用也非常广泛。

例如，在建筑设计中，我们可以通过镜像变换得到一个建筑物的立体投影图，从而帮助我们更好地理解建筑设计方案。

四、缩放变换与缩放对称性缩放变换是指通过改变图形的尺寸比例来变换图形的操作。

在平面几何中，缩放变换可以理解为将图形以某个中心点为基准进行放大或缩小，从而改变其大小与比例。

平移变换与对称变换平移变换和对称变换是几何学中常见的两种变换方式，它们在图形的位置和形状改变方面起着重要作用。

本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及实际应用，并对它们进行比较和分析。

一、平移变换1.1 概念平移变换是指在二维或三维平面上，将一幅图形向某一方向移动一定距离的变换方式。

平移变换并不改变图形的形状和大小，只是改变了它的位置。

在平移变换中，所有的点都按照相同的方式进行移动，即移动前后的所有点之间的距离和相对位置保持不变。

1.2 性质平移变换具有以下性质：（1）平移变换可以将一条直线映射为平行于它的另一条直线。

（2）平移变换保持图形的面积、周长和内角度不变。

（3）平移变换是可逆的，即对一个图形进行平移变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。

1.3 应用平移变换在日常生活中广泛应用，比如：（1）导航地图中的位置标记，通过平移变换可以将标记移动到准确的位置。

（2）计算机图形学中的图像平移，可以实现图像的拼接和移动效果。

（3）工程设计中的布局规划，通过平移变换可以调整建筑物或设备的位置。

二、对称变换2.1 概念对称变换是指通过某一中心或某一轴进行图形的位置改变的变换方式。

在对称变换中，图形经过变换后，仍然保持相同的形状和大小，只是相对于中心或轴的位置发生了改变。

对称变换有三种常见的形式，即轴对称、中心对称和点对称。

2.2 性质对称变换具有以下性质：（1）轴对称：轴对称变换将图形映射为关于某一直线对称的图形。

（2）中心对称：中心对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。

（3）点对称：点对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。

（4）对称变换保持图形的面积、周长和内角度不变。

（5）对称变换是可逆的，即对一个图形进行对称变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。

2.3 应用对称变换在许多领域中得到广泛应用，比如：（1）建筑设计中的立面对称，通过对称变换可以保持建筑的整体美感。

（2）艺术创作中的图案设计，对称变换可以创造出美观的对称效果。