10-11-1高数一A卷
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考试班级：2010级信息管理1、2、3、4班，工程1、2、3班，经济基地1、2班 #
2010-2011学年第1学期《高等数学一》试卷
一、填空题（每题3分，共18分）
1、设11
1
)2(lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ,(其中b a ,均为实数)， 则a =________，b =________. 2、满足函数1
)
()1(!
)1()(++-=n n
n x n x f
的函数=)(x f .
3、已知1)(,0)(='=a f a f ，则极限=-∞→)1
(lim n
a f n n .
4、n x y =在点)1,1(处的切线交x 轴于点)0,(ξ，则=
∞
→)(lim ξy n .
5、)(x f y =在点x 的增量3
22
)(3)(211x x x x
y ∆+∆+∆+=
∆，则=')1(f _____________. 6、)(x f y =导函数是2
x ，则)(x f y =的原函数是____________. 二、单项选择题（每题3分，共15分）
1、设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
10,1sin )(3
x x x
x x f ，则0=x 是)(x f 的 （ ）. A 、连续点; B 、第一类间断点; C 、第二类间断点; D 、连续点或间断点不能确定 . 2、设函数)(u f 可导，)(2x f y =，当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数y 的微分1.0=dy ，则=')1(f （ ）.
A 、1-;
B 、1.0;
C 、1;
D 、5.0. 3、若函数)(x f 对任何x 均满足)()1(x f x f -=+，且有2)0(='f ，则 （ ）.
A 、
)(x f 在1=x 处不可导; B 、 )(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ;
C 、
)(x f 在1=x 处可导，且2)1(-='f ; D 、)(x f 在1=x 处可导，且1)1(-='f .
4、设函数
)(x f 在闭区间],[b a 上有定义，在开区间),(b a 内连续，且有0)()(<⋅b f a f ，则在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得（ ）.
A 、 0)(=ξf ;
B 、 )()(lim ξξ
f x f x =→;
C 、
0)(='ξf ; D 、 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ;
考试班级：2010级信息管理1、2、3、4班，工程1、2、3班，经济基地1、2班 #
5、 当0→x 时，)arcsin()cos 1(2x x -是比)1ln(n x x + 高阶的无穷小，而)1ln(n x x +是比
12
-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.
A 、 1;
B 、 2;
C 、 3;
D 、 4.
三、求极限（每小题5分，满分20分）
1、x
x x sin 30
)
21(lim -→ 2、]1
)1ln(1[
lim 0
x
x x -+→
3、x
x x x x x ln )1(11
cos
)1()1arcsin(lim
21
+--+-→ 4、x
x x 2sin 1223lim 2
x ++∞→
四、解答题（每小题6分，满分18分）
1、设函数)(x y y =由方程 y
y x = 所确定，求dy .
2、已知)(2
x xe f y -=,)1arctan(
)(+='x x f ，求0|=x dx
dy
. 3、设曲线方程为⎩⎨⎧++=++-=t
t y t t x arctan 12)
1ln(322，求曲线在0=t 处的切线方程.
五、应用题（本题共2小题，第一小题10分，第二小题7分满分17分）
1、已知函数2
3
)
1(-=x x y ， 1）确定定义域 ; 2）求渐近线; 3）求y y ''',； 4）立表，确定单调区间、凹凸区间与拐点、极值点与极值。
2、已知某企业的总收入函数为3
2
4226x x x R --=，总成本函数为2
8x x C +=，其中x 表示产品的产量.求企业获得最大利润时的产量和最大利润。
六、证明题（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
1、 证明：当0>x 时，()x
x
x +>
+1arctan 1ln .
2、 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，1)2
1(=f ，
试证：1）至少存在一点 )1,2
1
(∈η，使ηη=)(f ；
2）至少存在一点),0(ηξ∈，使1])([)(=-+'ξξξf f .。
