函数的单调性与导数--公开课

( 教师说明：)
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间。
（三）.知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”)。 （学生口答）
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，
在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”)。
三、说学法
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．自主探究法：
让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评析解题对 错，从而提高学生的 参与意识和数学表达能力。
2．比较法： 分组竞赛，对于同一个问题要求用不同方法，使学生从
中体验导数法的优越性。
四、说教学过程
（一）．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2、 教学目标
知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调 区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合 的思维意识。
情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
3、重点与难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
当x 3或x 2时，f '( x) 0;
当x 3或x 2时，f '( x) 0. 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）

【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成

②若 k＝1 时，1k－1＝0，f′(x)≥0 恒成立，
所以，k＝1 时单调增区间为(－1，＋∞)．
③若 k＞1 时，1k－1∈(－1,0)，当 x∈(－1，1k－1)时，f′(x) ＞0，当 x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以，k＞1 时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)； 单调减区间为(1k－1,0)．
由
f′ (x)＜0
得
x＜
2， 2
又 x∈(0，＋∞)，
所以函数
f(x)的单调递减区间为0，
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex＞0，(x－2)2＞0.
由 f′(x)＞0 得 x＞3， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由 f′(x)＜0 得 x＜3，
综上所述：当 k＝0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，
单调递减区间为(0，＋∞)；
当 0＜k＜1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1， ＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)； 当 k＝1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 k＞1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋ ∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．
即函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0， ＋∞)．
(2)当 k≠0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝1k－1， ①若 0＜k＜1 时，1k－1＞0，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当 x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x) ＞ 0， 所以，0＜k＜1 时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)； 单调减区间为 (0，1k－ 1)．

单调减函数的性质
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函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。