11-1高数

------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 6 页 共 6 页
三、计算题（本大题 10 分）
11.计算 n 阶行列式
a1 − m a2 "
Dn =
a1 "
a2 − m " ""
a1
a2 "
an an 的值. " an − m
得分
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 2 页 共 6 页
答 题勿超装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
通过正交变换 X = QY 化成标准形 f ( y1, y2 , y3 ) = 3y12 + 3y22 + by32 . （1）求参数 a, b 的值; （2）求正交矩阵 Q .
《高等数学 A(三)》（B 卷） 第 3 页 共 6 页
14.（本小题 10 分）甲、乙二人之间经常用 e-mail 联系，他们约定在收到对方邮件的当天即 给回复（即回一个 e-mail），由于线路问题，每 n 份 e-mail 中会有1份不能在当天送达收件人. 甲在某日发了1份 e-mail 给乙， （1）试求甲在当天收到乙的回复的概率； （2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的 e-mail 的概率.

n 2n4 1 1
解 (1)
tan

5n


5n
1 而 发散, n 1 n

0
n4
1 x 4 dx
所以
原级数发散
1 n n 3 (2) 4 4 4 2n n 2n 1 n2 1 n 3 收敛， 所以 收敛. 4 n1 2 n 1 2 n 1 n 1 1 2 1 x n n xdx dx (3) 4 0 1 x 0 3 3 n2 1 1 x n 3 收敛， 所以 dx 收敛. 4 0 1 x n1 2 n1 n 1 1 1 2 n 2 收敛 (4) n 2 4 n1 n 1 x 4 dx 0 xdx n
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n 1
数列sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
u
n 1

n
收敛,这时极限 s 叫做级数
u
n 1

n
的和.并
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数
1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
n 0

的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1

考研高数知识点总结第一单元函数考研高数知识点总结第一单元函数第一单元函数1.1函数函数是变量与变量的一种对应关系。

本书变量均取值于实数。

1.1.1实数实数：有理数（分数）和无理数（无限不循环）的总称。

性质：1、封闭性，实数对四则运算（加减乘除）是封闭的，即任意两个实数进行加减乘除（除法分数不为0）运算后，其结果仍为实数。

2、有序性，即任意两个实数可比较大小（a>b,=,0。

δ：此邻域半径该邻域记作O（α，δ）或O（α）3α的去心邻域：O（α，δ）去掉中心α记作O（α，δ）或O（α）由于α-δ<>常量：在某个研究过程保持不变的量变量：可以取不同数值的量变量y是变量x的一个函数：设在某一问题中有两个变量x和y,变量x 的变化范围为D。

如果对D中每一个值x，按照某种对应方法f，都有变量y 的一个唯一确定值与之对应，则称变量y是变量x的一个函数。

记为y=f(x),x∈Dx为自变量，y为因变量或函数，x的变化范围D为函数的定义域，y的变化范围为函数的值域，记为M 注意：函数主由对应法则和其定义域D确定，与变量所选用的记号无关。

5函数定义域：1、分母不为零2、开偶次方，被开方式的值非负3、对数式中真数必须>零,底数>0且≠1eg.logaXa底数Eg.1、F(x)=2lgXg(x)=lg不等。

F(x)定义域（-∞,+∞）g(x)定义域(-∞,0)∪(0,+∞)2、F(x)=xg(x)=等。

定义域均为（-∞,+∞），对应法则相同g(x)=F(x)函数的表示方法：1、列表法：便于应用2、图像法：直观性，便于对函数进行定性分析3、解析法/公式法：用解析表达式表示函数的方法4解析表达式：对于自变量和常数施以四则运算、乘幂logaX、指数分段函数：需用两个或两个以上的公式表示的函数注意：1、分段函数是由几个公式合起来表示的一个函数2、其定义域是各段上x取值范围的并集3、在求函数值时，首先要根据x所在的区段，再用该区段的函数表达式、取对数、三角函数、反三角函数等数学运算所得到的式子符号函数：f（x）=sgnx=1(x>0);定义域D=（-∞，+∞）0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0)对于任何实数x，x=sgnx|x|X的最大整数：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的最大整数，记作【x】Eg.[-3.5]=-4取整函数：一般有[x]=n,当x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成变量，则函数f（x）=[x]称为取整函数。

∞
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1